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成田 正雄
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復刊 イデアル論入門 単行本 – 2009/7/9

5つ星のうち4.5 7
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イデアル論をなるべく取り付きやすいものにしたいということを目的に,代数学の初歩,すなわち群・環・体についてごく普通の基礎知識のある人なら誰でも読めるように工夫した入門書。『共立全書178.イデアル論入門』として1970年初版発行後,以来,長年にわたり多数の読者にご愛読いただいてまいりました。この度,多くの読者からの要望を受けより読みやすいA5版に拡大し単行本に改装し発行するものです。
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  1. 本の長さ
    232ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    共立出版
  4. 発売日
    2009/7/9
  5. 寸法
    15.5 x 2 x 21.7 cm
  6. ISBN-10
    4320018915
  7. ISBN-13
    978-4320018914
  8. すべての詳細を表示
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登録情報

  • 出版社 ‏ : ‎ 共立出版 (2009/7/9)
  • 発売日 ‏ : ‎ 2009/7/9
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 単行本 ‏ : ‎ 232ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4320018915
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4320018914
  • 寸法 ‏ : ‎ 15.5 x 2 x 21.7 cm
  • カスタマーレビュー:
    5つ星のうち4.5 7

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上位レビュー、対象国： 日本

あるごん
5つ星のうち5.0 高校生でも読める
2016年7月13日に日本でレビュー済み
文章から読者にわかってもらいたいという気持ちが伝わってきてとても読みやすいです。
まだ途中なので後半はどうなるかわかりませんが演習問題も適切な難度で解ける喜びを味わえると思います。
代数幾何をやっていた方に入門の入門としてオススメされたのでその点については間違いはないのかなと思います。
1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
Amazon カスタマー
5つ星のうち4.0 行間が少なくて読みやすい
2019年10月24日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
読み始めたばかりですが、ヒルベルトの基底定理の証明があまり見ない方法によるものだったのでおもしろかったです
誤植が多少目立つので上手く訂正しましょう
役に立った
 レポート
EtaleCohomology
5つ星のうち5.0 いい本です。やさしいだけでなく為になります。
2011年9月5日に日本でレビュー済み
可換代数の入門書です。イデアルが中心であり、アティヤー、マクドナルドよりも内容が少ないですが、こちらを最初に読むんでアティヤーらに進むのがいいです。
加群の記述が少なく、イデアルのみです。でもとっても良い本です。

テキストの証明は自分で与えましょう。その読み方がこの本の読み方です。
7人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
雑学家
5つ星のうち3.0 イデアルから代数幾何学へ
2011年3月13日に日本でレビュー済み
この本より理解しやすいのが数理科学 2023年 07 月号 [雑誌] の代数幾何学の記事です。
