2012-02-03
■[小説]仲間外れの８（２） 
家に帰ってから落ち着いて考えてみれば任意の文字列を繰り返す循環小数を考えるのは簡単で、０．ａｂｃａｃｂ…ならａｂｃを９９９で割ればいいんだから０１２３４５６７８９を繰り返したければ１２３４５６７８９を９９９９９９９９９９で割ればいいだけだ。
１２３４５６７８９を９倍すると１１１１１１１１０１だから、これを９９９９９９９９９９で割れば僕が彼女に見せられた数になる。１２３４５６７８９を１１１１１１１１１１で割っても同じ結果になる。わかってみれば何ということは無い。式に長い数があれば、計算結果が長くなっても不思議さは出てこない。
１を８１で割ると０．０１２３４５６７９…となるというのは単純な式なのはいいけれど、やはり８が抜けているのが気になる。とはいっても０から９がそろった方が面白いというのは単なる表記の問題で、数の本質とは無関係なこと。
いや、もしかしたらそうでもないのかも。
僕はパソコンの電卓を使っていくつか計算してみた。
１１１１１１１を７で割ると、１２３４５７になる。１１１１１１１１１１１１１１１をＦで割ると１２３４５６７８９ＡＢＣＤＦになった。なるほどなるほど、そういうことか。
とりあえず電卓にある８進数と１６進数では確認できた。１０進数ではない世界でも同じ数が並ぶマジックは可能だ。
でも８進数や１６進数以外の一般の進数でも成り立つんだろうか。たぶん成り立つのだろうけど、証明はどうすれば。
０．１１１…を９で割る計算を使うとできるかも。桁ごとに分けて計算し、０．１を９で割ったものに０．０１を９で割ったものを足して、というのを続けていく。
こんな感じで小数点以下９位まで計算して足していくと０．０１２３４５６７８９９９…となる。これが０．０１２３４５６７９になることは０．９９９…＝１からあきらか。でも、０．０１２３４５６７８９９９…の表記だと８も抜けずに出てくるのがちょっと感動。
１０進数以外の表記でも同じことができる。８進数で１を７で割れば０．１１１…になるし、１６進数で１をＦで割れば０．１１１…になる。それをさらに７なりＦで割れば同じことが起きる。
つまりはこういうこと。
ｎ進数で１を（ｎ−１）の自乗で割れば、小数点以下に０，１，２，３，…，（ｎ−３），（ｎ−１）が繰り返してあらわれる。
付け加えておくと、２桁や３桁の場合も考え方としては同じ。２進数を４桁ごとにまとめたものは１６進数と同等になるというのはコンピュータ関係ではおなじみだけど、１０進数を２桁、３桁ごとにまとめて考えて１００進数や１０００進数だとすれば、１を９８０１で割った場合に０１、０２、０３と続き、９７の次が９８を飛ばして９９になることや、９９８００１で割ったときに９９８が飛ばされることも説明できる。
2012-01-27
■[小説]仲間外れの８（１） 
１を９９８００１で割ると０．０００００１００２００３００４００５…と続いていくという面白い結果になるというのをインターネット*1で前日に読んだ僕は、放課後の部室でそれについて考えていた。９９８００１の代わりに９８０１で割ってもいいらしい。
その場合は０．０００１０２０３０４０５０６０７０８０９１０１１１２１３…と２桁で数が増えていく。
なんでそうなるのかというのが不思議だったけど、１桁の場合には８１で割ればいいというのがわかってからは簡単だった。８１＝９＊９で９９８００１＝９９＊９９そして９９８００１＝９９９＊９９９という具合だ。
１を９で割ると０．１１１１１…と無限に１が続いていく。それをさらに９で割ると、０．０１２３４５…と数が増えていく。
念のために計算してみることにした。１１から９を引くと次は２１で、２が立つから１８を引いて３１、と数が増えていくのが実感できる。
あ、７１から６３を引いて８１になると次は８じゃなくて９になるのか。９＊９＝８１だから余り無しでまた最初に戻る。０１２３４５６７９と８を飛ばして続いていく。
だから９８も飛ぶのか。２桁の場合に９８が飛んで９９になると書いてあった理由がようやくわかった。そして３桁の場合には９９８が飛ばされて９９９になるわけだ。
「マジックの練習でもしているの？」
確かにマジックだ。いや今の声は誰だ？ と驚いて顔を上げるとこちらを見つめる彼女と目が合った。さらに驚いてああどうもとか言おうとして口をもごもごさせた。
すこし落ち着いてから、
「マジックって、これのこと？」
