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山本 芳彦
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数論入門 (現代数学への入門) 単行本 – 2003/11/11

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現代数学への入門　数論入門
現代数学への入門　数論入門
￥21,888
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素数のふるまいを探る代数的整数論を中心に
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  1. 本の長さ
    372ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    岩波書店
  4. 発売日
    2003/11/11
  5. ISBN-10
    4000068784
  6. ISBN-13
    978-4000068789
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商品の説明

内容（「MARC」データベースより）

初等代数学をはじめとして、ある程度の数論を理解するために必要な数学的素養を身につけられるように工夫。素数のふるまいを探る「代数的整数論」を中心に解説する。96年刊「岩波講座現代数学への入門 9・10」を再構成。

登録情報

  • 出版社 ‏ : ‎ 岩波書店 (2003/11/11)
  • 発売日 ‏ : ‎ 2003/11/11
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 単行本 ‏ : ‎ 372ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4000068784
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4000068789
  • カスタマーレビュー:
    5つ星のうち4.2 5

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山本 芳彦

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上位レビュー、対象国： 日本

kさんちのキー坊
5つ星のうち5.0 現代的な数論の流れを教えてくれる最高の入門書
2004年11月9日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
　いろいろな数論の本がある中で、この著書の最大の特徴といったら、とにかく扱いが現代的で、抽象的な群・環・体のいろいろな性質が有理整数や代数的整数の中で如何に生き生きと輝きを放っているかが読み進むうちに自然と理解できるようになっている点である。また、長い数論の歴史の中で素数に関連した色々な問題がどのような現代的な理論に発展していったかも手に取るようにわかるような書き方になっている。楕円曲線や超楕円曲線のあたりは、最初は難解に思えたが２度、３度と繰り返し読むことによって、細部はさておき、全体像がハッキリとつかめるような構成になっている。座右において、常に手にしたい好著である。
42人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
雑学家
5つ星のうち4.0 始めの方はやさしいけど
2011年3月2日に日本でレビュー済み
実験数論の第一人者の名著です。内容は合同式、剰余環、平方剰余の相互法則、デリクレ指標、2次体の整数論、代数体の整数論、楕円モジュラー関数、楕円曲線、楕円曲線とヤコビ多様体、問題の解答もあり。
いきなりは難しいので「ガウスとオイラーの整数論の世界」吉田信夫、「なっとくする群・環・体」野崎昭弘で足慣らしてからから読むべき本です。イデアルについて超おすすめは「素数の歌が聞こえる」加藤和也の1６６ページです。部分群・剰余群については、まず「すぐわかる代数」石村園子、「素数夜曲」吉田 武、などの方が分かりやすく学べます。
本書の理解には以下の動画が役立ちます。
参考you tube動画「数学Ａ基礎講座「合同式とフェルマーの小定理」」をみて併読。
動画「2つの平方数の和で表される素数」や「ガウス整数の余りつき割り算」
「2つの平方数の和で表される素数　【代数的整数論への招待〜ガウス整数〜】第１回」
見ごたえのある「200年答えが見つからなかった伝説の問題【整数問題×合同式】」
をみながら学ぶのがおすすめです。
Ｎを法とする合同とは整数全体をＮで割った余りに関してＮ個の類に分けることです。天才ガウスが商でなく余り（＝剰余）の方に目をつけたことがすごかった。剰余類を考える利点は、無限個存在する数を有限個（ぐるぐる王国）に類別して考察しやすくすることにある。
整数は足し算という演算で閉じていて、何倍してもその中に収まるという加群。
偶数同士を足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね！（これがイデアルのイメージ）、他方、奇数を２Ｚ＋1で表わすと、奇数同士の足し算は偶数になり閉じてないので群にならない。
偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています。
整数全体の集合 Ｚ において、イデアル ２Ｚ は唯一の数 ２ で生成されている。この唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。すべてのイデアルが単項イデアルである整域を単項イデアル整域（ＰＩＤ）という。有理整数環Ｚ（加法と乗法により環をなす）は単項イデアル整域である。整数における素数にあたるものを素元、素数の倍数にあたるものを素イデアルという。たとえは3の倍数の集合で考えると、可換環となって、差も3の倍数となり、また、何倍かしても、やはり3の倍数となる。これがイデアルになることがわかる。
整数環 ｚ で，ある素数 ｐを取ります．ｐ から生成する単項イデアルはＩ＝{-3ｐ,-2ｐ,-ｐ,0,p,2p,3p} のように ｐ の倍数全体からなる集合[ｐ] になります．確かに，どんな整数もｐ の倍数を掛けたら ｐ の倍数になってしまいますから，[ｐ] はイデアルになっています。簡単に言って足し算と掛け算ができる集合を環と呼びます。

