アクチュアリー試験数学の研究

http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114

から始まった

「アクチュアリー採用問題の解答案」

シリーズの９回目です。

今日は、日本生命

http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20090412/1239550975

を取り上げます。

（なお、面接その他については

http://d.hatena.ne.jp/actuary2/20100130/1264850993

をご覧ください。）

問題の分量・難度とも標準的だと考えます。

問題２は(1)がなければ(2)単独で出すのは難しいと考えます。（ http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100203 でも少し述べましたが、このような「誘導問題」の意図を読み取ることが求められると思います。「(1)は(2)のヒント」と書いてある数学の参考書がありました。（今もあると思いますが） ）

また、必要条件と十分条件（kの値を出すだけではなく、それを実現できるのか）の論述も求められると思います。

その他の注意点は

http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100114

のそれと同じです。

問題１

(1)

とおくと

与式

（ただし、）

…（ア）の答

(2)

２つのSをS1,S2と区別したときの並べ方は6!=720通り。S1とS2の並べ方は2通りなので、

720÷2=360通り…（イ）の答

(a)頭がAで残り5文字の並べ方は5!÷2=60通り

(b)頭がIで残り5文字の並べ方も60通り

(c)頭がN、２番目がAで残り4文字の並べ方は4!÷2=12通り

(d)頭がN、２番目がI、3番目がAで残り3文字の並べ方は3!÷2=3通り

NISSAYはこれら(a)〜(d)の

60+60+12+3=135個の「単語」に続く「単語」なので、

136番目…（ウ）の答

(3)

３軒のどこかに傘を忘れる確率は

AまたはBに忘れる確率は

Aに忘れる確率は

なので、

Bに忘れる確率は

∴忘れてきたのがBである確率は

…（エ）の答

（ちなみに傘を忘れたときに忘れてきたのがAとCである確率は

と

3つ合計するともちろん1になる）

(4)

学生数をとするとパーティの費用は

さて、

…（ａ）

…（ｂ）

（ａ）より

（ｂ）より

∴

…（オ）の答

これよりパーティの費用は2300*21+1700=50,000円…（カ）の答

(5)

面積が最大になるのは1辺の正三角形のときでその面積は、

…（キ）の答

（理由）

とおくと、

余弦定理により

…（ａ）

一方面積とおくとなので、

が最大⇔が最大

である。

さて（ａ）より

（∵相加相乗平均の関係）

（等号は、つまりのとき成り立つ）

つまり、

（等号は、のとき成り立つ）

となる。（証終）

(6)

（キ）

∴

…（キ）の答

（別解）

（ク）

（と置換）

つまり（ク）の値は…（答）

（ケ）

…（答）

(7)

（コ）

が3で割れないのは回のサイコロの目が全部1,2,4,5のとき。

求める確率は、

…（答）

（サ）

…（Ａ）

となるを求める。

（Ａ）より、

常用対数（底を10とする対数）をとって、

なので、（サ）に入る数値は11…（答）

(8)

（シ）

をでジョルダン標準形

に変形（ただし）したとする。

…（答）*1

（ス）

上式で

…（答）

∴

=95…（答）

問題２

(1)

２つの解とあるのでとしてよい。

解と係数の関係により

これより

…（証終）

(2)

を定数項が０でない２次式とし、で判別式を表わす。

さて、

の２次方程式の解をとする。

に（操作１）を施した結果の２次式をとすると、

の解はなので、

判別式は、

一方

に（操作２）を施した結果の２次式をとすると、

つまり（操作１）、（操作２）いずれを施しても判別式は変わらない。

さて、もとの式の判別式は1-4*1*1=-3

これより

となり、

である。

次に

から（操作１）、（操作２）を何回か施して実際にになることをみる。

(i)に（操作１）を３回施すと

(ii)に（操作２）を１回施すと

(iii)に（操作１）を４回施すと

(iv)に（操作２）を１回施すと

∴が確かに題意を満たすことが確認された…（答）

問題３

(1)

人の手の出し方は通り。

人が勝つ手の出し方は*2

(a)人の選び方が通り

(b)勝つ手の選び方が3通り（人がグーかつ人がチョキ等）

の積で

通り（）

∴求める確率は

…（答）

(2)

求める確率は(1)の答えをまで合計したもの

さて、二項定理

にを代入して

なので、

…（答）

(3)アイコ以外がでるまでじゃんけんを行う回数をとする。

よって求める期待値は

（ただし）

とおける。

さて

の両辺をで微分（より左辺は項別微分可能）すると、

∴

…（答）

（別解）

が幾何分布に従う。

∴

（参考

http://actuary.upthx.net/pukiwiki/index.php?1.1.1.2.4.%CE%A5%BB%B6%B7%BF%B3%CE%CE%A8%CA%D1%BF%F4%A4%CE%CE%E3#g92b35bf ）

よって求める期待値は

…（答）