を計算した紙を指差して聞いてみた。
「ちがうの？ 同じ数が沢山でてくるマジックで見た気がしたんだけど。」
と彼女は１２３４５６７９という数字を指さした。
同じ数が出てくるマジックというと、確か相手の言った数に９をかけた数を最初に書いた１２３４５６７９にかけると相手の言った数が並ぶという…。そうか、そんな手品が確かにあった。
「いや、ちょっと違うんだけど、まあ原理は同じといえば同じような。」
僕は何かのスイッチが入ったかのように説明を始める。１２３４５６７９を使ったマジックの原理について。１２３４５６７９に９をかけると１１１１１１１１１と１が９個並ぶ。だからそれに３をかければ３が並ぶし、７をかければ７が並ぶのは数学的には当たり前のことで種もしかけも無いこと。
１を８１で割った場合も同じことで、１を９で割ると０．１１１１…と１が無限に続くので９桁ごとに区切って考えればそれをさらに９で割ったものはマジックと同じだけど小数点以下だから最上位桁の０が消えずに０１２３４５６７９となる。
「じゃあ、それに好きな数を９倍した数をかければ同じ数字がどこまでも並ぶんだ。」
少し首をかしげながら彼女が口を挟む。
「そうだね。やってみる？」
「じゃあ９ね。」
部室にあるパソコンの電卓を使う。まず１割る８１だ。０．０１２３４５６７９０１２３４５６７９…と続く。これに９だから８１をかけると。
「あれ？」
小数点以下に９が並ぶはずが、表示は１だった。
「おかしいな。」
僕はもう一度やってみる。１割る８１かける８１だから…。
「あ！」
「どうしたの？」
「ごめんダメだ。０．９９９９…にはならないんだ。」
「１になっちゃうわけね。」
「そうなんだ。」
僕は９以外の数なら小数点以下に並ぶことを確かめて彼女に説明した。でも彼女はそんなことは僕以上に理解していたのかもしれない。ときどき僕なんかよりもよっぼど数学的才能があるんではと思わされることがある。
「こんなのはどうかな。」
パソコンに向かって何かをしていた彼女がこちらを振り返った。電卓の表示は０．１１１…と１がいくつか続く合間に０が入っていた。１の数は違うけど０．１１１０１１１０１１１０…みたいな感じだった。
「さて、これを９で割るとどうなるでしょう。」
僕は言われるままに、９で割ってみた。
そこには、０．０１２３４５６７８９０１２３４５６７８９…と８が抜けたりしないで０から９までが繰り返されていた。
（つづく）
2012-01-23
■アキレスと無限 
アキレスと神
アキレスは神に祈りを捧げた。もっと早く走れるようになりたいと。
君は今のままでも充分に早く走れるではないか。そんなことをいう友人もいたが、アキレスが耳をかすことはなかった。
そんな彼のところを旅の老人がおとずれた。知らない顔だったので旅の老人だとアキレスは思ったのだが、もしかしたら神が姿をかえたのかもしれないし、他の何かかもしれない。しかし何であれ単なる人間ではないことは、その後に起きたことからもあきらかであろう。
本当に早く走れるようになりたいのか。旅の老人はアキレスにたずねた。
もちろんだ。とアキレスはこたえた。
それでは世界中のどこにでも２秒のうちに到達できる程の速さで走れるようしてやろう。と老人。
もしそれが本当ならば、どんな礼でもしよう。とアキレス。
老人が何かをした。とはアキレスに感じられなかったが、あそこまで走ってみるようにという言葉のままに１００メートルほど離れた木の所を目指して走り出した。
最初の１メートルに１秒かかった。
次の１メートルには２分の１秒かかった。
その次の１メートルには４分の１秒。
その次の１メートルには８分の１秒。
……
そして、確かに２秒とかからずに１００メートルの距離を走りきった。
アキレスが振り返ったときには老人の姿はどこにも無かった。
アキレスと亀
不思議な力を手に入れたアキレス。どんなに遠くの国であっても２秒かからずに到着できるようになったのだから今度こそと思っても不思議ではありません。今度こそ、亀と競争して勝つ、と。
亀はアキレスの不思議な力について噂として知っていましたし、アキレスからも直接聞かされました。亀はアキレスとの競争をなかなか承諾しませんでした。実はアキレスの為を思ってのことだったのですが、自分の力を過信したアキレスにはわかるはずもありません。
どうしても自分と競争するように執拗に求めるアキレスに対し、亀はスタートして３秒でどちらが遠くまで行けるのかという条件でも良いかと尋ねた。
