回答編です。
【１】次の直角三角形 ABC で、sinA、cosA、tanA の値を求めよ。
(1) 辺 a = 4、b = 5、c = 3、∠B = 90°
C
／|
／ |
／ |
5 ／ | 4
／ |
／ |
／ |
A ／―――――――|B
3
答え)
sinA = 4/5
cosA = 3/5
tanA = 4/3
(2) 辺 a = 1、b = 3、c = SQR(10)、∠C = 90°
※ SQR() は平方根の関数。以下同じ。
A
／|
／ |
／ |
SQR(10) ／ | 3
／ |
／ |
／ |
B ／―――――――|C
1
答え)
sinA = 1/SQR(10)
cosA = 3/SQR(10)
tanA = 1/3
【２】次の三角比の表を完成させよ。
答え)
ここで S2 = SQR(2) 、S3 = SQR(3) とする。
θ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sinθ ( 0 ) ( 1/2) (1/S2) (S3/2) ( 1 ) (S3/2) (1/S2) ( 1/2) ( 0 )
cosθ ( 1 ) (S3/2) (1/S2) ( 1/2) ( 0 ) (-1/2) (-1/S2) (-S3/2) (-1 )
tanθ ( 0 ) (1/S3) ( 1 ) ( S3 ) ( ／ ) (-S3 ) (-1 ) (-1/S3) ( 0 )
【３】傾斜角 15°の坂をまっすぐに 100 m 登る時、鉛直方向に何 m 登ったことになるか。
また、水平方向に何 m 進んだことになるか。但し、1 m 未満を四捨五入せよ。
※ 三角関数表添付。
答え)
鉛直方向に進む距離を y、水平方向に進む距離を x とする。
鉛直方向:
y/100 = sin15°、ここで三角関数表より sin15°= 0.2588 。
よって y/100 = 0.2588
y = 100 * 0.2588
y = 25.88
水平方向:
x/100 = cos15°、ここで三角関数表より cos15° = 0.9659 。
x/100 = 0.9659
x = 100 * 0.9659
x = 96.59
鉛直方向（ 26 ）m 、水平方向（ 97 ）m
【４】cosθ = -4/5 ( 0°≦ θ ≦ 180°) の時、sinθ、tanθの値を求めよ。
答え)
sinθ = 3/5
tanθ = -3/4
【５】0°≦ θ ≦ 180°である時、次の角θの大きさを求めよ。
(1) sinθ = SQR(3) / 2
答え)
θ = {60°,120°}
※ sin は y 軸投影。180°までなので、第２象限 ( 90°≦ θ ≦ 180 ) を忘れないように。
(2) 2 * cosθ + 1 = 0
答え)
cosθ = -1/2
θ = 180°- 60° = 120°
【６】△ABC において、次の(1)〜(3)までの問いに答えよ。但し、R は △ABC の外接円の半径とする。
(1) ∠A = 45°、∠B = 60°、辺 a = 8 の時、辺 b の長さを求めよ。
A
／\
／ \
／ 45°\
／ \
／ \
／ \ b
／ \
／ \
／ \
／ 60° \
B ―――――――――――――――\C
8
答え)
正弦定理より、
b / sinB = a / sinA
b / sin60°= 8 / sin45°
b = 8 / sin45° * sin60°
b = 8 / (1/SQR(2)) * (SQR(3)/2)
b = 8 * SQR(2) * SQR(3)/2
b = 4 * SQR(6)
※ 角度が２つ与えられている点に着目し正弦定理。
(2) ∠A = 50°、∠B = 100°、辺c = 7 の時、外接円の半径 R を求めよ。
B
／＼
／ ＼
／ 100° ＼
／ ＼
7 ／ ＼
／ ＼
／ ＼
／ ＼
／ ＼
／ 50° ＼
A ――――――――――――――――――――C
答え)
正弦定理より、
2 * R = c / sinC
R = 1/2 * 7 / sin(180°-100°-50°)
R = 7 * 1/2 / sin30°
R = 7 * 1/2 / (1/2)
R = 7
※ 外接円であること、または角度が２つ与えられている点に着目し正弦定理。
(3) 辺 b = 5 、辺 c = 2 * SQR(3)、∠A = 30°の時、辺 BC の長さ a を求めよ。
A
/\
/ \
/ \
2*SQR(3) / 30° \
/ \
/ \
/ \ 5
/ \
/ \
/ \
/ \
B ―――――――――――\C
a
答え)
余弦定理より、
a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA
a^2 = 25 + 12 - 2*5*2*SQR(3)*cos30°
a^2 = 37 - 20*SQR(3)*(SQR(3)/2)
a^2 = 37 - 30
a^2 = 7
a = SQR(7)
※ 角度とそれを挟む辺の長さがわかっているので、余弦定理。
【７】△ABC と △ADE は相似である。
辺 AC 上に、点 E があり、線分 AE = 5 、線分 EC = 2 である。また、辺 AB 上に、点 D があり、線分 DE は 辺 BC と平行である。(∠ACB = ∠AED = 90°である。)
A
／|
／ |
／ |
／ | 5
／ |
／ |
／ |
D ／―――――――|E
／ |
／ | 2
／ |
B ――――――――――― C
(1) △ABC と △ADE の相似比は幾らか。
答え)
(5+2) : 2 = 7:2
(2) △ABC と △ADE の面積比は幾らか。
答え)
7^2 : 5^2 = 49:25
(3) 辺AC を軸に三角形を回転させてできる円錐 ABC と 円錐 ADE の体積比は幾らか。
答え)
7^3 : 5^3 = 343:125
【８】次の公式を書け。但し、半径 r 、円周率 π とする。また、(1) 〜 (4) の値を求めよ。
−１. 球の体積 V
答え)
V = 4/3 * π * r^3
−２. 球の表面積 S
答え)
S = 4 * π * r^2
(1) 半径 が、 6 である球の体積 V1
答え)
V1 = 4/3 * π * 6^3
V1 = 288 * π
(2) 直径 が、 3 である球の表面積 S1
答え)
S1 = 4 * π * (3/2)^2
S1 = 9 * π
(3) 底面の半径が 5 、高さが 4 の円柱の体積 V2
答え)
V2 = π * h * r^2
V2 = π * 4 * 5^2
V2 = 100 * π
(4) 底面の直径が 12、高さが 5 の円錐の体積 V3
答え)
V3 = 1/3 * π * h * r^2
V3 = 1/3 * π * 5 * (12/2)^2
V3 = 60 * π
【９】△ABC で、辺 a = 3、辺 b = 4、∠C = 30°の時、この三角形の面積 S2 を求めよ。
A
\ ＼
\ ＼
\ ＼
\ ＼ 4
\ ＼
\ ＼
\ ＼
\ ＼
\ 30°＼
B―――――――C
3
答え)
面積の定理より、
S = 1/2 * a * b * sinC
S = 1/2 * 3 * 4 * sin30°
S = 6 * 1/2
S = 3
いじょうです。
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