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完全無欠で荒唐無稽な夢 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2013-12-14 素数にまつわる数列からの素数:::12/11の続き

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 このようなヤヤコシイ変形版を今しがた考えた。

素数の逆数の和pz[n]を以下の規則で反復する。

 pz[n]>0 なら  pz[n+1]=pz[n] - 1/Prime[n+1]

そうでないなら  pz[n+1]=pz[n] + 1/Prime[n+1]

Prime[n]はn番目の素数であります。そして、計算後に素数階乗(primorial)を掛ける。素数階乗はこんな定義である。これは12/11ブログでも登場した。

 f:id:Hyperion64:20131214210257g:image

 試算してみよか。

 pz[n]の最初の10個。ほぼ交代級数となっておる。

1/2, 1/6, -(1/30), 23/210, 43/2310, -(1751/30030), 263/510510, -(505513/9699690), -(1927109/223092870), 167206709/6469693230, -(1286285251/200560490130)...


これに素数階乗をそれなりに掛けると整数となる。


1, 1, -1, 23, 43, -1751, 263, -505513, -1927109, 167206709, -1286285251, 152967935843, -1149052765247, 254840994621589, -1105234584455347, 556312349612358019, 233270149939078391, -1908530871007928857219, -10583186998124262450403,7106915274213444421900477, -39136015109117518168680569, 37637935405628740215295558519, -93696128673487470029553197053,

258725560237335466522993783455073, 1327637446675989482079859393783771,...

 これにどれだけ素数が盛り込まれているかをカウントしてみる(素数にマイナスがついても素数としますよ)

 最初の1000個の素数までに16個しかない。なんという不毛!

 pz[n]の模様を図示しておこう。横軸はn番目の素数のnを示す。縦軸はpz[n]の対数であります。

f:id:Hyperion64:20131214211127j:image

 どの程度に交互に符号が変動するかをみておこう。

f:id:Hyperion64:20131214213652g:image

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