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2009-09-28

ざっと見積もりテクニック

The Endeavour - Three rules of thumb

ダフの法則

π 秒は1ナノ世紀に相当する

1世紀を秒に換算すると 3.1556926 × 10^9 秒になる。この関係を覚えやすく整えたのが「ダフの法則」だ。一見,使いどころの分からない法則だけれど,「秒」を「年」に換算したい場合に役立つことがある。

例えば,1個のデータにつき1秒を費やす処理があったとして,今から10億個のデータを処理するとしよう。これを全部処理するには10億秒かかるというのは明らかなことだ。でもそれって,つまり何年ぐらいになるんだろう?

ダフの法則を思い出せば,1世紀でπギガ個のデータが処理できることが分かる。つまり,10億個のデータを処理するには,ざっと見積もって30年ぐらいかかるのではないかという概算ができる。

ホッパーの法則

光は1ナノ秒間に30センチメートル進む

原文では「1ナノ秒間に1フィート進む」になっているけれど,「30センチメートル」の方が覚えやすいし誤差も少ない電気電波信号の伝達速度について,比較的短い距離での概算を行うのに役立つ。

72 の法則

利率 n% の投資は 72/n 年で倍になる

例えば,利率 6% の投資であれば, 72/6 = 12 で,約 12 年で倍額になるという見積もりができる。

この "72" という定数は,実はかなり大雑把な近似値で,本来は 100 × log 2 = 69.3 を使うのが正しい。ただ, 69.3 よりも 72 の方が割り算しやすいので,こちらの定数が広く使われている。それに 69.3 という定数は連続複利を前提にしているので,少し大きめに見積もった方が実際の利率計算に近くなるという事情もある。

如月千早如月千早 2009/09/29 22:52 72の法則ですが,正確な年数を出すには
log(2) * 100 / (log(1 + n / 100))
= 69.3 / (log(1 + n / 100))
を計算しなければならない所を,
log(2) * 100 / n
= 69.3 / n
を計算すると,分母が正確な値より大きくなり,年数が短めに出てしまいます。
そこで安全策として, log(2) * 100 より大きめで約数が多い 72 を分子に採用して
72 / n
を計算するようになったのではないでしょうか。
ちなみに72を採用した場合は, n = 8 付近で最も誤差が少なくなるようです。

如月千早如月千早 2009/09/29 22:55 御参考までに,どれ位の誤差が出るのか計算した結果を投稿します。

r[%]: 利率
true: 正確な値
appr.1: 近似値(分子が69.3)
err1: appr.1の誤差
appr.2: 近似値(分子が72)
err2: appr.2の誤差

r[%], true, appr.1, error1, appr.2, error2
1.0, 69.65, 69.30, -0.497, 72.00, 3.380
2.0, 35.00, 34.65, -0.987, 36.00, 2.871
3.0, 23.44, 23.10, -1.471, 24.00, 2.368
4.0, 17.67, 17.33, -1.948, 18.00, 1.872
5.0, 14.20, 13.86, -2.420, 14.40, 1.382
6.0, 11.89, 11.55, -2.885, 12.00, 0.898
7.0, 10.24, 9.90, -3.345, 10.29, 0.421
8.0, 9.00, 8.66, -3.799, 9.00, -0.051
9.0, 8.04, 7.70, -4.247, 8.00, -0.516
10.0, 7.27, 6.93, -4.690, 7.20, -0.976

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