4.2広告に対する売上げ反応 - 驚異のアニヲタ社会復帰の予備

商品は広告しないと売上が落ちる。
今、売上の定常的減少の仕方が直線的だったので、販売速度 $S$ 、時刻 $t$ 、定数 $\lambda$ 、 $mu$ を用いて
$\log S =-\lambda t +\mu$
とできる。これは、人口問題でも扱った
$\frac{dS}{dt}=-\lambda S$ …(1)
と同じである。
　
さて、ここで広告普及率 $A$ 、市場飽和度 $M$ として、広告の効果を考える。
飽和度は人口問題の修正や技術革新でも扱った。
売上の増減は、広告普及率 $A$ と市場飽和率 $\frac{M-S}{M}$ に影響を受けるから、(1)式は
$\frac{dS}{dt}=r A\frac{M-S}{M}-\lambda S$ （ $r$ は定数）
となる。整理すると
$\frac{dS}{dt}+(\frac{rA}{M}+\lambda)S=rA$
となる。 $b=\frac{rA}{M}+\lambda$ とすれば、積分因子は $e^{\int bdt}=e^{bt}$ となるので、解くと
$S=\frac{rA}{b}+Ce^{-bt}$
広告開始した時刻[tex=0]で売上 $S=S_0$ とすれば、 $C=S_0-\frac{rA}{b}$ なので、最終的に
$S(t)=\frac{rA}{b}+(S_0-\frac{rA}{b})e^{-bt}$
となる。
広告終了後は、(1)式の挙動を示す。

Stime <- 1 #観察期間
Stimes <- seq(0, Stime, length=1000)
S0 <- 100 #広告開始時の市場に出ている具合
r <- 0.1 #広告係数
lambda <- 0.001 #減少係数
A <- 100 #広告速度
M <- 1000 #市場最大数

S <- numeric(length(Stimes) * 2)
S[1] <- S0

for(i in 1:(length(Stimes) - 1)){
	dS <- r * A - (r * A / M + lambda) * S[i]
	S[i + 1] <- S[i] + dS
}

for(i in length(Stimes):(2 * length(Stimes) - 1)){
	dS <- - lambda * S[i]
	S[i + 1] <- S[i] + dS
}
S <- S / M #市場独占度に変換
plot(S, ylim=c(0, 1), type="l", xlab="time", ylab="market ratio")
abline(v=length(Stimes), lty=2, col=2)