イデアルは確かに、ある2つの条件が成り立つ部分集合です。
部分集合と言うからにはまず全体がなければ始まらないので、
全体をA、その部分集合であるイデアルをBとします。
Bで成り立たなければいけない2つの条件は次の通りです。
・Bの中のある元に、『B』の中のどんな元を『足して』も、Bの中に戻ってくる。
・Bの中のある元に、『A』の中のどんな元を『掛けて』も、Bの中に戻ってくる。
例えば、Aを整数、Bを5の倍数とします。BはAの一部ですね。
・5の倍数に5の倍数を足すと5の倍数になります。
・5の倍数に整数を掛けると5の倍数になります。
上の2つの条件がきれいに満たされていることが分かると思います。
なので、5の倍数と言うのは、整数の中で上の条件を満たす部分集合、イデアルになるわけです。
イデアルというのは環の部分集合ですが、その環にイデアルがあると剰余環というものが定義できます。剰余環というのは割り算してできる環です。（剰余は割り算を意味します）
Rを環とし、ｍをそのイデアルとすると、Rをｍで割った環である剰余環R/mが定まります。割り算を考えて剰余環を作ることで元の環のことがわかったり、無限なものを分類し有限なにして調べる便利なことがあるわけです。（位相空間でいえば商空間というのがありますが）
群論を勉強していれば正規部分群というのが出てきます。これも要するに一緒で、群Gの正規部分群Hがあれば、剰余群G/Hというのが出来上がります。こうしてGをいろんなHでじゃんじゃか割って行くと、元の群であるGの様子が分かるわけです。（たとえばGの正規部分群がGと単位群しかなかったら単純群という群になります。剰余群がアーベル群であればこれは可解群という群になります。可解群はガロア理論で重要です。

代数幾何学」硲文夫,「数論I」加藤和也,「数学21世紀の7大難問」中村亨
「暗号理論と楕円曲線」辻井重男,「数論入門講義―数と楕円曲線」J.S. Chahal
ネットで「算円舎」の整数論事始めや「数学者の密室」は必見です。
本書の理解には以下の動画が役立ちます。
参考you tube動画「数学Ａ基礎講座「合同式とフェルマーの小定理」」をみて併読。
動画「2つの平方数の和で表される素数」や「ガウス整数の余りつき割り算」をみながら学ぶのがおすすめです。
他にもyou tube 動画「第3回 京都大学 − 稲盛財団合同京都賞シンポジウム [数理科学分野]「数学の創造：数論から幾何学へ」砂田 利一」
東大数理ビデオ動画
の公開講座（高校生向け）斎藤 秀司先生　２００９年7月２５から31日でフェルマーの小定理。
桂利行教授２００7年9月1５日
いろいろな数、代数学の基本定理、n次代数方程式、代数的数と超越数、体の概念、2次体とその応用、類体論
2017追記　you tube 動画「抽象数学の凄みの1つを紹介！！【フェルマーの小定理・オイラーの定理】」 も必見ですね。
学術俯瞰講義　2009「数学を創る −数学者達の挑戦−」の動画・ビデオ　斎藤毅先生の第４回
「数と図形の共進性」でも学ぼう。
東京大学　公開講座「数理の世界」の動画も必見です｡
ネットのはてなブログ：日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」は面白いです。
楕円関数の関数等式から、Q 上の楕円曲線の有理点がアーベル群をなすことが容易に示される。この事実は非常に重要である。楕円曲線上の有理点には「群」という構造があって、しかも有限生成なのである。これは楕円曲線のもつ著しい特徴であって、楕円曲線を調べる武器となる。有限生成であることは「モーデル」という数学者によって 1922 年に示されたので「モーデルの定理」と呼ばれている。割と最近のことだ。

