T-pon’sよろず日記

2005/11/7 [Mon]

素数の集合をごにょごにょすると・・・ 16:42 素数の集合をごにょごにょすると・・・を含むブックマーク

寝る前に布団のなかで思いついた変な話。

 素数の集合をAとする。

A = {2, 3, 5, ...}

◆Aの冪集合をBとする。

B = {φ, {2}, {3}, {2, 3}, {5}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}, ...}

 Bの各元について、含まれる数の積に置換した集合をCとする(ただしφは1とする)

C = {1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, ...}



さて、A, B, Cの濃度に注目する。

A は自然数の無限部分集合である(∵素数は無限に存在する)。従って濃度は¥aleph_0

Bは濃度¥aleph_0の無限集合の冪集合であるから濃度は¥aleph_1

Cは自然数の無限部分集合であり¥aleph_0の濃度を持つ。しかし一方で、濃度¥aleph_1であるBの元と全単射の関係にある(∵Cの各元はBの各元から作られており、またCの各元に重複はない)。


ええぇ??何かしでかしたな…汗



つまり、以上の議論のどこかに間違いがあるわけです。

はてなで質問しようかと思いましたが、ひとまず自分で考えて見ます。

もし何かアドバイスなどありましたらコメント頂けるとありがたいです。

(追記:早速quintiaさんから回答を頂きました→その回答)

ピンっときた事 16:48 ピンっときた事を含むブックマーク

あゃしぃのは、Cの各元の順序が整列されていないところだな。有限集合であるならばソート可能だが、Cの場合無理なのでは…。

選択公理パラドックス? 00:20 選択公理のパラドックス?を含むブックマーク

上記の話に関連した事項をwikipediaで見つけた。それは選択公理(→Wikipedia)だ。


集合論を語るときによく用いられるZF公理系に

選択公理: X をそのどの元も互いに交わらないような空集合でない集合とするとき、X の各元から一つずつとってきたような集合が存在する。

を加えた、ZFC公理系を用いることが多いようだ。一見当たり前の公理だが、選択公理を認めてしまうと、バナッハ=タルスキーのパラドックスなどいくつものパラドックスを生むらしい。今回の話はこのようなパラドックスの1つなのかもしれない。

ではどこに選択公理を用いていたかというと、

におけるBからCの作成だ。Bの各元について積の計算を行うことはちょうど「各元から一つずつとってきたような集合」を作ることに相当する。仮に選択公理が認められないとすれば、この操作は不可能である。つまり、

B = {φ, {2}, {3}, {2, 3}, {5}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}, ...}

から各元について、その積を加えた新たな集合をつくり、

B'= {{{φ}, 1}, {{2}, 2}, {{2, 3}, 6}, {{5}, 5}, {{2, 5}, 10}, {{3, 5}, 15}, {{2, 3, 5}, 30}, ...}

とすると、B'→Cの操作は選択公理に相当するのではないだろうか。

の変換では、Bにおいて異なる2つの元が、Cにおいても異なる元である事は保証されるのであたかもBとCで相同性が保たれているように見えるが、各元がまったく同一というわけではない。もちろん、選択公理を真とするならBの各元を自然数で置換することが許されるので、B→Cの変換により¥aleph_0¥aleph_1が1対1の写像で結ばれることになる。

この話で、選択公理を認めてしまうと、一定の順序で列記可能な集合は全て濃度¥aleph_0全単射の関係であることになる。全ての元が異なる事をタテにして全て異なる自然数で置き換えてしまう、ってコトですね。具体的には¥aleph_0の冪集合*1は全て¥aleph_0全単射の関係。っておいおい本当なのか??…汗


やっぱ選択公理の解釈を誤ってるような気が〜 素人ですからお許しを(;´Д`)  誤りを指摘していただけたら訂正いたします。(てか、¥aleph_0¥aleph_1全単射とか言ってる時点で絶対間違ってますので、良い子の皆さんは本気にしないで下さいね笑)

*1:つまり冪集合の各元について、もとの集合の各元が含まれるかどうかを2進風に表示して、0000..., 1000..., 0100..., 1100..., 0010..., 1010..., 0110..., 1110..., という風に辞書式に描き並べて考える

quintiaquintia 2005/11/07 22:56 数式が書きたかったのでトラックバックさせてもらいました。
アドバイスでなくて直球回答になっちゃいましたが。

T-ponT-pon 2005/11/08 00:59 ありがとうございます!! またひとつスッキリしました。 無限という概念自体は自然数(とくに集合論における可算無限集合という意味での自然数)には含まれないんですね。 自分なりの感覚を先ほど書き上げたのですが、またまたお恥ずかしい(>∀<)

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