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野矢茂樹

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無限論の教室 (講談社現代新書 1420) 新書 – 1998/9/18

野矢茂樹 (著)

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数々のパラドクスに満ちた「無限」の不思議。アキレスはなぜ亀に追いつけないの? 偶数と自然数が同数って本当? 素朴な問いからゲーデルの不完全性定理まで、軽やかな笑いにのせて送る異色の“哲学教室”。(講談社現代新書)

数々のパラドクスに満ちた「無限」の不思議。アキレスはなぜ亀に追いつけないの? 偶数と自然数が同数って本当? 素朴な問いからゲ-デルの不完全性定理まで、軽やかな笑いにのせて送る異色の“哲学教室”。

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本の長さ

236ページ
言語

日本語
出版社

講談社
発売日

1998/9/18
寸法

10.6 x 1.1 x 17.4 cm
ISBN-10

4061494201
ISBN-13

978-4061494206
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著者について

1954年生まれ、東京都出身。1985年、東京大学大学院博士課程修了。北海道大学助教授を経て、現在、東京大学教養学部助教授。哲学専攻。主な著書に『論理学』──東京大学出版会、『心と他者』──勁草書房、『論理トレーニング』──産業図書、『哲学の謎』──講談社現代新書──などがある。

登録情報

出版社 ‏ : ‎ 講談社 (1998/9/18)
発売日 ‏ : ‎ 1998/9/18
言語 ‏ : ‎ 日本語
新書 ‏ : ‎ 236ページ
ISBN-10 ‏ : ‎ 4061494201
ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4061494206
寸法 ‏ : ‎ 10.6 x 1.1 x 17.4 cm

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- - 49位近代西洋哲学
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なべお

ワクワクする本

2023年8月20日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

数学基礎論の楽しさを教えてくれる貴重な一冊です。

2023年12月29日に日本でレビュー済み

数学の哲学の啓蒙書である。悪名高きウィトゲンシュタインの数学の哲学が主であるらしい。ブラウアーの直観主義論理から述べられる可能無限［＝唯名論］と実無限［＝実在論］の対立が本著の肝である。自然数全体の集合の冪集合の濃度と実数全体の集合の濃度が等しいことから、実数を自然数（＝概念）の可能性の全体と考えることができ（ここにフレーゲ的な数の概念がある）、存在論的議論が惹起されるという論は興味深い。ゲーデルの不完全性定理やカントールの逆理・ラッセルの逆理は余分である。

2022年6月4日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

切り込みやすいとこから不完全性定理までいってる。さすがにゲーデル数とかはやらないけどざっくりわかる。

1人のお客様がこれが役に立ったと考えています

役に立った

Tac

面白くない

2022年5月29日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

対話形式はクヌースの超現実数を連想させるが。。

2人のお客様がこれが役に立ったと考えています

役に立った

ghostfinder

最高の成果の一つ

2021年8月10日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

こんなに素晴らしい哲学の本があったのですね
　書き方が柔らかい会話形式なのでちょっと敬遠していましたが、よく考えるとバークリーだってガリレオだって、こんな感じでしたので、哲学者たる野矢さんにはこれで自然なのでしょう
　なお星一つのレビューに賛成者が多いようですが例えば「√2やπといった個々の無理数が存在することはいいんです」というのは、それが無理数だろうが有理数だろうが実際の計算において問題なく使用できる以上どうでもよくて、これをわざわざ可能無限の立場で証明して整合性を持たせる必要なんてないと思うのですがどうでしょうか。私は野矢さんがそういう意図をもって書いておられると思いました

