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メモ帳Xさん

2011-07-12

万有引力の法則下での2物体の運動

自分は近いうちに万有引力定数を求める実験を行わされるらしい。
その実験と直接の関係は無いが、万有引力に関する物理現象を考察してみた。

暇な時間に紙の上で解いた問題をそのまま掲載しただけなので、導いた解が正しいという保証はどこにもない。注意。


問題


質量mの物体Aと質量Mの物体Bが静止して一直線上に並んでいる。
AとBに働く力が互いの万有引力のみであるとき、AとBが衝突する時刻を求める。
ただし、物体の大きさは考えないものとし、時刻t=0のときAとBの距離rをr0とする。


解の導出


物体Aの座標をx、物体Bの座標をXとする(x<X)。
すると、それぞれの物体に対して以下の運動方程式が成り立つ。

m¥frac{d^2x}{{dt}^2}=G¥frac{Mm}{(X-x)^2}

M¥frac{d^2X}{{dt}^2}=-G¥frac{Mm}{(X-x)^2}

(Gは万有引力定数 G≒6.67*10^-11)

r=X-xであることを利用して式を整理すると、

¥frac{d^2x}{{dt}^2}=G¥frac{M}{r^2}

¥frac{d^2X}{{dt}^2}=-G¥frac{m}{r^2}

¥frac{d^2r}{{dt}^2}=¥frac{d^2X}{{dt}^2}-¥frac{d^2x}{{dt}^2}=-¥frac{G(m+M)}{r^2}

ここで

¥frac{dr}{dt}=p (p<=0) … (1)

とおくと

¥frac{d^2r}{{dt}^2}=¥frac{dp}{dt}=¥frac{dp}{dr}¥frac{dr}{dt}=¥frac{dp}{dr}p

よって

¥frac{dp}{dr}p=-¥frac{G(m+M)}{r^2}

両辺をrで積分すると

{¥int}pdp=-G(m+M){¥int}¥frac{dr}{r^2}

¥frac{1}{2}p^2=¥frac{G(m+M)}{r}+C_1 (C_1は積分定数) … (2)

t=0のとき、物体AとBの距離はr0、速度は互いに0なので

r=r_0

p=¥frac{dr}{dt}=0

これらを(2)に代入して

¥frac{G(m+M)}{r_0}+C_1=0

よって

C_1=-¥frac{G(m+M)}{r_0}

これを(2)に代入して

¥frac{1}{2}p^2=¥frac{G(m+M)}{r}-¥frac{G(m+M)}{r_0}

p=-¥sqrt{2G(m+M)}¥sqrt{¥frac{1}{r}-¥frac{1}{r_0}} … (3)

ここで、(1)より

¥frac{1}{p}¥frac{dr}{dt}=1

両辺をtで積分すると

¥int{¥frac{1}{p}dr}=t

これに(3)を代入して

-¥frac{1}{¥sqrt{2G(m+M)}}¥int{¥frac{dr}{¥sqrt{¥frac{1}{r}-¥frac{1}{r_0}}}}=t … (4)

¥int{¥frac{dr}{¥sqrt{¥frac{1}{r}-¥frac{1}{r_0}}}}

=¥int{¥frac{¥sqrt{r{r_0}}}{¥sqrt{r_0-r}}dr} … (5)

ここで

u=¥sqrt{r_0-r}

とおくと

r=r_0-u^2

dr=-2udu

以上を(5)に代入して

¥sqrt{r_0}¥int{¥frac{¥sqrt{r_0-u^2}}{u}(-2udu)}

=-2¥sqrt{r_0}¥int{¥sqrt{r_0-u^2}du}

積分公式を用いて

=-2¥sqrt{r_0}¥cdot¥frac{1}{2}(u¥sqrt{r_0-u^2}+r_0¥arcsin{¥frac{u}{¥sqrt{r_0}}})+C_2 (C_2は積分定数)

uを元に戻して

=-¥sqrt{r_0}(¥sqrt{r_0-r}¥sqrt{r}+r_0¥arcsin{¥sqrt{¥frac{r_0-r}{r_0}}})+C_2

これを(4)に代入して

¥frac{¥sqrt{r_0}}{¥sqrt{2G(m+M)}}¥{(¥sqrt{r_0-r}¥sqrt{r}+r_0¥arcsin{¥sqrt{¥frac{r_0-r}{r_0}}})+C_2¥}=t … (6)

t=0のとき、r=r0であるから

C_2=0

これを(6)に代入して

¥frac{¥sqrt{r_0}}{¥sqrt{2G(m+M)}}(¥sqrt{r_0-r}¥sqrt{r}+r_0¥arcsin{¥sqrt{¥frac{r_0-r}{r_0}}})=t

これが時刻tと2物体間距離rの関係である。

これにr=0を代入すると

t=¥frac{¥pi¥sqrt{{r_0}^3}}{¥sqrt{8G(m+M)}}

となり、2物体が接触する時刻が求められる。


例としてm=M=100[kg] r0=1[m]の場合の衝突時刻t[s]を求める。

t=¥frac{¥pi¥sqrt{{1}^3}}{¥sqrt{8{¥cdot}6.67{¥cdot}10^{-11}(100+100)}}=9616

9616秒はおよそ2時間40分である。意外と早い。

原 宣一原 宣一 2012/03/30 15:02 面白い計算をされましたね。意外に早いではありませんか。
これを実験しょうとすると、動き始めの引力の大きさが摩擦力より大きいかが重要になってくると思います。二つの物質は綺麗に磨いた球形でガラスの板の上に乗っかっているものとして動き出すでしょうか。

栗田 峻輔栗田 峻輔 2016/04/09 20:41 4つの力で一番弱い重力を自分の目でいつか確認したいと思っていました。
2物体間に働く万有引力の実験をしようと思うのでこの式も是非使いたいと思います。

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