あらきけいすけの雑記帳

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2005-03-14 (Mon) 受験テクの復習ってのも嫌なのだが

円の接線の公式の導出 06:22

指導要領を無視して、というか大学の流儀で書く。

円の方程式を x^2+y^2=r^2 とするとき、この両辺を微分して  2x¥,dx+2y¥,dy=0 を得る。この式はベクトル (dx,dy)(2x,2y) は内積が0、すなわち互いに垂直であることを意味している。ベクトル (dx,dy) は曲線の接線の方向ベクトル(接ベクトル)であるから、それと垂直な (x,y) は接線の法線ベクトルである。ここで接点の座標を (a,b) としよう。接線の方程式は a(x-a)+b(y-b)=0 となる。これを展開すると  ax+by=a^2+b^2 となる。ここで (a,b) は円 x^2+y^2=r^2 上の点であるから、a^2+b^2=r^2 である。これを接線の式に代入することで円の接線の公式

ax+by=r^2

を得る。この公式だけを覚えていると、ときどき a, b に円ではない点の値を代入した答案が出てくる(^^;

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