Excelによる、ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の簡易シミュレートは出来るか？

待ち行列理論

では、「Excelによる、ＧＩ／Ｇ／１待ち行列の簡易シミュレート」で述べた方法を拡張してＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の簡易シミュレートは出来るでしょうか？　その前にそもそもＧＩ／Ｇ／２待ち行列の簡易シミュレートは出来るでしょうか？
実は、これは出来ません。そのわけをこれから説明します。


「Marshallの公式に向けて（１）」で出てきた図（＝ガント・チャート）をＧＩ／Ｇ／２に拡張すると

  • 図１

と

  • 図２

でよいように思えます。ただし、装置は装置１と装置２の２台であり、上の図ではＢ（＝処理時間）のところにどちらの装置で処理されているかを示す数字をカッコの中に示しました。これらの図から以下の式

  • W_{n+2}=\max(0,W_n+B_n-A_n-A_{n+1})・・・・・(1)

が成り立つように一見、思えます。しかし、処理時間Bは確率変数ですので、B_nの終了時刻、つまり、（W_nの開始時刻、つまりジョブnの到着時刻を基準として時刻を測れば）W_n+B_nとB_{n+1}の終了時刻、つまりA_n+W_{n+1}+B_{n+1}とはどちらが先か決まっていません。つまり

  • 図３

ということがあり得るのです。（ただし、ジョブはFIFOで装置に割付けられるので、B_nの開始時刻がB_{n+1}の開始時刻よりあとになることはありません。）　それでは、ちょっとややこしいですが、W_n+B_nとA_n+W_{n+1}+B_{n+1}のうち小さいほうと、A_n+A_{n+1}の差を取ればよいのでしょうか？　つまり、次の式のように考えるのです。

  • W_{n+2}=\max[0,min(W_n+B_n,A_n+W_{n+1}+B_{n+1})-A_n-A_{n+1}]・・・・・(2)

ところが、これも正しくありません。図３で、さらにもう１つジョブの到着を書き加えます。

  • 図４


このジョブは装置１で処理されますが、その待ち時間W_{n+3}は、図から

  • W_{n+3}=W_n+B_n-A_n-A_{n+1}-A_{n+2}・・・・(3)

となります。ジョブn+3にとっては３つ前のジョブの動きまで気にしないとW_{n+3}の値が決まらないのです。よって式(2)では不十分であることが分かります。図４におけるB_nがもっと長ければ、その間、装置２でジョブをいくつも処理することになるので、一般に待ち時間Wを計算するのに、いくつ前のジョブの情報まで必要になるかは決めることが出来ません。そうすると、これをExcelで実現することは難しくなります。（私はそれほどExcelに詳しいわけではないので、ひょっとすると実現する方法があるのかもしれませんが。）


こういう理由で、「Excelによる、ＧＩ／Ｇ／１待ち行列の簡易シミュレート」をＧＩ／Ｇ／ｓに拡張することが出来ないのです。