「数学は世界をこう見る」小島寛之はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
「21世紀の新しい数学」黒川、小島の第８章にはイデアルと代数幾何学の超分りやすい解説があります。「代数学―数と式の現代的理論」硲 文夫
「面心の代数幾何学」硲文夫の第6章が最高に分かりやすいです。
環の性質を調べる方法は，大きく分けて二通りあ
ります。一つはイデアル論的手法，もう一つは表現
論的手法です。前者は「イデアル」という環の部分集
合を使って環を内側から調べる方法。「数学は世界をこう見る」小島寛之が一番やさしい名著
これに対し，後者は環を外側から調べる方法です。つ
まり，環が他の集合たちに与える影響を調べる方法
（影響を与えられる集合はその環の上の「加群」と呼
ばれる）です。
まずもっとわかりやすいyou tube動画：代数学1 第9回　素イデアルと極大イデアル
「#4 イデアルの定義【素因数分解と環論】」
「はじめての可換環：整数 (13) イデアルの包含関係と素因数分解」と
：剰余環で体を作れ！極大イデアルと素イデアル【#2-7 高校生でもわかるガロア理論】
：代数学1 第14回　ネーター環は具体例での説明が最高！
「代数学1 第9回　素イデアルと極大イデアル」
「環の例をめちゃんこ作るための準備「イデアル」って何者？【#2-5 高校生でも分かるガロア理論】」
整係数1次不定方程式 am+bn=c への現代的アプローチ【初等整数論〜代数学：可換環論、イデアル論、一意分解整域】：「特別編）環論：準素イデアルの基本」、
：【可換環論】準素イデアル分解の最短表示
：【可換環論】準素イデアル分解の1st uniqueness theorem（第１一意性定理）
：【可換環論】ザリスキー位相の定義【位相空間論】
：【今週の2πr/可換環論】べき零根基は全ての素イデアルの共通部分に等しいことを示せ
剰余環で体を作れ！極大イデアルと素イデアル【#2-7 高校生でもわかるガロア理論】
「【今週の可換環論】アティマク1章演習7 任意の素イデアルが極大になっちゃう環」
「アルティン加群と有限余生成加群【VRアカデミア】」
【【KS圏1】Krull-Schmidt圏入門第一回【VRアカデミア】】の8分頃局所環をみてから
「ホモロジー代数 §1.5. 体と局所化」の15分頃
名著「数学の遺伝子」、「数学は世界をこう見る」小島寛之を読んで
「21世紀の新しい数学」黒川、小島の第８章にはイデアルと代数幾何学の超分りやすい解説があります。
「Northcottイデアル論入門」の方が読みやすです。
以下の本を読むほうが視野も広くてよっぽど役に立つ　
「代数学2　環と体とガロア理論」雪江　明彦 (著)
「代数学3 代数学のひろがり」雪江　明彦 (著)
「14日間でわかる代数幾何学事始」海老原円
「グレブナー基底の計算基礎篇」野呂、横山著
根基については動画you tube「【数学小話】ABC予想」局所環は「【代数学♯38】局所化と商体」
「【巨人の肩】ABC予想とは何なのか勉強して喋ってみました【望月教授】」
「【今週の2πr/可換環論】べき零根基は全ての素イデアルの共通部分に等しいことを示せ」
が分かり易い。
局所化とは, ある点の近くの領域に制限して考えるということ。可換環論で局所化の定義を見ただけでは分かりにくいが, 関数環の場合を考えると理解しやすい。例えば C[x] という多項式環に x の逆元を加えて, C[x, 1/x] という環を作ったとする。このとき関数の定義域は狭くなる。つまり, C[x] の元を関数とみたとき, その関数は C 全体で定義できるに対し, C[x, 1/x] の元, 例えば 1/x は x = 0 では定義されない。更に x − 1 の逆元を加えてC[x, 1/x, 1/(x − 1)] という環を作ると, 更に x = 1 という点を除くことになる。つまり逆元を加えることは,定義域を制限することになる。これを局所化と称する。
ネットで「物理のかぎしっぽ」⇒代数学⇒イデアルが分かり易い。「【代数学♯33】剰余環と準同型定理」「ざっくり学ぶ可換環論」「 龍孫江の数学日誌」「Takatani Note」のブログが非常に解りやすい。
内容は可換環（多項式環と整数環の二つ主流）の本です。それはイデアル概念で説明される。
偶数同士を足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね！（これがイデアルのイメージ）、
