あらきけいすけの雑記帳

2012-02-25 (Sat)

マジメな子ほどひっかかりそうな「大学生数学基本調査 調査票」の設問

読売朝日あたりがリテラシの低さ丸出しの記事を書いていて話題になっていた「大学生数学基本調査 調査票」(問題を含む), 「大学生数学基本調査 正答例」, 「「大学生数学基本調査」に基づく数学教育への提言」を読む。

まずはじめになぜ「大学生」が対象なのかということを根拠もなく邪推しておくと、「日本数学会の会員のコアな部分は大学の教員から」大学生を対象にした調査を作成実施するのがやり易かったのではないか。問題によっては高校生にも出題できるからである。大学生*1能力として「文章に含まれる論理を的確に読み取れる」「論理的に正しい記述ができる」「数学の基本である比例と作図を理解している」ということを想定しているようだが、本当にそれを測る設問になっているのか?

データを処理した結果から元のデータを想像する

経験の有無がものを言うかもしれない、きちんとデータ処理をした経験のある子がひっかかるという意味で。

1-1 ある中学校の三年生の生徒 100 人の身長を測り、その平均を計算すると 163.5 cm になりました。この結果から確実に正しいと言えることには○を、そうでないものには×を、左側の空欄に記入してください。

(1) 身長が 163.5 cm よりも高い生徒と低い生徒は、それぞれ 50人ずついる。

(2) 100人の生徒全員の身長をたすと、163.5 cm×100 = 16350 cm になる。

(3) 身長を 10 cm ごとに「130 cm 以上で 140 cm 未満の生徒」「140 cm 以上で 150 cm 未満の生徒」・・・というように区分けすると、「160 cm 以上で170 cm 未満の生徒」が最も多い。

(1)と(3)はデータの分布が平均値周辺に山を持つとは必ずしも言えないということに気付いているかどうかを訊く問題。問題文に記述された対象が「ある中学校の三年生の生徒 100 人」なので、リアルな中学校のイメージを抱いたマジメな学生は正規分布的なイメージを抱いて引っかかったかもしれないと邪推する。これが「ある中学校の数学の点数」だったならば、例えば「40人クラスで100点がアタマのいい子一人、あとは30点」とか極端なイメージを持ちやすかったかもしれない。想像させる「例」がヒドいと思った。

しかし、さらにヒドいのは(2)である。実際に小学校や中学校で身長のデータの処理を経験したことのある学生だったら

「平均値が163.5」は「163.4や163.6ではない」ということだから*2、「全部足すと16345.0cm以上、16354.9cm以下の範囲なら四捨五入で163.5cmになる」(だから総和が16350cmになるとは必ずしも言えない
と考えてしまうのではないだろうか?問題文にご丁寧に「163.5 cm×100 = 16350 cm」と記述されている以上、少なくとも国公立偏差値最上位レベル大学の理系の学生でこれに×を付けない学生がいたら、そっちの方が大問題だろうと思う。

注:有効数字の議論は「平均」の意味うんぬん - 情報の海の漂流者で既に指摘されています

数学会はコメントで「平均の定義と定義から導かれる初歩的結論」と言っているが、「結論から考え得る分布の可能性の範囲」というそれなりに ill-posed な逆問題を解かせている。

論理を追う

1-2 次の報告から確実に正しいと言えることには○を、そうでないものには×を、左側の空欄に記入してください。
公園に子供たちが集まっています。男の子女の子もいます。よく観察すると、帽子をかぶっていない子供は、みんな女の子です。そして、スニーカーを履いている男の子は一人もいません。

(1) 男の子はみんな帽子をかぶっている。

(2) 帽子をかぶっている女の子はいない。

(3) 帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子供は、一人もいない

全称命題特称命題、要素は「男子女子」「帽子」「スニーカー」程度なので、数分の範囲で論理を追わせるには適度なのではないか。とは言え、さすがに
帽子をかぶっていない子供は、みんな女の子です
なんて中学英語の教科書ガイドみたいな数学者の「ε・δ脳」丸出しな不自然表現はなんとかならんかったのかwwwwwwwwwww

数の特徴を言語化できる?

