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松本幸夫

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多様体の基礎 (基礎数学) 単行本 – 1988/9/25

松本幸夫 (著)

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版を重ね続けるロングセラー・テキスト

※初版1988年、2019年5月時点で31刷

多様体は、現代数学の中心的な概念のひとつである。本書は初めて多様体を学ぶ人のためになるべくわかりやすく記述するという立場を貫き、扱う題材も基礎的なものに絞ってていねいに解説した。応用をめざす人にとってもさらに高度な理論をめざす人にとっても好適。

【本書「まえがき」より】
多様体は、現代数学の中心的な概念のひとつである。多様体のなるべくわかり易い教科書を書いてみたいという動機から、著者はこの本を書いた。扱かっている題材はすべて基礎的なことばかりである。`丁寧な説明を'と心がけているうちに、この本は意外に厚くなってしまった。しかし、この厚さから想像されるほど盛りだくさんの内容を含んではいない。

読者としては、大学2、3年級の学生を念頭に置いた。予備知識として線型代数の初歩(ベクトル空間や線型写像の定義、行列と行列式の定義、簡単な性質)と多変数の微積分(偏微分と重積分について少しずつ)、それに、位相空間の初歩的知識があれば十分である。しかし、これらの概念に不慣れな読者でも、かなりの部分は読めるのではないか、と思っている。

【主要目次】
まえがき

第1章準備
§1 多様体とは
§2 m次元数空間
§3 ベクトル空間
§4 連続写像とCʳ級写像
§5 位相空間

第2章 Cʳ級多様体とCʳ級写像
§6 多様体の定義
§7 Cˢ級関数とCˢ級写像

第3章接ベクトル空間
§8 接ベクトル空間
§9 Cʳ級写像の微分
§10 写像の局所的性質
§11 射影空間

第4章はめ込みと埋め込み
§12 はめ込みと埋め込み
§13 埋め込み定理
§14 1の分割
§15 正則点と臨界点

第5章ベクトル場
§16 ベクトル場
§17 積分曲線

第6章微分形式
§18 1次微分形式
§19 k次微分形式
§20 外微分とストークスの定理

付録A Dₚʳ (M)とTₚ (M)の関係
付録B 射影平面P²がR³に埋め込めないことの証明
演習問題解答

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ISBN-10

4130621033
ISBN-13

978-4130621038
出版社

東京大学出版会
発売日

1988/9/25
言語

日本語
本の長さ

350ページ
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商品の説明

著者について

松本幸夫(まつもと・ゆきお)
東京大学名誉教授。
1944年、埼玉県に生まれる。1967年、東京大学理学部数学科卒業。1973年、理学博士。
著書に、『4次元のトポロジー』(日本評論社)、『トポロジー入門』(岩波書店)、『トポロジーへの誘い』(遊星社)、『Morse理論の基礎』(岩波書店)などがある。

登録情報

出版社 ‏ : ‎ 東京大学出版会 (1988/9/25)
発売日 ‏ : ‎ 1988/9/25
言語 ‏ : ‎ 日本語
単行本 ‏ : ‎ 350ページ
ISBN-10 ‏ : ‎ 4130621033
ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4130621038

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松本幸夫

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ksan

図も多くあって、内容が理解しやすかった。

2023年9月27日に日本でレビュー済み

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一読した。次のようなイメージを持った。冷蔵庫から、卵を取り出し、それに鉛筆で小さな範囲で座標系を書いたら多様体になる。座標系に適当に曲線を書いて、始点をt=aとし、終点をt=bとすると、実数から卵の表面への写像になる。曲線の１点に透明な下敷きを接するように置くと、接平面が出来る。下敷きに接点から曲面の動く方向に矢印を書くと接ベクトルになる。接点から透明な下敷きに垂直に矢印を考えると法ベクトルになる。透明な下敷き上に接ベクトルから進む方向に対して左に垂直に矢印を書けば、接ベクトルとも法ベクトルとも垂直な矢印になる。曲線が数式で表せたら、微分（空間の次元が上がれば偏微分）して接線を考え、さらに微分して法ベクトルを考える。豆腐等は多様体として考えない。角があって、角の部分で微分できないからだ。曲面に書いた曲線について考えにくいようなら、実数の平面に写像で写してやる。地球儀の地図を紙の地図帳に写すようなものだ。小さな範囲では地球儀の地図も地図帳の地図も見た目は変わらない。微分積分学や線形代数学に比べると、なんか隙間産業のような印象がする。YouTubeに、この本をもとにした講座がある。「基礎数学Ⅰ」で大阪大学大学院の石川将人先生の解説で、14回分ある。動画と並行して読める。