他方、奇数を２Ｚ＋1で表わすと、奇数同士の足し算は偶数になり閉じてないので群にならない。
偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています。
整数全体の集合 Ｚ において、イデアル ２Ｚ(Zの半分の集合） は唯一の数 ２ で生成されている。
この唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。
整数における素数にあたるものを素元、素数の倍数にあたるものを素イデアル（多項式環では凖同型写像の核で登場）という。
いま3の倍数の集合で考えると、、差も3の倍数だし、何倍かしても、やはり3の倍数となる。
整数環 ｚ で，ある素数 ｐを取ります．ｐ から生成する単項イデアルは
Ｉ＝{-3ｐ,-2ｐ,-ｐ,0,p,2p,3p} のように ｐ の倍数全体からなる集合[ｐ]
になります．確かに，どんな整数もｐ の倍数を掛けたら ｐ の倍数になり，
[ｐ] はイデアルになっています。
イデアルは、ある2つの条件が成り立つ部分集合です。
部分集合と言うからにはまず全体がなければ始まらないので、
全体をA、その部分集合であるイデアルをBとします。
Bで成り立たなければいけない2つの条件は次の通りです。
・Bの中のある元に、『B』の中のどんな元を『足して』も、Bの中に戻る。
・Bの中のある元に、『A』の中のどんな元を『掛けて』も、Bの中に戻る。
例えば、Aを整数、Bを5の倍数とします。BはAの一部ですね。
・5の倍数に5の倍数を足すと5の倍数になります。
・5の倍数に整数を掛けると5の倍数になります。
上の2つの条件がきれいに満たされていることが分かる。
5の倍数と言うのは、整数の中で上の条件を満たす部分集合（＝イデアル）になるわけです。要するにイデアルとは倍数の概念です。整数環 Z で，偶数全体からなる集合はイデアルです．偶数同士の和，偶数同士の積は偶数になり，偶数だけで部分環になります．さらに，偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています．ホームページ「数学の景色」も参考に。
一般に，整数環 Z で整数 m の倍数の全体 [m] はイデアル（つまり集合）になります．
イデアルとは環の部分集合ですが、その環にイデアルがあると剰余環というものが定義できます。
剰余環というのは割り算してできる環です。（剰余は割り算を意味します）
Rを環とし、ｍをそのイデアルとすると、Rをｍで割った環である剰余環R/mが定まります。
割り算を考えて剰余環を作ることで元の環のことがわかったり、
無限なものを（ぐるぐる王国に）分類し有限にして調べると便利なわけです。
（位相空間でいえば商空間というものになる）
you tube 動画で【剰余群①】代数学の群論の鬼門を突破しよう！具体例から感覚を掴む！
同様にして正規部分群、群Gの正規部分群Hがあれば、剰余群G/Hというのが出来上がります。
GをいろんなHでどんどん割って行くと、元の群であるGの様子が分かるわけです。
たとえばGの正規部分群がGと単位群しかなかったら単純群という群になります。
剰余群がアーベル群であればこれはガロア理論で重要な可解群という群になります。
本よっては
整数の部分集合Aで，Aの2つの元の差，およびAの元の整数倍.
が再びAに属するような部分集合をイデアルという。
これは多項式の場合にも言える． 変数での多項式の集合には，
和の単位元 0と積の単位元 1があり，和差および積の演算で閉じている，
つまりそれらの演算の結果も多項式の集合に再び属する．多項式の集合の場合は多項式環といわれる．
極大イデアル（割り算した答えが一番小さいならば、そのとき割る数は一番大きいというイメージ）
環とイデアルの関係は群と正規部分群の関係に似ている。
多項式の世界では線形代数との類似はイデアルの定義は部分空間の定義に似ている。どちらも足し算と掛け算て閉じていなければならない。部分空間の場合スカラーを賭けるのに対し、イデアルの場合は多項式
を掛ける点が異なる、多項式で生成されるイデアルは、有限個のベクトルで張られる空間に似ている。どちらも線形結合をしている。
素イデアルと準素イデアルは中学校で学んだ素数や素数のベキが果たしていたのと同じ役割です。
注意すべきは素数は極大イデアルであるということ。
