ホップフィールドネットワーク（７）

ホップフィールドネットワーク（＋α）に最適化問題を解かせる一例に巡回セールスマン問題があります。巡回セールスマン問題は、複数の場所（都市）を巡る距離を最小にする問題で、どの場所も１回しか訪れず、全ての場所を必ず訪問する、という制限がかかっています。２つの場所の間には距離が設定されています。このような問題がホップフィールドネットワークで解くことが出来るそうです。これからそれについて考えていきます。

簡単にするために、場所は５か所とします。まず、巡回セールスマン問題の解をニューラルネットワークの状態として表すことを考えます。場所の名前をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅとします。解は、例えば、Ｂ→Ｄ→Ａ→Ｅ→Ｃかもしれません。そこで、５×５のマス目を考え、縦（行）が場所を回る順番を示し、横（列）が場所（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）を示すとします。

• 図９
• 

このような表し方では、先ほどの例のＢ→Ｄ→Ａ→Ｅ→Ｃは、下の図のように表されます。

• 図１０
• 

このマス目の１つ１つをそれぞれ１個のニューロンに対応させることにします。そしてマス目が黒いことをニューロンの出力が「１」、白いことを「−１」で示すことにします。ニューロンの番号は下の図のように付けます。

• 図１１
• 

１つの行には「１」は１つしか存在しません。１つの列にも「１」は１つしか存在しません。これを式で表すと「１」でないところは皆「−１」なので１つの行に「１」が１つしか存在しないことを数式で表すと、

• ・・・・(15)
• ・・・・(16)
• ・・・・(17)
• ・・・・(18)
• ・・・・(19)

これらの式を最小化の条件に変換するには、それぞれの式の右辺を左辺に移項して、全体を２乗します。

• ・・・・(20)
• ・・・・(21)
• ・・・・(22)
• ・・・・(23)
• ・・・・(24)

これらの式がそれぞれ最小になる時（実数の２乗なので最小は０）に上の(15)〜(19)の式が成り立つことは明らかです。(20)〜(24)の式を全て足したものを最小にすることは、(20)〜(24)の式をそれぞれ最小にすることに等しいです。よって

• 
  • 
  • 
  • 
  • ・・・・(25)

とした場合、を最小にするという条件は、１つの行には「１」は１つしか存在しない、という条件に等しいことになります。(25)を展開すると

• ・・・・(26)

の形になっていることが分かります。よって、の値を適切に設定することにより式(25)はエネルギー

• ・・・・(14)

の形に変換することが出来ます。ということは、このようにして定めたシナプス係数を持つホップフィールドネットワーク（＋α）は、図９において１つの行には「１」は１つしか存在しない状態で安定することになります。