冪集合

無限に関する質問です。まず、自然数の集まりなどを表す無限を∞… - 人力検索はてな
個人的には、まだこのはてなで楽しんでいる。既に2回回答していて追記できないのが悲しいところ(>_<)　ちなみに私の1番目の回答は嘘八百です。いまや撤回したいのですがそれができないのも悲しいところ笑

結局、
冪集合を表す「2^」と実数の羃乗を表す「2^」は異なる演算なんですよね。quintiaさんが端的に分かりやすく答えておられる（→その回答）。冪集合は無限集合に対して定義されているので、「2^」することで濃度が1上がるけど、羃乗は実数に対して定義されているのでいくら「2^」してもせいぜい∞に向かうだけということのようだ。僕は以前の回答で、その∞はアレフ0だと書いたけど、それも違うなぁ。あくまでアレフ0は集合の属性だから。∞は実数列（あるいは自然数列）の拡張なので、百歩譲っても集合の元にしかなれないだろう。

たとえば、ある実数に対して「2^」を繰り返してできる数値の集合を考えると、それは可算集合をなすので濃度はアレフ0である。ここで、∞はこの集合の元が近づく値であるから、∞を集合の元に含めるか否かは思想的な問題でどちらでもよいと思うが、そこで∞は集合の濃度です、といってしまうと、え？？となってしまう。有限集合においては集合の元に１から順に自然数を振っていって、その最大値を集合の大きさ(or濃度or基数)としてよいが、無限集合ではそれは通用しない、ということなのだろう。

quintiaさんに対する質問者のコメントで、
＞Ｘという集合を考えて、そのべき集合が自然数の集合と同じ濃度になる場合のＸは、どういった集合と考えられるのか？
と書かれてているのを見ると、これは自然数しか定義されていなかった頃に、0ー１の答えを求めていた古代の人たちを髣髴とさせる。