How does the product of uniform variates distribute?

2011-07-03 How does the product of uniform variates distribute?

How does the product of uniform variates distribute?

id:practicalschemeさんの珠玉のエントリ、なんでも継続は以下のような一説から始まります。

プログラミングの世界の概念には、禅の公案のようなものがある。それを説明する文章はほんの一文なのに、最初に目にする時、その文は全く意味をなさない、暗号のように感じられる。だがひとたびその概念を理解すると、その概念の説明は確かにその一文で説明されているのがわかるのだ。
なんでも継続

確率の世界でも同じようなものを感じることがあります。直感ではとても受け入れられない結果になることがある。しかし、一回理解するとすんなり受け入れることができるようになってしまう...

[0, 1]の範囲で一様に分布する二つの乱数の積が一様に分布しないこともこのような事象の一つです。以下は二つの一様乱数の積を10000回生成し、相対度数分布として表したものです。

乱数生成器を伴った議論は乱数生成器そのものの偏りや精度の話に発散してしまいがちです。そのためこのエントリでは理想的な一様乱数を伴った連続型確率で考えてみます。同時確立変数X_iの積から確率密度を導出するにはデルタ関数の積分を用いますが、yutakashinoさんが解説していますので、異なるアプローチを取ってみることにします。

さて、二つの一様乱数の積の分布は条件付き確率を使って比較的簡単に求めることができます。Xを一つ目の一様乱数がxとなる確率変数、Yをxと二つ目の一様乱数の積がyとなる確率変数とします。すると、Xがxである場合にYがyとなる条件付き確率密度関数f_Y(y | X = x)は以下のように表すことができます。

この式からX、Yがそれぞれx、yとなる同時確率密度関数f_{X, Y}(x, y)を以下のように求めることができます。

つまり、Yがyとなる確率密度関数f_Y(y)は確率変数X = xが起こりうる全ての範囲で積分したものとなります。

さて、確率密度関数f_X(x)を考えてみましょう。f_X(x)は一つ目の確立密度関数であるため事前確率を考慮する必要がありません。そのため、[0, 1]の範囲で一様に分布する乱数と等しく分布します。

この分布は以下のようになります。

では、条件付き確率密度関数f_Y(y | X = x)を考えてみましょう。Yはxと二つ目の一様乱数との積がyとなる確率変数と定義したのでした。そのため、f_Y(y | X = x)の分布は事前確率であるxの値に依存します。確率変数Xがxであった場合にyがxより大きな値を取ることはなく、[0, x]の間で一様に分布する確率密度関数となります。