5人のお客様がこれが役に立ったと考えています

役に立った

C.J

初学者に愛されている名著

2022年10月22日に日本でレビュー済み

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専門的な数学書といえば、一線級の学者が書くため内容が難しいことが多々ある。そして、この本の著者である松本先生も飛び抜けて頭の良い学者なのだが、この本はとてもわかりやすく書かれている。数学が得意でない人も挫折することのないよう随所に配慮が行き届いており、まさに名著と言える。位相空間論を学んで次は多様体を学びたいと言う方には最適。冒頭に内容が薄いと書いてあるが、初学者にとっては十分な内容になっている。なお、逆関数の証明のところは難解かつ証明部分は読み飛ばしても後ろの内容には影響ないので、そこで挫折した人は飛ばしてしまうといいと思う。

7人のお客様がこれが役に立ったと考えています

役に立った

わんわん

言われているほど易しくはない

2019年10月1日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

多様体の易しい教科書として有名な本であるので、最初の一冊目として読んでみた。
易しいものだと思って読み進めていた。確かに多様体の理解に必要な知識が最初に示されていて最初は難しくなかった。しかし§10に入って逆関数定理の証明を見ると非常に難しく、わかりづらかった。この本だけでは理解できず難しいとして有名な別の入門書を読んでようやく理解できた。そこを過ぎるとそれほど難しい叙述は少なくなり読み進めやすくなった。ただ証明が細かく延々と続いていくのでかなりの忍耐力が求められた。終わりの第６章の微分形式に入ると再び難しくなった。

全体としては他の数学書を読むのと同じくらいのペースでしか読み進められなかった。易しいはずだという先入観により苦しめられた。また言われているほど学習範囲が狭いわけでもなかった。

Kindle版を読んだが、本をスキャンして作成したのだろうか、上の方の文字が微妙に右下がりになったり、左下がりになったりしていた。頁を移動するときにそのことが気になった。

31人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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北狐

日本人のルールブック “論語”に代わる新生日本の“素読”の教科書

2020年9月8日に日本でレビュー済み

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全宇宙(ハウスドルフ空間)が多様体から構成されている以上、この本は新生日本人の“素読”の本にならねばならない。
　この本が『ちくま学芸文庫』に入れば、岡潔と秋月康夫が終戦後に法隆寺で語り合った日本の理想、つまり『日本を数学に投げ入れる』作戦が完結することになる。(『数学の窓』(学生社)参照)
“開近傍”etcの定義は、同著者による『トポロジー入門(岩波書店)』に書いてある。
　微分多様体としての射影空間の解説は、他書の追随を許さない。
中でも圧巻は1の分割定理(定理14.4 p190~)である。論理展開の緻密さは他書の追随を許さない見所だと思う。成功の要因はパラコンパクトまで踏み込まず、σコンパクトに話を絞ってあるからだろう。
（パラコンパクトで詳しく解説しているのは足立正久著『微分位相幾何学』である。）
“引き戻し”の概念も『多様体入門』よりも噛み砕いて分かり易く説明されている。
　最大の特長はストークスの定理(定理20.8)を完璧に証明している点にある。これも図を使って初心者でも納得出来るように証明されている(この点では、L.TuやSpivakの本より優れている)。
　この本の売りは『多様体入門(松島与三)』の？と思うエピソードを分かり易く書いてある点だ。
特にサードの定理に関連する測度０の集合について(測度の記述は『多様体入門』には無い)詳しく論じられている。サードの定理、ホイットニーの埋め込み定理の証明は『微分多様体入門(鈴木治夫サイエンス社)』や『微分位相幾何学(足立正久共立出版)』に載っている。
　ミルナーのTopology from Differentiable Viewpointやボット、トゥーの『微分形式と代数トポロジ－』に繋がるように書かれている点も素晴らしい(但し、この本はロゼッター・ストーンの様で、Spivakの『A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vo1』が無いと読めない)。

※p288 下から2L 指数ｋ　　→　ｋ＾２

10人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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ギターが好きな猫

挫折しても、諦めるな！

2018年11月19日に日本でレビュー済み

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物理を独学で15年ほどやって、大抵の数学は、そのつど物理で学んできたが、弦のトポロジーだったり、コンパクト化した余剰次元の事を知ると多様体は、避けて通れなくなった。従来のやり方で多様体を勉強する事は、僕には、不可能なので、買って読み始めた。が、慣れない集合等の記号で一旦挫折。
しかし2か月後、再び読むと、よくわからないが複雑な記号もスイスイ読めた。
これが多分習うより慣れろ、の実践だと思った。
多様体の学者の本で、1冊目にオススメだ、
インターネットでみたが、著者の松本さんは、すでに学習院を退職されたが、そこでの記事や、本に書かれた参考文献の紹介の箇所でも、松本さんの人柄が溢れ出ている。
これを機に多様体のもっと発展的な議論や、トポロジーも、他の本で自勉していきたい。