2-1 偶数と奇数をたすと、答えはどうなるでしょうか。次の選択肢のうち正しいものに○を記入し、そうなる理由を下の空欄で説明してください。

(a) いつも必ず偶数になる。

(b) いつも必ず奇数になる。

(c) 奇数になることも偶数になることもある

どこまでの水準の説明を要求しているのかわからないけど、そのわからなさ具合がいいのではないか。「2で割り切れる」「2で割ると1あまる」と「2で割り切れる数を足し算した答えも2で割り切れる数になる」ということをうまく言語化し、論理として整理できるかどうかの問題。…と思ったら、数学会の回答は数式使ってやがる。

何が「重要」なんだろう?

2次関数y = - x2 + 6x - 8のグラフは、どのような放物線でしょうか。重要な特徴を、文章で 3 つ答えてください。
「x座標を決めると、y座標が一つ決まる」「ひとつながりの線でギザギザしていない」「放物線なので曲がっている」ではいけないのだろうか?(ボクの試験だったら正解にするけどね。)「特徴」は「対象」と「対象でないもの」の「比較」によって抽出されるのだが(これをアリストテレスは「類と種差」と表現している)、「どのような放物線」という表現だけから、「放物線の族の内部での比較」という前提を読めというのはきつい気もする。

なぜ「文章で3つ」なのか?邪推をすると、この設問の放物線の一般形の式は y=Ax2+Bx+C なので、A, B, C を一意に決めるために「3つ」なのかもしれないが、放物線の特徴は「2次の項の係数」「頂点の位置」の「2つ」(数値的には3個の数値だけど)と考えたら三つ目を適当にひねり出さないといけない。「2次の項の係数」を「2次の項の係数の符号」と「2次の項の係数の大きさ」に分けるのか。

数学会の「回答」には「上に凸(すなわち2次の項の係数の符号)」「y軸との交点」が例として挙げられているが、マジメな子ほど3つ目がアドホックに感じられるに違いない。

少なくとも前問と比較しても「論理的に記述する」問題になっていない。

「定規とコンパス」は数学者と数学の先生ジャーゴンでは?

3 右の図*3の線分を、定規とコンパスを使って正確に 3 等分したいと思います。どのような作図をすればよいでしょうか。作図の手順を、箇条書きにして分かりやすく説明してください。なお、説明に図を使う場合は、定規やコンパスを使わずに描いてもかまいません。
「定規とコンパス*4」で「平行線」「垂線」「角の2等分線」等々の描画の操作をイメージせよというのは、数学者と数学教師の思い上がりではないのか?「正確に」という語が現実の操作の持つ不確かさを無視した理論的な「代数計算の幾何学的表現」を表している。

「定規」に目盛を想定して、「長さを計って3で割る」という解答はありなのだろうか。

それ以前の話として「幾何学的作図を現代の大学生に問うことの意義」って何なのだろうと思う。トピックの選び方に時代とのズレを感じてしまう。

問題がフレーム問題

問題全体として「フレーム問題」になっていて、どこまでの解答を求めているのか、「唯一の正解を求めている」のか「多様な回答を認めるが、合理的な回答でないといけない」のか分かりづらい。後者であることを伝えるのに、1ページ目の

この調査は試験ではありませんので、得点を取ろうとする必要はありません。なるべく解答欄を埋めるように、自分の考えを記入してみてください
という表現で十分なのだろうか。

こんなヒドい問題を出された挙句に、バカ記者から「平均を理解していない」なんて書かれたのでは、たまったものではないと思う。

*1:大学何年生なのかについては言及がない

*2:[2013.3.17追記]不確かさと有効数字の関係学習している子だったら、「平均値が163.5」とだけ書いてあるとしたら「不確かさの範囲が無いので、有効数字の桁数はおろか、元の母集団の特徴が分からない」と考えるだろう。科学的にはそこまできちんと考えることが必要だ。

