題名からは想像できなかったけれど100ページまでの内容は関数解析の入門書として非常に分かりやすくコンパクトなすばらしい閉集合です。「現代工学のためのルベーグ積分と関数空間入門」や「数学が育っていく物語 (第4週) 線形性 有限次元から無限次元へ」などスペクトルは「自然の数理と社会の数理1」佐藤著の第7章がすごく分かり易い。と併読すると良く分かりました。なお後半は今は興味外なので読んでいません。
ベクトル空間とは、元は点(ベクトル)を要素とする集合であった。
関数空間とは、関数を要素とする集合のことで,そこでは一つの関数は幾何学的な点とみなせる。つまり関数をベクトルとみなして
議論するのが関数解析である。そこでは有限次元空間を扱う線形代数と無限次元空間を扱う関数解析の違いがある。
超解りやすい「非線形解析入門」大石進一がオススメ。
EMANの解析力学⇒汎関数微分 の素晴らしい解説を読んでおく。
微分方程式の解法理論として変分法や解析力学という手法がある。
変分法(極大や極小の性質を備えた曲線を見つけるを)を基礎にして力学を再構成するのが解析力学。
その対象となるのが「汎関数」と称する、それの距離の近さを論ずるのが関数解析で登場する距離空間。
you tube動画「内積とは結局、何だったのか!? 数B(ベクトル), 線型代数, 関数解析」
:【#1-1】東北きりたんの関数解析学 -基礎編- (ノルム空間とBanach空間)
:フーリエ変換を座標変換として理解する
:スペクトル分解定理2 有限な空間と無限の空間 を見よう。
ベクトル空間の内積の手法の考えで〈関数の大きさ〉や〈関数同士のなす角度cos〉⇒「直角:直交」を議論。
複素数値関数は実部・虚部、それぞれルベーグ可測のとき可測関数という、可測関数全体の集合はベクトル空間であり、掛け算・最大・最少をとる操作や列の極限をとる操作に関して閉じている。
関数解析とはおおまかに言えば、線形代数(行列の固有値、固有ベクトル、正規直交化、写像など)の話を実数や複素数の代わりに関数でもやってみようということです。線形写像の集合という,いわば『関数を元とする集合』を考えたとき,この集合もまたベクトル空間になることがわかる。双対空間を『線形汎関数の集合』として定義。you tube動画:【VRアカデミア】リーマン多様体における微分方程式とAlmost Rigidity【曲直瀬おめが。】
双対空間とはもとの空間を裏返したようなもの、有限次元ならもう一度裏返すともとの空間にピッタリ重なる。
あるベクトル空間に対して、それに属するベクトルを数に対応させるような線形写像の集合をもとのベクトル空間の双対
ベクトル空間と呼ぶ。したがって双対の双対は自分自身という訳である。双対は二回施すと元に戻る。
しかし無限次元でははみ出してします。商空間はもとの空間をある方向に潰したものである。
you tube:スペクトル分解定理0 イントロ&フロー 連続講義を先に見ておこう。
双対空間にはもとの線形空間の基底の双対基底がある。線形写像V→W全体のなす 線形空間Hom(V,W)は行列の空間と
考えることができる。特に双対空間ではV=Wとなっている。線形形式をより一般化したのがテンソルである。
圏論的な視点では線形写像全体も線形空間をなすと見る。
線形空間に位相を導入する理由は、連続性の議論(収束の概念)を行いたいからで、特にBanach空間やHilbert空間のような無限次元空間において必要不可欠だからである。加法と乗法(和とスカラ倍)という二つの算法の代数的構造に解析的(距離と収束の位相)概念を導入して考察するのが関数解析。ノルムを使って位相的諸概念(点列の収束、極限、閉集合、開集合)を議論する。
2次元平面や3次元空間のベクトルの長さを抽象化してノルムの概念が生まれた。ノルム空間というだけでは、解析学の基本である極限操作はできないので、空間がその操作に閉じている必要がある、これが完備性(コーシー列が収束)という性質で、それを満たすベクトル空間をBanach空間という。そのなかでも、内積が誘導されたノルムを持つのがHilbert空間である。あらためて内積が定義されているベクトル空間を内積空間(または計量ベクトル空間)ということにする。内積空間では正規直交基底やシュミットの正規直交化法など直交補空間、直和分解など論じられる。距離の概念を入れることによってはじめて2点の距離を測る数直線や実数列でやった収束の位相的解析的概念を論じることができる。Hilbert空間が有限次元のとき、線形作用素は行列で表現できる。したがってHilbert空間上の線形作用素の理論は無限次元の行列論と見ることが出来る。線形空間の基底概念とは任意のベクトルを有限個の基底ベクトルの線形結合で表わせるものはいつでも存在するということ。線形代数でベクトルを成分表示すると、直交基底ベクトルで表わされるが、関数空間でも完全正規直交系ができ、関数の成分表示が可能となる。その具体的な、イメージが「フーリエ展開」である。内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という、一方ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。
連続、不連続を問わずあらゆる関数をサインとコサインで表現できるフーリエ級数。それを無限区間に拡張するのがフーリエ変換という。なぜか「へんな数式美術館」竹内 薫、「リーマン予想は解決するのか?_」黒川信重、小島寛之の2書が関連内容で大いに役に立つたです。
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非線形解析入門 (現代非線形科学シリーズ 1) 単行本 – 1997/4/1
大石 進一
(著)
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- 本の長さ241ページ
- 言語日本語
- 出版社コロナ社
- 発売日1997/4/1
- ISBN-10433902600X
- ISBN-13978-4339026009
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登録情報
- 出版社 : コロナ社 (1997/4/1)
- 発売日 : 1997/4/1
- 言語 : 日本語
- 単行本 : 241ページ
- ISBN-10 : 433902600X
- ISBN-13 : 978-4339026009
- Amazon 売れ筋ランキング: - 423,890位本 (本の売れ筋ランキングを見る)
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