合同のように同じものを同じと思える感覚が実数体の多項式環をイデアルで割った商環が複素数体と同型、つまり、それらは見かけは全く違うがそこでの和と積の代数構造が全く同じ対応がつくという同型を見抜く数学の感覚が大事。
中村郁先生の「楕円曲線」が商空間を考えると複素数の世界で複素一次元トーラスとして２次元複素射影空間の中にできる。これは実２次元トーラスとして「ドーナツ」の表面だけの「円環面」として表示される。これはリーマン・ロッホの定理などを基礎に証明される代数幾何学の成果である。「楕円曲線」を高次元へ一般化したらアーベル多様体となりアーベル多様体の同型類を整理して並べた集合がモジュライ空間である。モジュライ空間を代数多様体になるよう工夫するのがモジュライ理論という。
ネットでイデアルの根基はウィキペディア の説明がよく分かる。
整数環 Z を考える。
4の倍数のイデアル 4Z の根基は 2Z である。
5Z の根基は 5Z である。
12Z の根基は 6Z である。
一般に、mZ の根基は rZ である。ただし r は m のすべての素因数の積である（radical of an integer を見よ）。実はこれは任意のイデアルに一般化される。性質の節を見よ。
準素イデアルの根基は素イデアルである。イデアル I の根基が極大であれば、I は準素である[3]。
I がイデアルであれば、{\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}{\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}} である。素イデアルは根基イデアルである。よって任意の素イデアル P に対し {\displaystyle {\sqrt {P^{n}}}=P}{\sqrt {P^{n}}}=P である。
イデアルは少なくとも準素イデアルの交叉に分解できる．
準素イデアルはウィキペディア の図解説明がよく分かる。
ラスカー・ネーターの定理は算術の基本定理に同値である
すべての代数的集合は既約成分の有限個の和集合に一意的に分解できると述べることによって，代数幾何学において重要な役割を果たす．
「ざっくり学ぶ可換環」や「準素イデアルの代数と解析」のPDFが分かりやすい。
代数幾何とは何？　佐藤幹夫先生は「方程式は環である」とのこと。
多変数の代数方程式の解の作る図形を考察する幾何学！
図形（＝イデアル）と方程式が対応しているかどうかを考察した結果生まれたのがHilbertの基底定理
※多変数であること重要！
連立方程式＝多変数の多項式の根の集合を代数集合という。代数的閉体(必ず方程式が解ける集合のこと)
そこで、多項式環のイデアルを、連立方程式のかわりに使う。
ことをやって良いことを保障するのが、Hilbertの基底定理
連立方程式 ⇔ 多項式f1,f2,..fnを考える ⇔ 実はV(f1,f2,...,fn)=V(I)
結論：イデアルで考えても、幾何学ができる
Hilbertの零点定理
どんなイデアルを考えても、対応する図形が存在する！
'@Hilbertの基底定理から、方程式のかわりにイデアルを使って良い
'AHilbertの零点定理から、いつでもイデアルは図形を表現する
まとめ
・Hilbertの基底定理の主張
V(方程式の系)=V(方程式から生成されるイデアル)
・Hilbertの零点定理の主張
V(方程式から生成されるイデアル)はいつも図形(代数多様体？)を表現する！
｢パッポスの定理｣とは二つの直線上にそれぞれ三点ずつをとって、蜘蛛の糸のように結ぶと、新しく出来る三点もやはり直線を
成すように並ぶという。これが直線だけでなく円でも同様になるとパスカルが発見した。その後、楕円、双曲線でもかなり広く
成り立つことが分かってきたので、もっと一般にn次多項式の何本かで作られる連立方程式の解の点集合（零点）ではどうなるかと考えた。ヒルベルトはもっと抽象化したイデアルを使って交点集合を空間に拡張して、つまり距離空間として扱う、そこでは環が重要だと分った。素イデアル全体と点が対応する考察し｢ヒルベルトの零点定理｣
追記2014,6,24「数学は世界をこう見る」小島寛之はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
、空間⇒特殊なイデアル。逆に環があれば空間が出来るとグロタンディークは、一般のイデアル⇒空間と考え、集合の上にグロタンディーク位相を作っていく。
普通の位相は｢開集合全体｣で考えるが、広く、深く｢カバリング＝開被覆｣までも含めて位相だと圏論を使い抽象的に考察した。
