解答編です。
【1】以下の定積分公式を証明せよ。
β
S = ∫ ( x - α ) * ( x - β ) dx = - 1/6 * ( β - α )^3
α
答え)
β
S = ∫ ( x - α ) * ( x - β ) dx
αβ
= ∫ { x^2 - (α+β)*x + α*β } dx
αβ
= [ 1/3*x^3 - 1/2*(α+β)*x^2 + α*β*x ]
α= [ 1/3*β^3 - 1/2*(α+β)*β^2 + α*β^2 ]
- [ 1/3*α^3 - 1/2*(α+β)*α^2 + (α^2)*β ]
= 1/3*(β^3-α^3) - 1/2* (α+β)*β^2 + 1/2* (α+β)*α^2+ α*β^2 - (α^2)*β
6*S = 2*(β^3-α^3) - 3*(α+β)*(β^2 -α^2) + 6*α*β*(β-α)= 2*β^3 - 2*α^3 - 3*α*(β^2 -α^2) - 3*β*(β^2 -α^2) + 6*α*β(β-α)
= 2*β^3 - 2*α^3 - 3*α*β^2 + 3*α^3 - 3*β^3 + 3*β*α^2 + 6*α*β^2 - 6*(α^2)*β
------ ======== ^^^^^^^^^^^ ======= -------- ^^^^^^^^^
= -β^3 + α^3 + 3*α*β^2 - 3*(α^2)*β
----- ===== ^^^^^^^^^
= α^3 -β^3 + 3*α*β^2 - 3*(α^2)*β
^^^^^^^^^ ~~~~~~~~~~~~~
6*S = α^3 -β^3 + 2*α*β^2 + α*β^2 - 2*(α^2)*β - (α^2)*β^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
==== ----- --------- ======= ============ ------------
*1 **1 **2 *2 *3 **3= α*β^2 - 2*(α^2)*β + α^3 - (α^2)*β + 2*α*β^2 - β^3
======= ============= ==== ----------- -------- ------
*2 *3 *1 **3 **2 **1
= α*(β^2 - 2*α*β + α^2) -β*(α^2 - 2*α*β + β^2)
======================= -----------------------
======================= =======================
= - (β-α) * (β^2 - 2*α*β + α^2)
======================
= - (β-α) * (β-α)^2
=========
= - (β-α)^3
∴ S = - 1/6 *(β-α)^3
β
S = ∫ ( x - α ) * ( x - β ) dx = - 1/6 * ( β - α )^3
α
【2】以下の問を解け。
放物線 y = - x^2 + x + 2 と x 軸に囲まれた図形の面積を S とする。
点(2,0) を通る直線 ℓ が、この図形の面積 S を２等分する時、ℓ の傾き a を求めよ。
答え)まず y = 0 を解く。
- x^2 + x + 2 = 0 より、
- ( x - 2 ) * ( x + 1 ) = 0 と因数分解可能。
よって、x = { -1 , 2 } 。
この放物線は、(x,y) = { (2,0) , (-1,0) } の２点で x 軸と交わる。
※ 直線 ℓ は、放物線 y = - x^2 + x + 2 = 0 の片方の解である点(2,0)を通る。
ちなみに y = - x^2 + x + 2 を変形すると、
y = - x^2 + x + 2
= - ( x - 1/2 )^2 + 9/4
頂点は (1/2,9/4) で、放物線は上に凸。
放物線 - x^2 + x + 2 と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めると、
-1
S = ∫ (x-2)*(x+1) dx = -1/6 * { (-1) - 2 }^3 }
2= -1/6*(-3)^3 = 27/6 = 9/2
よって放物線 - x^2 + x + 2 と ℓ で囲まれた図形の面積が、
1/2*S = 9/4
となれば良い。
ここで直線 ℓ は、点(2,0) を通るので、この直線の式は以下の様になる。
( y - 0 ) = a * ( x - 2 )
この直線 ℓ : y = a * ( x - 2 ) と放物線 - x^2 + x + 2 の交点 P を考える。
この点では、a * ( x - 2 ) = - x^2 + x + 2 が満たされる。
これを解いて、
a * ( x - 2 ) = - x^2 + x + 2
= - ( x - 2 ) * ( x + 1 )
( x - 2 ) * ( x + 1 + a ) = 0
⇔ x = { 2, -a-1 }
よって、問題文の条件により、
2
S/2 = ∫ { - x^2 + x + 2 - a * ( x - 2 ) } dx
-a-1
= 1/2 * 9/2 = 9/4
が成立しなくてはならない。
整理して、2
S/2 = ∫ { - ( x - 2 ) * ( x + 1 ) - a * ( x - 2 ) } dx
-a-1= 9/4
2
S/2 = ∫ { - ( x - 2 ) * ( x + 1 + a ) } dx = 9/4
