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IIJIMASの日記 RSSフィード

2009-12-08

モンティ・ホール問題の説明

有名な確率の小ネタ「モンティ・ホール問題 - Wikipedia」の説明ってなかなかむずかしいですね。。。

プレーヤが3つのドアの中から後ろに景品がある1つのドアを当てるゲームをしている。プレーヤが1つのドアを選らんだ後、答えを知っている司会者が他のドアで景品のないドアを開けてしまう。このときプレーヤは司会者に選択を変えるかどうかきかれる。

プレーヤは選んでいたドアのままにするべきかそれとも残されたまだ開いていないドアを選ぶべきか?

詳細はwikipediaで「モンティ・ホール問題 - Wikipedia」を参照してください。

ドアを変えた場合のほうが景品の当たる確率が変えない場合より2倍高い。

一応説明を考えてみました。

プレーヤが景品のドアを選んだ場合と選んでない場合に分けて考える。

プレーヤが景品のドアを選んだ場合、選択を変えるか変えないか2通りで、変えない場合が景品となる。

プレーヤが景品のドアを選ばなかった場合、やはり選択を変えるか変えないか2通りで、変えた方が景品となる。

最初の3つのドアが開いてない状態では当たりは1つ、はずれは2つなので、最初の選択ではずれのドアを選ぶ可能性が2倍多い。先ほどの場合分けの後者(景品のドアを選ばなかった場合)になる可能性が2倍高い。

よって、「変える」作戦を使ったほうが、景品の当たる確率が高い。

別の説明・・・もちろん同じことなのですが・・・

0,1,2という3つの値をとる一様乱数列を考える。この結果の番号に対応するドアに景品がある。0がプレーヤが選んだドアだとする。乱数の結果が0ならば、選択を変えない場合が景品。1、2の場合は選択を変える方が景品。2回目の選択ではどちらでも可能性1/2がかかるだけ。

結局最初の選択で0よりも、1か2になる可能性が2倍高いから、そうなったときの作戦を採用した方が景品を得られる可能性が高い。

追記:

これはどうでしょう・・・(同じことですが・・・文章を短くしました・・・)

最初の選択がはずれてた場合は、選択を変えたら「当たり」

最初の選択が正しかった場合は、選択を変えたら「はずれ」

最初の選択では3択のうちの1つだけ当たりなので、はずれる場合のほう当たりより2倍多い。

つまり選択を「変える」ほうが「変えない」よりも、最終的に「当たる」可能性が2倍高い。

http://blogs.wankuma.com/iijimas/

の左のわんくま同盟 東京勉強会 #45 数学デー「確率の不思議」の資料置きました。

他になんかうまい説明思い付いたら教えてください。

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