スキームとはある種の空間、図形だということ。すでに｢空間｣⇒｢空間上の関数全体｣＝｢関数の環｣を対応して研究されていたが
逆に可換環の場合｢環｣⇒｢空間｣を作るのに環の極大イデアル全体をもってくる。こうなるともう空間はいらなくなる。即ち
代わりに｢可換環の素イデアル全体｣＝｢スキーム｣と名づけて考えればよいとグロタンディークは発想した。しかも素イデアル全体は極大イデアル全体を含んでいて使いやすい。可換環には基本的に整数全体の環Ｚを含むので、Ｚ上の代数から作った空間
全体が｢スキーム｣ということ。可換環があればその素イデアル全体を最初の空間に考え、次にその上の関数全体を関数環として考え、それ以外にも関数を入れて考察する、つまり環だけでなくスキーム上の｢圏｣も環の一種として｢層の圏｣として考える。
位相幾何学から誕生したホモロジー代数の理論が可換代数学に導入され、
これにより，可換代数学は急速な発展を遂げました。『正則局所環の局所化は
また正則局所環になる』というセールの定理は，このホモロジー代数の導入によって証明された。
たゴレンシュタイン環もコーエン
マコーレー環の一例です。コーエンマコーレー環は，
もともとは純性定理と呼ばれるイデアルの高さに関
するある特別な性質を持つ環として定義された可換
環で，イデアル論的な研究の対象でした。しかし，上
で述べたホモロジー代数の可換代数学への導入によっ
て，この環は，クルル次元と呼ばれるイデアル論的
な値が深度と呼ばれるホモロジー代数的な値と等し
くなるような環であることがわかりました。
，コーエンマコーレー環の表現論は，アルティ
ン環と呼ばれる環の上の加群を調べる“アルティン環
の表現論”という理論の自然な高次元化として，1970
年代に誕生しました。アルティン環上の加群がコー
エンマコーレー環上のコーエンマコーレー加群と呼
ばれる加群に相当し，アルティン環上で成り立つ多
くの結果の類似物がコーエンマコーレー環上でも成
り立ちます。
ゴレンシュタイン環(コーエンマコーレー環の一例)という，対称性をもった美しい可換環があります。この環
は，ただ美しいだけでなく，極めて重要な意味を持っ
ている可換環です。実際，有名なフェルマーの最終定理の証明
においても，ある環が完全交差環というゴレンシュ
タイン環になっていることが重要な役割を果たして
います。
イデアルの理論は数のイデアルに始まり，多項式のイデアルへと移り，さらに解析関数のイデアルへと変遷した。解析関数のイデアルの場合には，漠然と解析関数の集まりを考えるのは無意味であり，岡潔が言うように，解析関数を考えることのできる場所をつねに念頭に置かなければならない。それが，数のイデアルや多項式のイデアルの場合との本質的な相違点である。
追記2013,8,24「21世紀の新しい数学」黒川、小島の第８章にはイデアルと代数幾何学の超分りやすい解説があります。

剰余環は「数論入門」山本芳彦
可換環は「代数入門」上野 健爾と「環と加群」山崎圭次郎
で学べます。またホモロジーは「理工系のためのトポロジー・圏論・微分幾何」谷村省吾と「コホモロジー」安藤哲哉が読みやすくてお薦めです。
「抽象代数の歴史」I.クライナーもお薦め。
「代数学2　環と体とガロア理論」雪江明彦先生の動画you tubeでも学ぼう。
ネットブログ『日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート』のイデアル解説2016.01.01がわかりやすい。
「ざっくり学ぶ可換環論」も必見です。
動画you tube　「整係数1次不定方程式 am+bn=c への現代的アプローチ【初等整数論〜代数学：可換環論、イデアル論、一意分解整域】」、【代数学♯31】イデアル、【ガロア理論・第1回】代数の基本概念の復習」、「圏論勉強会第2回」は非常に参考になります。
最近2016年に見たyou tubeで「大森健児」さん「浅芝秀人」教授の解説は非常に勉強になります必見！！。
第3回 京都大学 − 稲盛財団合同京都賞シンポジウム [数理科学分野]「数学の創造：数論から幾何学へ」砂田 利一
の24分頃。
詳細な内容は「書評 成田正雄著 イデアル論」で検索すれば明治大学理工学部. 中村 幸男. 先生の
解説がPDFで読めます
9人のお客様がこれが役に立ったと考えています
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