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中村 亨
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ガロアの群論―方程式はなぜ解けなかったのか (ブルーバックス) 新書 – 2010/5/21

中村 亨 (著)
5つ星のうち4.3 44
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ガロア群を見れば、すべてが判る! 2次方程式の解の公式は、バビロニアですでに知られていた。3次方程式の解の公式は、カルダノ(タルターリャ)が発見した。4次方程式の解の公式は、フェラーリが作った。5次以上は解の公式が作れないことを、アーベルが証明した。しかし、5次以上でも解ける方程式はいくらでもある。なぜなのだろう? 20歳の若さで死んでしまったガロアが、それを明らかにし、どのように考えたのか。


ガロア群を見れば、すべてが判る!

悲劇の天才ガロアは、どのように考えたのか
2次方程式の解の公式は、バビロニアですでに知られていた。
3次方程式の解の公式は、カルダノ(タルターリャ)が発見した。
4次方程式の解の公式は、フェラーリが作った。
5次以上は解の公式が作れないことを、アーベルが証明した。
しかし、5次以上でも解ける方程式はいくらでもある。なぜなのだろう?20歳の若さで死んでしまったガロアが、それを明らかにした。

ガロアは、1811年パリ郊外のブール・ラ・レーヌに生まれた。12歳になり、パリのルイ・ル・グラン校に入学すると、そこで数学の才能を見せるようになる。特にルイ・ル・グラン校の高等数学のリシャール先生に、大きな影響を受けた。17歳の時、憧れのエコール・ポリテクニークを受験し失敗するが、はやくも18歳で最初の論文をパリ科学学士院に提出する。しかし、この論文はコーシーが紛失し、行方不明になってしまう。1832年5月30日の決闘の前夜、ガロアは親友シュヴァリエへの8ページの手紙に、彼の代数方程式の解の研究を書き遺した。
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  1. 本の長さ
    232ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    講談社
  4. 発売日
    2010/5/21
  5. 寸法
    11.4 x 1 x 17.4 cm
  6. ISBN-10
    4062576848
  7. ISBN-13
    978-4062576840
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  • 出版社 ‏ : ‎ 講談社 (2010/5/21)
  • 発売日 ‏ : ‎ 2010/5/21
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 新書 ‏ : ‎ 232ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4062576848
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4062576840
  • 寸法 ‏ : ‎ 11.4 x 1 x 17.4 cm
  • カスタマーレビュー:
    5つ星のうち4.3 44

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中村 亨

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Amazon カスタマー
5つ星のうち5.0 補助方程式が存在する理由
2022年1月28日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
補助方程式が存在する理由を具体例を使ってわかりやすく説明されています。
2人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
F.Chopin
5つ星のうち4.0 初等関数の範囲内で高次方程式は一般に解けるかについての興味深い議論～代数学の基本定理との相関で
2021年10月19日に日本でレビュー済み
試みに五次方程式x5-x-1=0を独自の方法で解いてみましょう。

まず予備知識として因数分解、チルンハウゼン変換、四次方程式の変形法（フェラーリに準ずる）など。
解をあらかじめαと置き、因数分解すると相方は四次式x4+αx3＋α2x2+α3x+1／αです。
これは解αが三次の係数となっているので当然に零ではなく、チルンハウゼン変換が必要です。
そこで、この式にxに代わってx-α／4を代入すると次の式が得られます：

即ち、x4+（5／8）α2x2＋（5／8）α3x＋（1／α）-51／256

次にこの式をフェラーリ変換し、(x2+a)2-b2(x+c)2のフォーマットにはめると、
未定係数法により2a-b2=（5／8）α2、-2b2c=(5／8）α3、a2-b2c2=（1／α）-51／256。
また、条件より（1／α）-α4=-1でもあるのでこれらをすべて連立に持ち込むと、
係数cの三次式が現れ、その二次係数を再び零と置くとα4=307／231です。
ここからは定義式にはめます：

即ち、元々の式はα5＝1＋αなのでα5=(307／231)(5／4乗）＝1+α＝1＋(307／231)(1／4乗）。
よって、α＝(5)√1+(307／231)(1／4乗）ですね。
この話には実は重要なファクターである誤差（エラー）に関して続きがあります：

即ち、求められた解α≒1.1673…なのでα＝（7＋⊿）／6と再び置けます。
そこで、有理数と無理数の関係から⊿∊Ｒ（実数）とし、その5乗が（13+⊿）／6に等しいとし、
二項展開して誤差を1乗で打ち切ると（7＋⊿）（5)=6(4)(13+⊿）なので、
計算すると⊿＝41／10709≒0.0038286です。すると、1＋α＝2.167304766、
α（5)=2.167311288です。
これは誤差が零化したときに即ちαの数値が最終確定することを意味しますが、
それは無理（∞）なのでここではとりあえずα＝（7＋ε）／6;εＲ≒3.8286×10（-3）とし、
α≒1.167304766としておきます。

