マルクス
、フロイト、
アインシュタイン
。
それぞれの学問領域で時代の転換を主導したドイツ語著作の最後を飾るのが、数学と記号論理学におけるゲーデルの「不完全性定理」論文です。
記号論理学は、命題を記号で表す論理式の性質を記号の意味と形式の両面から研究します。
論理式の記号に意味を関連づけて真または偽と評価することを解釈といいます。
形式的な文字列操作を繰り返して公理から目的の論理式を得ることを証明といいます。
当時、数学界では数学全体の論理式への書き換えが企画されていました。
その裏付けとして、解釈と証明が一致すること、すなわち
真である論理式だけが必ず証明可能
であることを示す必要があります。
そのためには、
すべての論理式 P について P と not P の一方だけが必ず証明可能
であること、言い換えると、
(a) すべての論理式 P について P と not P の少なくとも一方が証明可能
かつ
(b) すべての論理式 P について P と not P の少なくとも一方が証明不可能
であることが必要条件です。
しかしゲーデルは、自然数の演算を記述できる論理式集合が(a)と(b)を同時には満たせないことを、仮定(b)のもとで(a)への反例を示して明らかにしました。
彼は、数の層、数を記述する数学の層、数学を記述する超数学の層の三階層を縫い合わせるようにその反例を構成しました。
まず、数学命題（例「数 a は数 b の約数である」）やその証明をあらわす論理式を文字コードで数に変換する方法を示します。
その上で、超数学命題（例「命題列 P1, ..., Pn は命題 Q の証明である」）を、数学命題をあらわす論理式に変換する方法を示します。
これらをもちいて、超数学命題「命題 Y は証明できない」を、数学命題「数 y が指す命題に対する証明を指す数は存在しない」をあらわす論理式に変換し、さらに数 q に変換します。
そして q を y に代入すると「この命題は証明できない」を意味する自己言及的な論理式 P を得ます。
最後に P と not P がともに証明不可能であることを仮定(b)を用いて示したのです。
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論理式の解釈と証明の関係は、関数を記号であらわす多項式についての解析と代数の関係に似ています。
解析
は、多項式 p(x) の x に値 v を代入して値 p(v) が得られる様子を調べます。
代数
は、方程式 p(x)=0 から x=c を導出する形式的操作を研究します。
解釈は解析に相当し、証明は代数に相当します。
そしてゲーデルが否定的な結論を示した問題は、解析と代数に置き換えれば、多項式 p(x) と値 v について、値 p(v) がゼロであることと方程式 p(x)=0 から式 x=v を導出できることが一致するか問うものでした。
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本文48頁のひとつひとつのステップは、
命題論理と述語論理
のごく基本的な知識さえあれば、一歩一歩たどることができます。(むしろ訳者による解説の方が数学に関する知識を要します。)
単純な道具立てから驚くべき結果を導き出すという点で、この定理は、
特殊相対性理論
や
ラムダ計算
、あるいは、機械語や低レベル言語を駆使した
ハッカーたちの曲芸的な技巧
に通じるものがあります。
天才の仕事とはこういうものかと、感動すら与えてくれます。
訳者HPに正誤表があります。
本書の後に
長谷川真人先生
の「不完全性定理」（kurims.kyotu-u.ac.jpの‾hassei/lecture/ディレクトリにある）を読むと良いと思います。
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