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2016-07-08

ニセコインと重さ ニセコインと重さを含むブックマーク

天秤でどちらが重いのかを比較するのではなく、何グラムかをはかることでニセコインを見つけるという問題もあります。


コインが沢山入った袋が4つあり、コインの見た目は同じだが3つの袋に入っているコインは10グラムなのに対し、1つの袋に入っているコインは9グラムしかない。重さを一度だけはかって、9グラムのコインが入った袋を見つけるにはどうすればいいか。


重さが違うコインなので、何枚かのコインの重さをはかると何枚のコインが9グラムなのかというのはわかります。

4枚のコインの全てが10グラムならば40グラムになるはずで、9グラムのコインが1枚混ざっていれば39グラムになるはずです。なので、4つの袋から違う枚数のコインを取り出して重さをはかることで、どの袋が9グラムのコインなのかを判定することができます。

たとえば、1つ目の袋から1枚、2つ目からは2枚、3つ目からは3枚、4つ目から4枚のようの合計10枚のコインを取り出して重さが100グラムから何グラム軽いのかがわかれば、9グラムのコインの枚数がわかります。

コインの枚数は1、2、3、4枚ではなくても良く、1、3、6、10枚とかでもかまいません。

それでは9グラムのコインが入っている袋が複数あった場合はどうでしょうか。


コインの入った袋が4つあり、10グラムのコインが入った袋と9グラムのコインが入った袋があるがそれぞれ何袋なのかはわからないし、コインの見た目は同じ。袋から取り出したコインの重さを一度だけはかって、9グラムのコインが入った袋を全てみつけるにはどうすればいいか。




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2016-07-01

ニセ金貨と天秤と隠れた条件 ニセ金貨と天秤と隠れた条件を含むブックマーク

天秤を使った問題。天秤は両側に乗せた物の重さを比較して、どちらかが重いもしくは同じ重さであることを確認する為にしか使えない。


9枚の金貨にニセの金貨が1枚まざっている。天秤を何回使えばニセの金貨を見つけることができるか。


こんな問題があった場合に、2回と答えることもできるし3回と答えることもできる。

ニセ金貨なので本物よりも軽いという条件が問題に含まれていると考えれば2回だし、理論的には本物よりも重いニセ金貨も存在しうると考えれば3回となる。

重いのか軽いのかわからないというのを明確にするには、金貨でなくコインや玉にする方法がある。


9つの玉に一つだけ重さが違う玉がまざっている。天秤を何回使えば重さの違う玉を見つけることができるか。


この問題ならば解答は3回となる。

天秤を3回使った場合には9個よりも多くの玉から重さの違う玉を見つけることができる。


天秤を3回使って、一つだけ重さの違う玉を見つけることが出来る最大の個数は何個か。


この場合の解答は13個、もしくは12個となる。重さの違う玉を見つけるだけならば13個までいけるが、その玉が重いのか軽いのかまではわからない場合がでてくる。見つけた玉が重いもしくは軽い玉であると判別できるのは12個の場合までになる。

このように問題文に隠された条件をどう読み取るのかによって答えが一つに定まらない場合というのがでてくる。しかし最初のニセ金貨の問題でいえば金貨なのだから偽物は軽いという条件を読み取って2回という解答の方が好ましいのではないか。

それをふまえて最後の問題。


20枚の金貨にニセ金貨が何枚かまざっている。天秤を何回使えばニセ金貨の枚数を知ることができるか。




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2016-06-07

二乗を3回繰り返すと元に戻す数と代数複素数平面 二乗を3回繰り返すと元に戻す数と代数と複素数平面を含むブックマーク

二乗を3回繰り返すことで元に戻る数が

とりあえずだまされたと思って-((-1)^(1/7))を2乗してみてくれ - アジマティクス

*1に書かれていました。

元エントリーは代数的に書かれているのですが、これを複素数平面でのベクトルの回転として考えることもできます。たぶん複素平面の方が直感的な理解はしやすいと思うのですが、不思議な数という感じは薄れてしまうかもしれません。

2乗を3回くりかえすと元にもどる数を、長さ1の複素平面ベクトルとして考えると以下の7つがわりと簡単に導き出せます。2乗を3回くりかえすというのはつまり8乗することなので、8乗すると元にもどる数ということです。


(-1)^{¥frac{2}{7}}


(-1)^{¥frac{4}{7}}


(-1)^{¥frac{6}{7}}


(-1)^{¥frac{8}{7}}


(-1)^{¥frac{10}{7}}


(-1)^{¥frac{12}{7}}


(-1)^{¥frac{14}{7}} = 1


これらすべてが8乗すると元の数にもどります。最後の−1の7分の14乗は−1の二乗だから1です。これが何乗しても1のままというのは簡単ですが、他の数がどうなるのか最初の1つを計算してみます。

((-1)^{¥frac{2}{7}})^8 = (-1)^{¥frac{2*8}{7}} = (-1)^{¥frac{16}{7}} = (-1)^{2+¥frac{2}{7}} = (-1)^{¥frac{2}{7}}

他の数も同様に8乗すると元の数にもどります。

この7つの数には元記事にある-(-1)^{¥frac{1}{7}}が無いように思えるかもしれませんが、(-1)^{¥frac{8}{7}}がそうです。マイナスを付けた表記でも書いてみるとこうなります。


(-1)^{¥frac{2}{7}} = -(-1)^{¥frac{9}{7}}


(-1)^{¥frac{4}{7}} = -(-1)^{¥frac{11}{7}}


(-1)^{¥frac{6}{7}} = -(-1)^{¥frac{13}{7}}


(-1)^{¥frac{8}{7}} = -(-1)^{¥frac{1}{7}}


(-1)^{¥frac{10}{7}} = -(-1)^{¥frac{3}{7}}


(-1)^{¥frac{12}{7}} = -(-1)^{¥frac{5}{7}}


(-1)^{¥frac{14}{7}} = -(-1)^{¥frac{7}{7}} = 1



複素平面状のベクトルとして考えると(-1)^{a}というのはa=0の時の1から始まり、aが増えると原点からの長さは1のままで原点を中心にして左向きに回転していき、a = ¥frac{1}{2}虚数のiになり、a=1で-1、a = ¥frac{3}{2}で−i、そしてa=2で一周してまた1に戻ってくるというイメージです。

2016-06-02

再婚禁止期間と嫡出推定 再婚禁止期間と嫡出推定を含むブックマーク

女性の再婚禁止期間が短縮されたニュース。「女性の再婚禁止期間を短縮 改正民法が成立 | NHKニュース*1


改正民法は、再婚を禁止する期間を6か月から100日に短縮し、離婚時に妊娠していないことが医師によって証明された場合には、禁止期間の適用を除外する規定を盛り込んでいます。

エラー|NHKオンライン

これは結婚している女性が産んだ子供は夫の子だとするという嫡出推定に関連するもので、離婚した後でも300日までに生まれた子は前夫の子だと推定されます。また結婚後200日以降に生まれた子供は夫の子と推定されるので、離婚直後に結婚して子供が生まれると、前夫の子である推定と現在の夫である推定が競合することになります。それを無くすために、100日の再婚禁止期間はあってもよいがそれよりも多い期間は違憲であるという最高裁判所判決によって今回の法改正となりました。


再婚禁止期間の理由は子の父親の推定にあるわけで、記事にもあるように妊娠していないことが確かであれば禁止期間無しに再婚することができます。また離婚したのと同じ人と再婚する場合も問題は生じないので、前の法律でもすぐに再婚することが可能でした。


禁止期間を全く無くすにはどうしたらいいかというと、極端な考えとしては嫡出推定をすべて無くすというのもあります。これは現状の結婚制度を大きく変えることになるので、実現する可能性は低そうです。

あとは妊娠していることがわかったら再婚できないのではなく、妊娠している段階で前夫の子である推定が成立するとしてその後から再婚しても再婚相手の子の推定は成立しないとすることも考えられます。この方法だと再婚するために妊娠しているかどうかの検査をして、妊娠していない場合でもしている場合でも再婚することが可能になります。

先に生じた権利が優先するというのは一般的な考え方で、再婚禁止期間があるのもそのためです。なので、権利が競合しないようにすれば再婚はできるようになるのではないでしょうか。

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2016-02-16

重力波一般相対性理論 重力波と一般相対性理論を含むブックマーク

電磁波特殊相対性理論とは別に存在できるのだから重力波一般相対性理論と関係無いものがあってもいいような。

電波や光などの電磁波マックスウェル方程式で示されるものですが、これは相対性理論よりも前。

潮の満ち引きなどは月からの重力の強さの変化によるものなので、これも重力波として考えることは可能。周期が約12時間の波。

そういう意味では重力波というのは昔から存在が確認されていたのではないか。


最近のニュースで重力波を検出したのはレーザー光の干渉によって空間の歪みを検出する干渉型検出器だけども、以前に考えられていた共振型検出器では金属の大きな検出器にはたらく潮汐力を検出する物でした。重力波によって生じるのも潮汐力なので、月などによる潮汐力と違うとすると何が違うんだろう。


重力波研究の歴史 « KAGRA 大型低温重力波望遠鏡」http://gwcenter.icrr.u-tokyo.ac.jp/plan/history



(5月14日追記)

等価原理は重力波でも成り立つのかどうか。一般相対性理論での等価原理はエレベータの中で下向きの力を測定できたとしても、それが重力によるものか加速度によるものか区別がつかないというものです。それを重力波でも考えることができるのではないか。つまりエレベータの中で重力波を観測した場合も、実は重力波ではないこともありえるのでしょうか。