クォータニオン

2011-04-17 クォータニオン

クォータニオンから行列

$q=(w;x,y,z)$ $w$ :実数部 $x,y,z$ :虚数部

多分DirectXのにゃつ

$￥begin{pmatrix} w &z &-y &-x ￥￥ -z &w &x &-y ￥￥ y &-x &w &-z ￥￥ x &y &z &w ￥end{pmatrix} ￥begin{pmatrix} w &z &-y &x ￥￥ -z &w &x &y ￥￥ y &-x &w &z ￥￥ -x &-y &-z &w ￥end{pmatrix} ￥￥ = ￥begin{pmatrix} w^2-z^2-y^2+x^2 &wz+zw+yx+xy &-wy+zx-yw+xz &xw+zy-yz-xw ￥￥ -wz-wz+xy+xy &-z^2+w^2-x^2+y^2 &zy+wx+xw+yz &-xz+wy+xz-yw ￥￥ yw+xz+wy+zx &yz-xw-xw+zy &-y^2-x^2+w^2+z^2 &xy-xy+wz-zw ￥￥ xw-yz+zy-xw &zx+yw-xz-yw &-xy+xy+zw-wz &x^2+y^2+z^2+w^2 ￥end{pmatrix} ￥￥ = ￥begin{pmatrix} 1-2y^2-2z^2 &2xy+2zw &2xz-2yw &0 ￥￥ 2xy-2zw &1-2z^2-2x^2 & 2xw+2yz &0 ￥￥ 2xz+2yw &2yz-2xw &1-2x^2-2y^2 &0 ￥￥ 0 &0 &0 &1 ￥end{pmatrix}$ *1

ただし $x^2+y^2+z^2+w^2=1$

GLにゃへ

$(AB)^t=B^tA^t$ より

$￥begin{pmatrix} 1-2y^2-2z^2 &2xy-2zw &2xz+2yw &0 ￥￥ 2xy+2zw &1-2z^2-2x^2 &2yz-2xw &0 ￥￥ 2xz-2yw &2xw+2yz &1-2x^2-2y^2 &0 ￥￥ 0 &0 &0 &1 ￥end{pmatrix} ￥￥ = ￥begin{pmatrix} w &-z &y &-x ￥￥ z &w &-x &-y ￥￥ -y &x &w &-z ￥￥ x &y &z &w ￥end{pmatrix} ￥begin{pmatrix} w &-z &y &x ￥￥ z &w &-x &y ￥￥ -y &x &w &z ￥￥ -x &-y &-z &w ￥end{pmatrix}$

GLにゃの回転にゃは多分 $qpq^*$ 。*2

$q^*pq$ っていうにゃもあるにゃけど、多分、座標系にゃの違いにゃかにゃ。

Permalink | コメント(0) | 14:08

クォータニオンの合成

メモ

$q_2$ にゃでぐりぐり回転して、次に $q_1$ にゃでうにゃうにゃ回転にゃの合成にゃは $q_1q_2$ 。

Permalink | コメント(0) | 19:17

クォータニオン＋平行移動

メモ

クォータニオンで回転してそにょ後平行移動させるにゃ～って変換にゃの合成にゃは、回転と平行移動にゃをわけて計算にゃ。

変換1（ $q_1$ で回転して $t_1$ で平行移動）、変換2（ $q_2$ で回転して $t_2$ で平行移動）。

変換2の後に変換1にゃをする合成にゃは、回転: $q_1q_2$ 、移動: $q_1t_2q_1^* + t_1$ って感じにゃににゃるですにゃ。

// 脳内擬似コード
struct QuatTrans {
 Quat q;
 Vec3 t;
};
quatTrans12.q = quatTrans1.q * quatTrans2.q;
quatTrans12.t = quatTrans1.q * quatTrans2.t * quatTrans1.q.conjugate() + quatTrans1.t;

Permalink | コメント(0) | 19:17

*1： $w^2-z^2-y^2+x^2=(x^2+y^2+z^2+w^2)-2y^2-2z^2=1-2y^2-2z^2$

*2： $q^*$ にゃは $q$ の共役 $q=(w;x,y,z)$ のとき $q^* = (w;-x,-y,-z)$

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SofiyaCatのプログラム日記

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