*3:本エントリでは省略

*4定規とコンパスによる作図 - Wikipedia

mimonmimon 2012/02/27 07:21 平均身長に関するNHKの解説のほうがもっと問題です。
http://www3.nhk.or.jp/news/html/20120224/k10013268351000.html
「極端な場合、全員の身長が163.5cmだったら……」って、全然解説になっていません。
平均がモードやメジアンと異なる例を挙げるなら「65人の身長が160cmで35人の身長が170cmの場合」とか、より適切な例があるでしょうに。
解かっていないのは、NHKのほうだと感じました。

fut573fut573 2012/02/27 12:25 最終問題、"私立では4人に1人が「与えられた線の長さをものさしで測り,それを3で割る」(実測派)と答える"として実測は不正解みたいですね。

ikumiikumi 2012/03/06 17:34 平均値周辺に山を持たない分布のデータに対して
安直に全体の平均値を出すことも
問題のように思うのですが、いかがでしょうか。

光太郎光太郎 2012/03/15 13:39 平均の問題は福島原発に関係した常識を問う問題でもある。
ウランが核分裂で二個に分裂したとき、大きさ (質量数) が均等になるのはむしろ少なく、大きなのと小さなのに分かれる方が圧倒的に多い。今年の四月から日本人の常識となった。
大きい核と

AnonymousAnonymous 2014/08/01 12:00 平均の問題は「クラス全員163.5cmかもしれねーじゃねーかグヘヘヘへ」「0cmの人が99人、16350cmの人が1人いるんだろヴォケ!!」と嬉々としてエッジケースを考えることができるかどうかをみているんだと思いますよ。

「身長」というのはただの記号であって、そこから測定誤差などの「常識」をイメージしてしまうのは、想像力が豊かすぎると思います。

この問題が「母集団」だの「正規分布」だのといった統計学の問題に見えたならば、それはもうロジックの罠にハマっているということです。

AnonymousAnonymous 2016/04/07 08:42 あれから2年経ち、この問題の意味がようやく理解できるようになったので補足してみる。

まずはここから。

>なんて中学英語の教科書ガイドみたいな数学者の「ε・δ脳」丸出しな不自然な表現はなんとかならんかったのかwwwwwwwwwww

まず「論理=ε・δ」というのが嘆かわしい。
ε-δ論法の本質は∀や∃などの論理記号ではないのに、みんな誤解している。

>帽子をかぶっていない子供は、みんな女の子です

という文章は日本語としても何も不自然ではない。

どうも「揚げ足取り」が先行してしまっている印象を受ける。

>…と思ったら、数学会の回答は数式使ってやがる

ここらへんのノリもそう。でも

>そのわからなさ具合がいいのではないか

というのは正しくて、あえて「説明せよ」という問題文にした、と数学会の報告書にもある。ばけらさんとかは読まずに批評してるのだなあ。

AnonymousAnonymous 2016/04/07 08:47 >何が「重要」なんだろう?

これが本題で、この放物線の問題って、「もとの二次関数の式を復元できるような特徴」、すなわち「放物線の特徴付け(characterization)」を聞く問題だったんだね。今気づいた。

要するに

>A, B, C を一意に決めるために「3つ」

ってことだったんだね。ご指摘のように3つである必要はなくて、何個でもいいんだけど。

逆に言えば、上の凸だの頂点の座標だのといった授業って、何の意味があるんだろうと思ったけど、特徴付けのためのものだったんだね。

それを授業の前に説明してほしいなあ。

AnonymousAnonymous 2016/04/07 08:53 ↑上に凸、だった。

結果的には、「有効数字を考慮するか」「何が説明になっていると感じるか」「特徴付けの概念がわかるか」「定規とコンパスというジャーゴンを知っているか」を聞く問題で、数学基本調査としてはなかなかよくできていると思う。

強いて言えば、0.999…=1系の問題(たとえば「すべての素数の積は偶数か」)を入れて正解率を見たかったところ。次は是非入れてほしい。