フェルマーの最終定理によって一躍有名になった話だが、Q 上の任意の楕円曲線は「保型形式」と呼ばれる対象に１対１で対応している。「志村・谷山予想」というやつだ。ワイルズらによって解決したので、今は予想じゃなくて定理。

対応の仕方もおもしろい、L関数と呼ばれるものを経由して、楕円曲線と保型形式が結びつくのだ。L関数は mod p で安定な p で掛け合わせたオイラー積によって定義できるんだけど、その解析接続された L関数の s=1 の位数が、楕円曲線の生成元の位数（ランク）に一致するという摩訶不思議な現象がある。これが有名な BSD 予想というやつだ。

楕円曲線には「セルマー群」という重要な群をつくることができるのだが、これは円分体の「イデアル類群」に対応する代物らしい。これを使って、楕円曲線上の岩澤理論みたいなものが構築されるのだそうだ。
また、楕円曲線は虚数乗法を持つ場合と持たない場合に「場合分け」することができて、それぞれの場合でまったく取扱いが異なるのだそうだ。一般に虚数乗法を持つ場合の方が、取扱いしやすいケースが多い。
有理係数楕円曲線 C 上の点の集合を C(C) （無限遠点も含むとす る）と表記する. C(C) に和を適当に定めれば, これは群 を成す。 C(C) の自己準同型写像 λn(P) = nP を n （整数）倍写像と呼ぶ. C(C) の自己準同型写像で n 倍写像でないのを虚数乗法と呼ぶ。虚数乗法を持つことは虚2次体に属することと同値です。整数倍写像でない楕円曲線の準同型は解析的にには虚数を掛けることになる。
故に虚数乗法という名前が付けられた。
類数公式は（代数的な）イデアル類群と、ゼーター関数という（解析的）な世界を結びつける不思議な関係式である。これは曲面の曲がり具合（微積分）と（位相数学の）オイラー数という位相的不変量とが不思議なことに等式で結びついたガウス・ボンネの定理。つまり解析学＝位相幾何学という驚愕の等式を想起させる。
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カツ
5つ星のうち1.0 やめなはれ
2009年12月6日に日本でレビュー済み
この本は、独立して一冊の教科書になるような数論の各分野を、総花的に詰め込んでいるため、定義と証明の羅列になってしまっている。また、証明は数論以外の領域、例えば、「環」・「体」・「群」、その他の知識が無ければ理解不能である。
さらに、各章が孤立している。定理や命題は何かの役に立つためにあるはずなのに、例示されているだけで、用途がわからない。他の本では本全体で初めから最後までの流れがあり、定理が次のステップでどのように使われているかが明瞭であった。
例題は抽象的で具体的解法がわかりずらい。数論だから、定理の証明だけでなく、数値が扱えなければ意味が無い。。私は証明や問題の解法を別の教科書で知っているのが、もっとすっきりした方法があるか期待していたのに、期待はずれである。
定義と一・二題程度の例とで証明がわかるほどの人は、もともとこの本程度の内容にはかなり詳しいと思われるので、この本を読む必要は無い。
この本で扱っている内容は、各章独立に非常にわかりやすい本が他にある。特に、有名な外国の学者の本は、懇切丁寧な説明とおもしろい例題と練習問題が多数示されている。金に余裕があるならそれらの本を買うべきである。
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