-a-1
2
S/2 = - ∫ { ( x - 2 ) * ( x + a + 1 ) } dx = 9/4
-a-1
ここで、α = -a - 1 、β = 2 とすると、
β
S/2 = - ∫ { ( x - α) * ( x - β ) } dx = 9/4
α
放物線の定積分公式より、
β
- ∫ { ( x - α) * ( x - β ) } dx
α= - { 1/6 * ( β - α )^3 }
= - { 1/6 * ( 2 + a + 1 )^3 }
= 9/4
これを解けば、傾き a が求められる。
1/6 * ( 3 + a )^3 = 9/4
( 3 + a )^3 = 9/4 * 6 = 27/2
3 + a = (27/2)^(1/3) ※ 三乗根(立方根)
a = (27/2)^(1/3) - 3
= 3/2 * 4^(1/3) - 3 ※ Excel 張付可。
≒ -0.618898422
∴ 傾き a は、3/2 * 4^(1/3) - 3 である。
(参考)a = 3/2 * 4^(1/3) - 3 より、点 P の x 座標は、
x = -a - 1
= -1 * ( 3/2 * 4^(1/3) - 3 ) -1
= 2 -1 * (3/2 * 4^(1/3)) ※ Excel 張付可。
≒ -0.381101578
直線 ℓ → y = a * ( x - 2 ) である。
点 P では、x = -a - 1 を ℓ に代入した以下が成立。
y = a * ( -a - 1 - 2 )
= -a^2 - 3*a
= -1 * { 3/2 * 4^(1/3) - 3 }^2 - 3 * { 3/2 * 4^(1/3) - 3 }
= -1 * ( 3/2 * 4^(1/3) - 3 )^2 - 3 * ( 3/2 * 4^(1/3) - 3 ) ※ Excel 張付可。
≒ 1.473660009
上の式を展開してもう少し整理すると、y = a * ( -a - 1 - 2 )
= -a^2 - 3*a
= -1 * { 3/2 * 4^(1/3) - 3 }^2 - 3 * { 3/2 * 4^(1/3) - 3 }
= 9/2 * ( 4^(1/3) - 2^(1/3) ) ※ 9/2 に「４の３乗根と２の３乗根の差」を乗ずる。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ※ Excel 張付可。≒ 1.473660009
a だけでなく、x = 2 -1 * (3/2 * 4^(1/3)) も使うと、y = a * ( x - 2 )
= ( (27/2)^(1/3) - 3 ) * ( 2 -1 * (3/2 * 4^(1/3)) - 2 ) ※ Excel 張付可。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
≒ 1.473660009
点 P(x,y) = P ( 2 -1 * (3/2 * 4^(1/3)) , -1 * { 3/2 * 4^(1/3) - 3 }^2 - 3 * { 3/2 * 4^(1/3) - 3 } )
= P ( -0.381101578 , 1.473660009 )
点P の座標が異なる計算式で計算出来て、一致した。
また、以下の定積分公式から面積を求めると、β
- ∫ { ( x - α) * ( x - β ) } dx
α= - { 1/6 * ( β - α )^3 }
S/2 = - { -1/6 * ( 2 + a + 1)^3 }
= 1/6 * ( 3 + a ) ^3
← a = 3/2 * 4^(1/3) - 3 を代入。
= 1/6 * ( 3 + 3/2 * 4^(1/3) - 3 ) ^3
= 1/6 * ( 3/2 * 4^(1/3) )^3 ※ Excel 張付可。
= 2.25
= 9/4
a の値は正しいことが分かる。
また、a = 3/2 * 4^(1/3) - 3 ≒ -0.618898422 から、定積分公式を使わず、実際に2
[ -1/3 * x^3 + 1/2 * (1-a)*x^2 + 2 * (a+1) * x ]
-a-1を計算してみると、
2
S/2 = ∫ { - ( x - 2 ) * ( x + 1 ) - a * ( x - 2 ) } dx
-a-12
= [ -1/3 * x^3 + 1/2 * (1-a)*x^2 + 2 * (a+1) * x ]
-a-1= [ -1/3 * 2^3 + 1/2 * (1-a)*2^2 + 2 * (a+1) * 2 ]
- [ -1/3 * (-a-1) ^3 + 1/2 * (1-a)*(-a-1)^2 + 2 * (a+1) * (-a-1) ]
= [ -1/3 * 2^3 + 1/2 * ( 1 - ( -0.618898422 ) ) * 2^2 + 2 * ( ( -0.618898422 ) + 1 ) * 2 ]
- [ -1/3 * ( - ( -0.618898422 ) - 1 )^3 + 1/2 * ( 1 - ( -0.618898422 ) ) * ( - ( -0.618898422 ) - 1 )^2 + 2 * ( ( -0.618898422 ) + 1 ) * (-(-0.618898422)-1) ]
