KABIRAの日記

2010-10-26

ポアソン配置 ワイブル分布など

  • こちらのつづき
  • こちらも参考にする
  • ポアソン配置に時間軸をつけて考える
  • 時間に対してアーラン分布、キョリに関してワイブル分布を出そうという魂胆
  • 配置はN次元空間内に、体積V、時間t、密度h、点の数をxとして点の分布が
  • Poi(x|Vht)=e^{- V ht} ¥frac{(Vht)^x}{x!} で与えられる。

1 時間について

  • アーラン分布を上の記事と同じように導くと
  • ¥frac{(V h)^m t^{m-1} e^{V h t}}{(m-1)!} が得られる。

2 最短距離について

  • ワイブル分布を導く
  • 半径rのN次元球の体積をV_{N}(r)、表面積をS_{N}(r)として
  • P(l > r| N, h, t)=Poi(0| V_{N}(r)ht) より
  • 確率密度関数
  • f(r) = ¥frac{d}{dt} P(l ¥leq r | N,h,t) = ¥frac{d}{dt} (1-e^{-V_{N}(r)ht})=htS_{N}(r)e^{-V_{N}(r)ht} となり、これがワイブル分布となっている。
  • つまりN次元単位球の体積をV_{N}とすれば
  • V_{N}(r)=V_{N}r^NS_{N}(r)=N V_{N} r^{N-1}であるので
  • ¥eta^N = ¥frac{1}{htV_{N}} とおくと
  • f(r)=¥frac{Nr^{N-1}}{¥eta^N}e^{-(¥frac{r}{¥eta})^N} となる。
  • N=1ならばV(r)=2rS(r)=2なので、f(t)を¥etaを使わずに表すと
  • f(r)=2hte^{-2htr} となり指数分布(N=1のワイブル分布)になっている。
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