以上、五次方程式の解法の一端に触れ、その内在的構造を吟味しました。
五次方程式はなぜ解けたり解けなかったりしうるのか、という根本問題について、
より本質的な議論に食い込みたい方、本書は必読ですよ！
高次方程式に関するアーベル＝ルフィニの定理や有名ながら難解なガロアの群論に関して、
より進んだ知識系統が平易に得られることを約束します。
ぜひ本書を繙き、さらにご自分でも五次方程式を解いてみられることをおすすめしておきます。
因みに、かくいう当方は東大教養学部卒、東京理科大数学科中退という立場であり、
専門（数学に関して）は微分方程式論、楕円関数論、そして高次方程式論です。
初等関数の範囲内で高次方程式を解くことを最近の研究テーマにしています。
1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
cappuccino
5つ星のうち3.0 割と難解
2022年3月31日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
まあ難しいのは当然かもしれませんが、かなり丁寧に説明されていて良い本だと思います。この本はガロアの生涯を追うという本ではなくて方程式の解に関する説明を行っている本です。
4人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
名無し
5つ星のうち5.0 わかりやすいです。
2020年1月7日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
難しい内容ではありませんが、非常に興味深いです。
本気で読んだら、一日で読み終えることができました(自分は高校生です)。
これまであまり背景を気にしてこなかった、2次方程式の解の公式や解と係数の関係、判別式などにより深い知見をもつことができます。
高校の内容では「対称式」と書いてあっても、「は？そんなの当たり前だろ？」としか思いませんでしたが、この本を読めばそれがどんなに深い意味をもっているのか理解できます(とはいっても、やはり高校の範囲内では完全に無意味だと思いますが)。
11人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
八王子狭間タウンズシニア
5つ星のうち5.0 高校生の勉強とシニアの趣味の読書に最適
2011年3月12日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
数学者の草場先生は著書「ガロワと方程式」のなかで、ガロワ理論は
ガロアが１８，１９の高校生の時に構想したものであり、だから本来
それほど予備知識はいらないものだと書いています。

本書は、普通の大学用のテキストとは違って、あまり代数学の予備知識
を要求せず、中学、高校の知識だけに基づいてガロア理論を解説してい
ます。
それともう一つ、普通のテキストは、現代の群論を用いて、ガロア理論を
記述しているとすれば、本書は、そうではなく、ガロアの論文と考えに
したがって、ガロアが書いた様式を再現しながら、ガロア理論を叙述し
ています。

そのため、数学科の学生諸君には、いつものやり方と違うので、冗長だ
ったり、厳密な感じがしなかったりする部分があるとしても、はじめて
ガロアを読む高校生や当方のようなシニアの素人にとっては、十分にわ
かりやすく、味のある解説になっていると思います。

はじめの方の３章にわたって、２次、３次方程式の解き方と、置換の解
説が丁寧に書いてあるので、ここを十分に読んでおくと、４章からのガ
ロア理論が読めるようになると思います。
なにしろ、大学レベルの知識はでてきませんから、４章からも、ゆっくり
と何度も読み返すならば、ガロアの構想を把握できます。

著者は、多分やさしく書くためと、ガロアの説明に沿うために、本書でし
か使わない用語をいくつか使用していて、これがすでに数学を学んだ読者
には違和感があるかと思いますが、実際本書は高校までの知識しか予定し
てないので、何度か読みなおせば、これはこれで、わかりやすい説明のよ
うに感じられます。

４章で、２次方程式を例に、代数的に解けて「解の公式」が見つかるため
には、２つの根a,bから作られる置換群が、どのような性質を有するのが、
丁寧に解説されます。
ガロア群Gの書き方や、正規部分群の定義と表記、また群の包含順序に対応
する解の公式の記述に必要な「数体」の呼び方などが、通常の教科書とは異
なっていますが、なに、初めて読む場合には、問題はないように思います。

最後の８章には、現在の群論をもちいた、ガロア理論の概要も示されてい
ます。
33人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
赤川凌我
5つ星のうち4.0 群論の入門には最適
2021年12月23日に日本でレビュー済み
この本は読み終えるのには一日で十分ですしそれだけでなく代数方程式における群という概念の重要性の計算も書いてあります。置換の説明も果物を例にして説明してあります。ガロア理論におけるリゾルベントや、群とその対称性(主にガロア群、正規部分群の根と係数の四則演算、有理式について)を綿密に計算しており、また補足として正多角形における群論の応用例も書かれてあります。根気よく読めばこの本だけで入門に足る理解には到達可能だと思います。ただ、肝心な群論の対称性の理解という意味では丁寧に書こうという意識が裏目に出て、却って不親切になっている気が、個人的にはします。ただ、群論の入門には最適ですし、他のブルーバックスの中でも極めて面白いと思います。数学を楽しむという目的意識の中でも非常に良書と言って差しつかえないと思います。また、ガロアの人生についても少し書かれていて、代数学の歴史、バビロニアでの一次と二次の代数方程式の解の公式、カルダノとタルターリャによる三次方程式の解の公式、フェラーリによる四次方程式の解の公式なども丁寧に解説されてます。ガロア以後のケーリーやフォンディークなどによる群や集合での結合法則、重要な元や逆元の説明もあります。ガロア理論は一般に、ガロアがアーベルの定理を受けて書いた論文ですが、そのアーベル(ルフィニ)の定理を大幅に簡略化し、その上、代数方程式そのものの解を持つ場合の性質を調べた結果、完成した理論です。著者自身も、本気で群論を学びたいならきちんとした専門書を読むことを勧めているように、著者の自覚としてもやはりこの本は群論の入門書の域を出ないものではあります。それでも読む価値はあります。プロからアマまで、十分に楽しめる本だと個人的には思います。
1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート