大人になってからの再学習

2012-05-15 [数学]コンパクト性、開被覆

コンパクト性、開被覆


■キーワード:集合、位相、コンパクト、被覆、開被覆

集合、位相の学習で「コンパクト」というキーワードが登場する。

「位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことをコンパクトと言う。」


こういわれても、すぐにはピンとこないので、「コンパクトな集合」≒「有界な閉集合」と文字通り覚えるのがてっとり早い。とりあえず、そうやって飲み込んでしまうというのも一つの方法。


頑張って図を使って説明すると次のような感じ。


■まずは開被覆の説明。

位相空間Xの部分集合Aと、Oλ
f:id:Zellij:20120515103302p:image

Oλを集めると次のようになる。
f:id:Zellij:20120515103607p:image

これがAを覆うとき、{Oλ|λ∈J} をAの「被覆」という。
f:id:Zellij:20120515103822p:image

Oλが「開集合」であるとき、「開被覆」という。

■続いてコンパクトの説明。

開被覆は無数にある。

f:id:Zellij:20120515104228p:image

このなかのどれを選んでも、有限個のOλを選んで被覆できる。

f:id:Zellij:20120515104656p:image

このとき、AはXの「コンパクト集合」である。



講座 数学の考え方〈8〉集合と位相空間はじめよう位相空間集合と位相 そのまま使える答えの書き方 (KS理工学専門書)

トラックバック - http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120515/p1
リンク元