アキレスと亀は競争をすることになった。
スタートして１秒の間に、アキレスは１メートル、亀も１メートル進んだ。
次の１秒で亀は１メートル進み、その次の１秒でさらに１メートル進んだ。
スタートして３秒たったときに、亀は３メートル進んだ地点にいた。
アキレスの行方は誰も知らない。
関連
2012-01-20
■宇宙をデバッグする神 
創造主としての神と無限
この世界をつくりだした創造主としての神が存在したとして、その能力が無限つまり全能である必要性は無いのではないかと考えられます。比喩的な意味での無限の能力、太陽エネルギーが無限であるのと似たようなかたちで創造主の力は無限であると言うことはできるでしょう。しかし、太陽エネルギーは膨大であっても有限です。さらに、数十億年の後には失われてしまうのだから、時間的な意味でも無限ではありません。
宇宙全体にしたところで無限に広がる宇宙というのもやはり比喩的な意味であって数学的な無限ではなく、非常に広いけれども有限の大きさであるわけです。有限の宇宙を作り出すのならば、全能ではない有限の能力の持ち主でも可能でしょう。
プログラムとデバックモード
コンピュータのプログラムにはデバッグモードというのが備えられていることが多いです。不具合を見つけたり修正したりする目的で使うもので、任意の場所でプログラムを停止させたりデータを書き換えたりといったことが可能です。
人間が作り出したプログラムにデバッグモードが存在するならば、創造主が作り出した世界にも同様なものが存在しても不思議ではありません。これは必ずしも世界がコンピュータ的なものによるシミュレーションであるということではありません。洗濯機や電子レンジのような家電製品にもサービスマンが修理の時につかうデバッグモードのようなものが存在します。ある程度複雑なものを作り出す場合に、それをメンテナンスすることを考えておくのは一般的なことです。
蟻の巣観察キットと高次元
蟻の巣の観察キットというのがあります。平べったい透明なケースに土のかわりのゼリーを入れて、蟻の巣を観察しやすくしたものです。平面状に制限された蟻の巣は、面に垂直の方向から見ることで全体を把握できます。
地面の中の三次元的な蟻の巣をそのまま観察する方法はないのでしょうか。一つ上の次元が存在すれば三次元の立体的な構造を平面を観察するかのように一望することができ、蟻の巣だけでなくあらゆるものが把握できるはずです。まるで蟻の巣観察キットを見るかのように、世界の状態を観察できるわけです。
巻き上げられた次元
相対性理論によれば、この宇宙は三次元の空間に一次元の時間を加えた四次元の時空間として扱えるようですが別の次元があるとする理論も存在します。超弦理論とよばれるものがそうです。超弦理論では非常に小さな紐状の超弦が全ての物質の源であるとしているのですが、数学的に矛盾が出ない為には四次元ではなく十次元や十一次元の時空を必要とするようです。四次元よりも多い次元については非常に小さくて我々には観測できないとされています。宇宙ができたときに小さく巻き込まれたと考えられていて、それを観察によって確かめるには非常に大きなエネルギーが必要になります。ただし現在の粒子加速器のレベルではとうてい到達できないほどの高エネルギーが必要なので、当分の間は確認不可能でしょう。
ところで、巻き込まれた次元からこちらを観察することは可能なのでしょうか。
宇宙をデバッグする神
この世界をつくりだした創造主としての神が存在したとして、自らの作り出した結果を観察し必要ならばコントロールするデバックモードのような機能も世界に備えておいた可能性はかなり高いのではないかと思います。そして、三次元の空間と一次元の時間を一望にする為の高次元が存在すれば世界を観察しやすいというのも確かです。さらに、この世界には何故だかわからないけれども我々には観察のできない次元が６つか７つ存在することが超弦理論によって予測されています。
超弦理論が予測する巻き上げられた次元に世界を作り出した創造主が存在して、こちら側を観察している。と想像することもできるでしょう。小さく巻き上げられているのも観測には好都合で、ば数億光年といった非常に長い距離であっても対応する巻き上げられた次元でほとんど同時に観測できるほどに縮小されているとしたら宇宙全てを一望することもできるわけです。