4人のお客様がこれが役に立ったと考えています

役に立った

キース

実無限vs可能無限

2018年7月14日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

野矢氏の著作を読むのは4冊目(論理トレーニング、論理トレーニング101題、入門論理学)。砕けすぎた調子の文体にも拘わらず、内容はかなり難しかった。

・無限は大小の概念とは別物である。無限は数でも量でもない。
・ゼノンのパラドックスは、収束する無限級数であるが、これはアキレスが亀に追いつけることを証明しない。自然数は定義上数え尽くせない。直線上に無限個の点が含まれると考える為、無限回の行為を行う必要がある。
・線分から無限の部分を切り取ることは出来るが、線分を無限の部分に切り分けることは出来ない。実無限とは無限のものがすでに存在していると考える立場。可能無限とは可能性としてのみ考えられるとされる無限のこと。カントールが実無限の立場から現代の無限集合論を作った。
・集合Aと集合Bとの間に1対1対応が作れれば集合Ａと集合Ｂは濃度が等しいという。自然数と偶数の間には1対1対応が作れるので、濃度が等しい。同様に考えると1次元の直線と2次元の平面の点の濃度は等しい。だが無限集合において、濃度が等しいということは、集合が同じものだということを意味しない。
・カントールは対角線論法によって、実数の集合は自然数の集合より濃度が大きいことを証明した。証明には背理法を用いた。しかし対角線論法が有効である為には、自然数、及び自然数に対応する実数が全て書き出されていなければならない。これは実無限の立場からの想定であり、これはカントールの証明は間違っている。
・可能無限の立場から実数を捉える。可能無限とは果てしなく続く無限であり、可算無限のみ認める。可能無限での無限集合とは、その要素を際限なく作っていく方法・規則のこと。しかし、実数の集合を作る規則はない。従って実数という無限集合は存在しない。
・ある集合の部分集合を考え、作ることの出来る部分集合を全て集めたものをべき集合という。一般的に、べき集合の方が、元の集合よりも濃度が大きい。自然数の集合のべき集合が自然数の集合よりも濃度が大きいことを対角線論法で証明できる。実数の集合は自然数のべき集合、つまり自然数を概念化する可能性の全体と同じ濃度となる。カントール的な考え方では、可能な概念の全体を実数濃度の無限集合として捉えている。これは概念に対して実在論の立場を取っていることとなり、ゆゆしき考え方である。
・任意の集合はそのべき集合の方が、濃度が大きい。べき集合に対して、そのべき集合を作ることが可能であり、さらに濃度の大きい無限集合を作ることが出来る。カントールは全ての集合の集合は存在しないとした。カントールのパラドックス。
・自分自身を要素として持たない集合の集合をラッセル集合という。ある集合Xにラッセル集合SRそのものを代入すると矛盾が生じる。ラッセルのパラドックスはカントールの無限集合論を頓挫させた。これは対角線論法で導ける。
・ブラウアーが唱えた直観主義は可能無限の立場をとる。直観主義に従えば、無限集合はそれを行使する規則にすぎない。ラッセル集合も自身を要素として持たない集合を集める際限ない作業を指すにすぎない。無限に対して非実在者としての態度をとり、無限が関わる領域では排中律を拒否する。
・ヒルベルトは形式主義を提唱。形式主義は、形式化され純化された公理系と、その無矛盾性・完全性を有限の立場のメタ数学で証明する2本立てを提唱すし、排中律を認めさせた。
・ゲーデルの不完全性定理は2つに分かれる。第1不完全性定理：無矛盾で完全な自然数論の公理系を作ることは出来ない。第2不完全性定理：有限の立場でのメタ数学では自然数論の無矛盾性は証明不可能。ヒルベルトプログラムはゲーデルの不完全性定理で挫折した。

特に後半の理解は自分でも怪しい。
集合・論理・証明についての基礎的な本を読んでから、もう一回。読んでみたい

12人のお客様がこれが役に立ったと考えています

役に立った

たろう

こんなの読んだことなかった。

2019年3月12日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

無限って何？
中学生くらいの頃、先生に聞いて、
嫌われたことがある人にはもってこいの本です。

こんなに具体的な方法で無限を解明することが出来るのか！
と、目から鱗でした。

2016年11月1日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

アキレスはカメに追い付けたのだろうか?
この有名なパラドックスは無限級数で解決したと言われているが、本当か？

野矢マジックが、
我々いたいけな一般市民の迷いを解きつつ、
さらなる迷宮に案内する。

無限がもたらす混乱は、論理や数学の本質に光を当て、
矛盾から自由になれない我々の姿を、対角線で明らかにする。

物理学、経済学など無限を利用する数学を多用する時、
我々は何処かでこの落とし穴にはまっていないだろうか?

無限にまつわる数学の歴史を哲学的視点から分かりやすく、そしてクスッと笑ってしまうユーモアを散りばめた、
傑作だと思います

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