26人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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スカラベ

　目からウロコの多様体入門

2014年9月17日に日本でレビュー済み

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　本にはもっと早く読んでおけばと悔やまれるような本があります。
私も多様体について知りたくて、他の本を読もうと試みましたが、何故かだいたい
多様体の定義を過ぎたあたりでうんざりして挫折しています。
しかしこの本はそのような私のために書かれたものでした。

　まえがきにも書かれているように、

　「現代数学の中心的な概念のひとつである、多様体のなるべく分かり易い
教科書を書きたかった。」

という当書の前提知識は、線形代数の初歩、多変数の微積分、位相空間の初歩だけ。
つまり大学の２，３年生のレベルの知識で充分。これで、接ベクトル空間、はめ込みと埋め込み、
ベクトル場、微分形式までの基本をカバーしてくれます。謙虚な著者は、この本を読んだあとで
もう一冊念のために標準的な教科書、たとえば、
　　「多様体」　（村上信吾　共立出版）
を読むように薦めています。丁寧かつ明解な記述で、学ぶものに元気を与えてくれる本です。

17人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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タイラー

難易度は普通な気がする

2024年2月8日に日本でレビュー済み

難易度は普通な気がする
わかりやすい　と言われると私はそうは思わないが
わかりにくい　ともいえない
まあ普通である

ただわかりにくいと思ったところは後で補足しておく。

p24 f(x₁,…,xₘ)=e^(x₁²+…+xₘ²)は
h:ℝ↦ℝ,h(y₁)=e^y₁とg:ℝᵐ↦ℝ,g(x₁,…,xₘ)=x₁²+…+xₘ² の合成関数h∘ gである。
p22の公式を用いると、　∂(h∘ g)/∂xᵢ=∂h/∂y₁ ・∂g/∂xᵢ

∂h/∂y₁というのは　ℝ→ℝ ,y₁↦eʸ¹である。

∂g/∂xᵢというのは　ℝᵐ→ℝ,(x₁,…,xₘ)↦2xᵢ

p23のこの点を考慮して…のところに注意して
∂h/∂y₁が正確には(∂h/∂y₁・g)=e^(x₁²+…+xₘ²)であることに注意すると
　結論をえる。

p48の2行目　x≠p₁だからxₘ₊₁≠1とあるが、xₘ₊₁=1とするとt₀xₘ₊₁+(1-t₀)=0 が1=0となり矛盾するから　xₘ₊₁≠1 で良いんじゃないのか？

(6.9)の近くの　xₘ₊₁≠1もxₘ₊₁=1とすると6.9が0=1となり矛盾するからで良いんじゃないのか？

p50 ℝ²-{0} とℂ-{0} は同一視できるとあるが　これは　2つの間に全単射が存在するということです。　(a,b)↦a+bi により全単射が存在するということです。
p25に書いてました。

2009年10月7日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

本書が解説するのは現代幾何学の基礎に位置する内容です。
高校数学でxy平面上の関数に微分積分を用いて接線や面積を計算しグラフの形状を解析したように、より一般的な空間中の図形を微分積分で解析することを目指します。

「多様体」は空間内の各位置で少なくともその周辺に座標系を描ける空間と定義されます。
つまり、さまざまな座標系のパッチワークで覆える空間です。
地球表面を多様体と考えると、日本周辺ではメートル単位の座標系、アメリカ周辺ではヤード単位の座標系を貼り、ハワイあたりで座標系が重なる様子をイメージできます。

多様体上の微分積分の定義は少々まわりくどくなります。
微分積分で解析される図形の形状はその図形および空間に内在的な固有の特徴です。
一方、多様体に貼られる座標系は外在的なものです。
したがって、微分積分の計算結果が座標系に依存するのは望ましくありません。
このため、微分積分は座標系に関して抽象化した形で定義されます。
先の例では、ハワイ周辺で日本式座標系で計算した結果とアメリカ式座標系で計算した結果が一致するように定義されます。

本書の前提知識は高校数学の微積と行列程度です。
本文の定理証明も難しくありません。
しかし、座標系に関して間接化された「接ベクトル」や「微分形式」などの定義には戸惑いました。
それでも他の同類の入門書と比べると本書が最も丁寧です。

本書の前に『現代数学への招待:多様体とは何か』もおすすめです。

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