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もうカツ丼でいいよな このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

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2011-06-26

[][] Problem 146 16:31  Problem 146を含むブックマーク  Problem 146のブックマークコメント

Probem 145は前に解いたので( Problem 145 - もうカツ丼でいいよな)146。

no title

n^2+1, n^2+3, n^2+7, n^2+9, n^2+13, n^2+27が連続する素数となる最小のnは10である。100万未満でそのようなnの総和は1242490になる。

1億5千万未満についてこのようなnの総和を求めよ。

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[][] Problem 144 00:19  Problem 144を含むブックマーク  Problem 144のブックマークコメント

内部が鏡になっている楕円型の装置内に入射された光が特定のポイントに戻ってくるまでに何度反射するのか、という問題。

楕円は4x^2 + y^2 = 100という方程式で表現され、円周上のある点における接線は-4¥frac{x}{y}で表される。

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2011-06-19

[][] Problem 143 19:44  Problem 143を含むブックマーク  Problem 143のブックマークコメント

no title

ABCをどの内角も120°未満である三角形とする。Xを三角形の内点とし、XA = p, XB = q, XC = rとする。

フェルマー(ピエール・ド・フェルマー - Wikipedia)はトリチェリ(エヴァンジェリスタ・トリチェリ - Wikipedia)に対し、p + q + rを最小化するようなXを見つけられるかという問を出した。

トリチェリ正三角形AOB, BNC, AMCABCの各辺の外側に作図すると、それらの外接円はABCの内側の一点で交わることを示し、さらにその交点Tがp + q + rを最小化することを示した。点Tはトリチェリフェルマー点と呼ばれる。加えて興味深いことに、p + q + rが最小化されているとき、AN = BM = CO = p + q + rであり、AN, BM, COは点Tで交わる。

f:id:Rion778:20110619195403g:image

p + q + rが最小化されており、a, b, c, p, q, rの全てが正整数であるとき、三角形ABCトリチェリ三角形と呼ぼう。例えばa = 399, b=455, c=511はトリチェリ三角形であり、p + q + r = 784である。

トリチェリ三角形について、全ての相異なる値p + q + r ≦ 120000の総和を求めよ。

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2011-06-15

[] 大気の熱力学 - 理想気体の状態方程式 23:57  大気の熱力学 - 理想気体の状態方程式を含むブックマーク  大気の熱力学 - 理想気体の状態方程式のブックマークコメント

最近気象学をちょっとずつ勉強してるんだけれども、数式や記号に微妙な方言があるようで大したことないところで躓いてしまう。なので少しずつ理解した部分をまとめていこうと思う。ていうか最近Project Euler手に負えない問題出てきたのでブログのネタが無い。

とりあえずの教科書は一般気象学で、基本的にこれに沿って勉強していく。他の本も参照しつつぼちぼちと。

今回は状態方程式中心。

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式(以下単に状態方程式)というとよくあるのは

という表現で、nがモル数(物質量)でRが気体定数で…という感じだが気象学のテキストだと似てるけどちょっと違う表現が出てくる。

まず、いわゆる気体定数は一般気体定数や普遍気体定数と呼び、で表す(なお、)。そして、モル数の代わりに質量をそのまま使う。また、質量の単位としてはkgを使い、モルの代わりにキロモル(kmol)を使う。

分子量Mの気体がm kgあったとしよう。そのときキロモル数nは

である。

状態方程式のに、nをm/Mに置き換えると

となる。ここで

なる数Rを定義し、気体定数と呼ぶ。すなわち、一般気体定数を分子量で割った物が気象学における気体定数であり、値は気体の種類に固有となる。

気体定数Rを用い状態方程式を書き換えると、

となり、よくある表現と形の上では同じになる。mが質量(kg)であることRは気体の種類に固有な気体定数であることの2点に注意しよう。

状態方程式は様々な表現が可能だが、次の2つがよく使われるので覚えておこう。

  • 密度()を用いた表現
  • 比容()を用いた表現

乾燥空気の気体定数

「混合気体の圧力pは各成分気体の分圧の和に等しい」これをダルトンの法則(Dalton's law)と呼び、式で表現するなら

である。

状態方程式は混合気体を構成する各成分気体に対しても成立する。

よって混合気体の状態方程式を次のように記述できる。

ここで、混合気体は各成分気体のキロモル数を足しあわせただけのキロモル数、すなわち

だけ存在しており、質量も同様に各成分気体の質量を足しあわせただけ、つまり

だけ存在している。

ここで混合気体の平均分子量を次のように定義する。

そして混合気体の気体定数を次のように定義する。

実際の大気の成分比を元にして乾燥空気の平均分子量と気体定数を計算すると、

  • (窒素が主成分なので窒素の分子量28.01に近い)

となる。

湿潤空気の気体定数

実際の大気は乾燥空気と水蒸気の混合気体である。

乾燥空気の状態方程式をここで

とおき、水蒸気の状態方程式を

とおく。eは水蒸気分圧である。

乾燥空気の密度と水蒸気の密度の比を混合比wと定義する。

また、乾燥空気と水蒸気の気体定数の比をε(≒0.622)とおく。

湿潤空気の圧力はダルトンの法則より乾燥空気の圧力と水蒸気分圧の和だから、

これを変形して湿潤空気の状態方程式の形にしていく。

状態方程式、w、εを用いて変形すると、

湿潤空気の密度は乾燥空気の密度と水蒸気の密度の和なので、

これを用いると、次の式が得られる。

この式から湿潤空気の気体定数に相当する部分を抜き出すと、

であることがわかる。混合比wは通常十分に小さいので、マクローリン展開してwの2次以上の項を捨てるように近似すると、

ここで仮温度を次のように定義する。

仮温度を用いると、湿潤空気に対する状態方程式は

と乾燥空気の状態方程式と見かけ上同じ形式で記述できる。

ただし、wが0.03を超えるようなことはあまりない。そのため、気象学では湿潤空気に対しても通常は乾燥空気の状態方程式をそのまま用いる。

参考文献

2011-06-06

[][] Problem 142 17:10  Problem 142を含むブックマーク  Problem 142のブックマークコメント

no title

x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - zが全て平方数となるような自然数x > y > z > 0について、最小のx + y + zを求めよ。

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2011-06-01

[]5月に買った本&読んだ本 19:47 5月に買った本&読んだ本を含むブックマーク 5月に買った本&読んだ本のブックマークコメント

暇そうだ暇そうだと言われる割にさっぱり本読んでない今月。連休とか何してたのだろうか。のんべんだらりと浪費されていく人生。そんな5月。

買った(≒積まれてる)

VBAエキスパート公式テキスト Excel VBA スタンダード

VBAエキスパート公式テキスト Excel VBA スタンダード

なんかこうガッとやってバッとやってグッとするとグラフが出現するような、例えばRみたいなことがしたい。ただ時間とやる気がなくて勉強できてない。

増補・改訂版! V式でらくらく合格 速記入門

増補・改訂版! V式でらくらく合格 速記入門

会議とかで役立つかと安易な気持ちで買ってみたけど時間とやる気がなくて勉強できてない。

入門xyzzy

入門xyzzy

職場のPCでメモとる際のフラストレーションを和らげるためにxyzzy導入したけどxyzzy Lispは時間とやる気がなくて勉強できてない。でもなんかxyzzyデフォルトでもemacsでよく設定されるキーバインド(C-hで削除とか)使えるので今のところカスタマイズの必要性感じていない。おかげでますます勉強しない。

一般気象学

一般気象学

業務に役立つ程度の気象知識が欲しいと思って買ったけど時間とやる気がなくて勉強できてない。

時間とやる気がなくて勉強できてない。ちょっとしか読んでないけど「一般気象学」より図が多くて表現が噛み砕かれてて優しい印象。ただ分厚い。

食料植民地ニッポン

食料植民地ニッポン

こういう側の意見も知っておかないとアレだなと思って買ったけどまだちょっとしか読んでない。

神が愛した天才数学者たち (角川ソフィア文庫)

神が愛した天才数学者たち (角川ソフィア文庫)

タレスまで読んだ(≒ちょっとめくっただけ)。

読んだ or (買った and 読んだ)

VBAエキスパート公式テキスト Excel VBA ベーシック [模擬問題プログラム付き]

VBAエキスパート公式テキスト Excel VBA ベーシック [模擬問題プログラム付き]

さっくりと読めた。ただちょっとでもプログラミング経験ある人はスタンダードからで十分だと思う。一般的で基礎的な概念も含めて解説してくれるのでやや冗長な感がある。

Newton (ニュートン) 2011年 06月号 [雑誌]

Newton (ニュートン) 2011年 06月号 [雑誌]

図やグラフが綺麗だし分かりやすかった。

科学と科学者のはなし―寺田寅彦エッセイ集 (岩波少年文庫 (510))

科学と科学者のはなし―寺田寅彦エッセイ集 (岩波少年文庫 (510))

一時ネットでも話題になった「津浪と人間」は一読の価値あり。青空文庫でも読めるのでどうぞ→no title

「結果を出す人」はノートに何を書いているのか (Nanaブックス)

「結果を出す人」はノートに何を書いているのか (Nanaブックス)

サッと読んでしまって忘れているだけかもしれないが、結局「結果を出す人」がノートに何を書いているのかよく分からなかった。この手の本は著者と似たような業種の人間なら役に立てられるのだろうなと思う。ところどころ参考になりそうな部分もあって付箋は結構貼ったのだけれど、実際どこか参考にして取り入れたかというと特に取り入れたりしてない。

イノセント・ゲリラの祝祭 (上) (宝島社文庫 C か 1-7)

イノセント・ゲリラの祝祭 (上) (宝島社文庫 C か 1-7)

面白いことは面白いんだけど人名を覚えるのが苦手な自分にはちょっと読むのが辛い。下巻読んでるけど今でも若干どれが誰だかよく分かってない。

GOSICK―ゴシック (富士見ミステリー文庫)

GOSICK―ゴシック (富士見ミステリー文庫)

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