円の接線の公式の導出 - あらきけいすけの雑記帳

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2005-03-14 (Mon) 受験テクの復習ってのも嫌なのだが

■円の接線の公式の導出 06:22

指導要領を無視して、というか大学の流儀で書く。

円の方程式を $x^2+y^2=r^2$ とするとき、この両辺を微分して $2x￥,dx+2y￥,dy=0$ を得る。この式はベクトル $(dx,dy)$ と $(2x,2y)$ は内積が0、すなわち互いに垂直であることを意味している。ベクトル $(dx,dy)$ は曲線の接線の方向ベクトル(接ベクトル)であるから、それと垂直な $(x,y)$ は接線の法線ベクトルである。ここで接点の座標を $(a,b)$ としよう。接線の方程式は $a(x-a)+b(y-b)=0$ となる。これを展開すると $ax+by=a^2+b^2$ となる。ここで $(a,b)$ は円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点であるから、 $a^2+b^2=r^2$ である。これを接線の式に代入することで円の接線の公式