= ( -1/3 * 2^3 + 1/2 * ( 1 - ( -0.618898422 ) ) * 2^2 + 2 * ( ( -0.618898422 ) + 1 ) * 2 ) - ( -1/3 * ( - ( -0.618898422 ) - 1 )^3 + 1/2 * ( 1 - ( -0.618898422 ) ) * ( - ( -0.618898422 ) - 1 )^2 + 2 * ( ( -0.618898422 ) + 1 ) * ( - ( -0.618898422 ) - 1 ) ) ※ Excel 張付可。
= 2.25
= 9/4
やはり、異なる計算式で計算出来て、値が一致した。
【3】以下の問を解け。
(1) 点(3,4) を通り、放物線 y = - x^2 + 4*x - 3 に接する直線 (接線) の方程式を求めよ。
(2) 放物線と上記接線に囲まれた図形の面積を求めよ。
答え)
(1) y = f(x) と置く。接点を P ( a,f(a) ) とすると、
y - f(a) = f'(a) * ( x - a )
が、求める方程式になる。ここで f'(x) は、f(x) の導関数である。
f'(x) = -2*x + 4 、f'(a) = -2*a + 4 、f(a) = - a^2 + 4*a - 3 であるので、
y - f(a) = f'(a) * ( x - a )
y - ( - a^2 + 4*a - 3 ) = ( -2*a + 4 ) * ( x - a )
この直線が、点(3,4) を通るので、
4 - ( - a^2 + 4*a - 3 ) = ( -2*a + 4 ) * ( 3 - a )
4 + a^2 -4*a + 3 = 2*a^2 -6*a -4*a + 12
a^2 -4*a + 7 = 2*a^2 -10*a + 12
a^2 -6*a + 5 = 0
( a -1 ) * ( a - 5 ) = 0
よって、a = { 1 , 5 }
1) a = 1 の時。
y - ( -1^2 +4*1 -3 ) = (-2*1+4) * ( x - 1 )
y = 2*x -2
2) a = 5 の時。
y - ( -5^2 +4*5 -3 ) = (-2*5+4) * ( x - 5 )
y - ( -25 +20 -3 ) = ( -6 ) * ( x - 5 )
y - 8 = -6*x +30
y = -6*x +22
よって答えは、y = 2*x -2 と、y = -6*x +22 の２本。
(2) 放物線と接線の接点、及び y = 2*x -2 と、y = -6*x +22 の交点座標が必要である。
1) 放物線との接点 P1 を考える。 これは a = 1 、y = 2*x -2 の場合。
2*x -2 = - x^2 + 4*x - 3 を解けば良い。
x^2 -2*x +1 = 0
( x - 1 )^2 = 0
x = 1 → y = 0 ( x = a = 1 が接点の x 座標。)
∴ P1(x,y) = ( 1 , 0 )
2) 放物線との接点 P2 を考える。 これは a = 5 、y = -6*x +22 の場合。-6*x +22 = - x^2 + 4*x - 3 を解けば良い。
x^2 -10*x +25 = 0
( x - 5 )^2 = 0
x = 5 → y = -89( x = a = 5 が接点の x 座標。)
∴ P2(x,y) = ( 5 , -8 )
3) ２接線 y = 2*x -2、y = -6*x +22 の交点 X の場合。
2*x -2 = -6*x +22 を解けば良い。
8*x = 24
x = 3 → y = 4
∴ X(x,y) = ( 3 , 4 )
4) 面積 S を求める式は、区間で異なる。( P1 から X までと、X から P2 まで。)3
[ 1 ≦ x ≦ 3 ] → ∫ { (2*x -2) - (- x^2 + 4*x - 3) } dx
15
[ 3 ≦ x ≦ 5 ] → ∫ { (-6*x +22) - (- x^2 + 4*x - 3) } dx
3
3
S = ∫ { (2*x -2) - (- x^2 + 4*x - 3) } dx
15
+ ∫ { (-6*x +22) - (- x^2 + 4*x - 3) } dx
3
3
S = ∫ ( x^2 -2*x +1 ) } dx
15
+ ∫ ( x^2 -10*x +25 ) dx
33 5
S = [ 1/3 * x^3 - x^2 + x ] + [ 1/3 * x^3 - 5*x^2 + 25*x ]
1 3
= [ 1/3 * 3^3 - 3^2 + 3 ] - [ 1/3 * 1^3 - 1^2 + 1 ]
+ [ 1/3 * 5^3 - 5*5^2 + 25*5 ] - [ 1/3 * 3^3 - 5*3^2 + 25*3 ]
= 0 -9 +3 -1/3 - 0 + 0 + 125/3 -0 +0 -0 +45 -75
= -6 -1/3 + 125/3 -30
= -36 + 124/3
= -108/3 + 124/3
= 16/3
∴ 面積は 16/3 。
(関連)
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20130708/1373293410
※ 続・試験対策 2013 − 期末試験編 ＜数学II＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20130926/1380172490
※ 試験対策 2013 − 中間試験編 ＜数学II＞
いじょうです。
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