ガンマ関数（５）

確率論

「ガンマ関数（３）」では

  • \Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt=I・・・・(12)

を計算するのに、I^2を考え

  • I^2=\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2)dx\cdot\Bigint_0^{\infty}\exp(-y^2)dy=\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2)dxdy・・・・(13)

としてx座標とy座標を持つ２次元空間で考えましたが、この考えを３次元空間に拡張してみます。すると

  • I^3=\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2)dx\cdot\Bigint_0^{\infty}\exp(-y^2)dy\cdot\Bigint_0^{\infty}\exp(-z^2)dz=\Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz・・・・(25)

となります。「ガンマ関数（３）」で見てきたようにI=\frac{\sqrt{\pi}}{2}なので式(25)の左辺は\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3になるはずです。では右辺を計算したら本当に\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3になるでしょうか？ このことを確かめてみます。まず、座標系を直交座標(x,y,z)から極座標(r,\theta,\varphi)に置換えます。３次元の極座標は

  • 図３

のようになります。極座標に置換えるとx^2+y^2+z^2=r^2、dxdydz=r^2cos\varphi{dr}d\theta{d}\varphiになります。また、積分の範囲はrが0から\inftyまで、\thetaが0から\pi/2まで、\varphiも0から\pi/2までになります。よって式(25)の右辺は

  • \Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2\cos\varphi{dr}d\theta{d}\varphi・・・・(26)

よって

  • \Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\frac{\pi}{2}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2cos\varphi{dr}d\varphi
    • =\frac{\pi}{2}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi{d}\varphi\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2dr=\frac{\pi}{2}\left[\sin\varphi\right]_0^{\pi/2}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2dr=\frac{\pi}{2}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2dr

よって

  • \Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\frac{\pi}{2}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2dr・・・・(27)

式(27)の右辺の積分についてはnが０以上の偶数の場合の

  • \Bigint_0^{\infty}t^n\exp(-t^2)dt=\frac{n!}{2^{n+1}\left(\frac{n}{2}\right)!}\sqrt{\pi}・・・・(24)

（「ガンマ関数（４）」参照）でn=2とおけば

  • \Bigint_0^{\infty}t^2\exp(-t^2)dt=\frac{2!}{2^3\cdot1!}\sqrt{\pi}=\frac{2}{8}\sqrt{\pi}=\frac{\sqrt{\pi}}{4}

よって

  • \Bigint_0^{\infty}t^2\exp(-t^2)dt=\frac{\sqrt{\pi}}{4}・・・・(28)

これを式(27)に用いると

  • \Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{4}

よって

  • \Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3・・・・(29)

となり、式(25)の右辺が\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3になることが分かりました。