アインシュタインの縮約表記
2つの2次元ベクトル
があるとき、この2つのベクトルの内積は次のように表される。
ベクトルが3次元で
であるときは、この2つのベクトルの内積は次のように表される。
書くのがめんどくさいね。
こんなの、毎回毎回書いていられないね。
和を表すΣの記号を使えば、次のように表すことができる。
少しは短くなった。でも、やっぱりΣ記号はめんどうだ。
毎回毎回、こんなの書いていられないね。
もう、こういう頻出する表現は、次のような簡単な表記方法にしちゃおうよ。
これでいいじゃん。
と言い出したのが、あの相対性理論を考え出したアインシュタイン。
なるほど、少しでも表記を簡単にして、より簡潔に物事の本質に迫ろうとしたわけだ。
これを「アインシュタインの縮約表記」と言う。
「添字が同じ場合は、その添字について和を取る」というルールになっている。
例えば
nの値がいくつになるかは、そのときの文脈から判断する。
今は3次元の話をしているんだから、いちいちn=3なんて断らないよ。めんどうだから。
という感じ。
のように書き表すこともある。
内積を表すには、アインシュタインの縮約表記で事足りるけど、外積を表したりするにはちょっと足りない。
そこで、
・クロネッカーのデルタ
・エディントンのイプシロン(レヴィ=チヴィタ記号)
の2つも併せて知っておきたい。
以下のページは、アインシュタインの縮約表記と上記の記号についても、とてもわかりやすく説明している。
・電磁気学講義ノート:マクスウェル方程式のためのベクトル解析 (1)内積・外積の計算を簡素化 - 主に言語とシステム開発に関して
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