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御光堂世界〜Pulinの日記

2016-11-14

ベクトルの内積と外積

ベクトル内積外積。図形的な理解。

f:id:Pulin:20161114164212j:image:w400

xy平面にベクトルAがある。

A=(a1,a2)

B=(b1,b2)

Aの大きさはそれぞれ

|A|=√(a1^2+a2^2)

|B|=√(b1^2+b2^2)

Aのx軸からの角度をα、Bのx軸からの角度をβとする。

Aのなす角をθ=β-αとする。


内積

AB=|A||B|cosθ

=|A||B|cos(β-α)

=|A||B|(cosβcosα+sinβsinα)

=|B|cosβ|A|cosα+|B|sinβ|A|sinα

=a1b1+a2b2


外積

A×B

外積の大きさ

|A×B|=|A||B|sinθ

=|A||B|sin(β-α)

=|A||B|(sinβcosα-cosβsinα)

=|B|sinβ|A|cosα-|B|cosβ|A|sinα

=a1b2-a2b1


外積は大きさが|A×B|で、xy平面に垂直で図の手前方向(z軸方向)に向かうベクトル

(0,0,a1b2-a2b1)

である。

外積の大きさはAが作る平行四辺形の面積になっている。


3次元のベクトルの場合

A=(a1,a2,a3)

B=(b1,b2,b3)

として

内積A=a1b1+a2b2+a3b3。

外積A×B=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

である。

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