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竹内 外史
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層・圏・トポス―現代的集合像を求めて 単行本 – 1978/1/20

3.9 5つ星のうち3.9 7個の評価
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層、圏、トポスと集合論、数理論理学との密接な関係を説いた本と好評を博したテキストの復刊。初版は1978年１月。
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  1. 本の長さ
    207ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    日本評論社
  4. 発売日
    1978/1/20
  5. ISBN-10
    4535781095
  6. ISBN-13
    978-4535781092
  7. すべての詳細を表示
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登録情報

  • 出版社 ‏ : ‎ 日本評論社 (1978/1/20)
  • 発売日 ‏ : ‎ 1978/1/20
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 単行本 ‏ : ‎ 207ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4535781095
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4535781092
  • カスタマーレビュー:
    3.9 5つ星のうち3.9 7個の評価

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上位レビュー、対象国： 日本

目玉焼き
5つ星のうち4.0 後でちゃんとしたレビューを書くかもしれない
2021年8月31日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
この本の主要テーマは前層の論理への応用と，それから自然につながるトポスによる直観主義論理および高階論理などの構造と意味論に対する翻訳である．
さらにZFCをもとにした典型的な集合論とは別の,直観主義論理やトポスによる集合論への入門となっている．
したがって，圏論一般に手を付ける前にこれらの数理論理の（圏論を使わない記述での）古典的結果をしっかりと学んでいることが望ましい．

[以下Amazon_太郎氏のレビューへの苦言を兼ねて]

>Grothendieck Topos の性質を抜き出しただけであり、それだから、これが一般論として適切であるとはならず、数々のトポスが考えられている。

これが大間違いである．E.トポスがG.トポスの一部性質を捨象した概念であることは正しいが，G.トポスの理論が圏論論理においてE.トポスの理論よりも一般的であるということにはならない．
そもそも，E.トポスがG.トポスから一部性質を拭き取っているのだからより一般概念なのだ．
数々のトポス（つまり必ずしもG.トポスとならないE.トポス）があるということこそが，E.トポスの方がより一般概念であることを意味している．

LawvereはG.トポスから集合の外延公理的性質を捨象し，Joyalはその外延公理的性質を残しつつベキを捨象した．
どちらも当時よく知られていた代数論理や集合論を圏論的に表現するのにG.トポスのすべての性質が必ずしも必要ではなかったということを意味している．
さらに，当たり前だが，E.トポスだがG.トポスではないものも扱う．
G.トポスで構成できるようなもので圏論論理で扱うような機能の大半はE.トポスでも構成できる．

E.トポスはLawvereらによって論理および集合概念の基礎に用いるために，集合の性質を観察して，部分集合および特性関数などの性質からヒントを得て生み出された．それは集合あるいは論理式らしい構造を記述することを目的としたものだ．
Elementaryというのはこの場合「一階述語論理の」ということとほぼ同義となる．現在では，強調する意味でない限りE.トポスのことを単にトポス，あるいは一般トポスと呼ぶ．当然にG.トポスはトポスの一種である．

Lawvereらは現在Lawvere-Tierney位相と呼ばれているものを導入して，代数的論理の結果をまとめていったが，確かに現在はほぼ同じ結果をG.トポスで説明する例も見られる．
これは，簡単に言えば「圏Cの前層の成す圏の上でのトポスとLawvere-Tierney位相の理論」と，「その圏C上でのG.トポスとGrothendieck位相の理論」が本質的に同値な理論となっているからである．この同値性の証明に技術的な難しさはないが，かつては自明ではなかった．
このことはG.トポスの定義に圏論論理の文脈からの別定義が存在したということでもある．

更に，クリプキ意味論については，代数的論理学において，様相論理や直観主義論理などへすでに利用されていたが，それをJoyalが圏論的に（つまりトポスを使って）再定義した．
このときJoyalが最初に証明に用いたのは一般のトポス（E.トポス）である．現在ではG.トポスによる議論も知られているが，別にそれはG.トポスの方が優れているというわけだからでもない．

この書籍には問題もあるが，少なくともAmazon_太郎氏の言っている理由で問題であるわけではない．
彼は圏論通・数学通ぶっているが，基本的な数学の推論すらままならない人間が圏論の単語を抜き出して惑わせているだけである．

ちなみに，S.Maclane and I.Moerdjkの”Shesves in Geometry and Logic”がトポス理論の定番であることはその通りであり，この分野を学ぶ人は心に留めておいたほうが良い．
P.T.Johnstoneの “Topos theory”も良い本である．
他にももっと易しいものもあるが，トポスの基本はそれほど複雑ではない．ある程度基本を固めたら，さっさと読める範囲の論文・記事から手を伸ばせばいい．

ただし，圏論論理のこのあたりの基本となる議論は代数的論理や位相的論理の圏論的焼きましである．すなわち通常の方法での論理学に精通していることが望ましい．

この本には見どころもあり面白い部分もある．初学者向けに議論を大幅に端折った部分や著者独特の変則的な記述もある．数理論理のテクニカルな議論では誤解しやすい記述があったり，版を重ねるごとに誤りが訂正されているものの，誤りも多かったのも事実である．
読めるところを読んでさっさと次のステップに進んでいくなら良い本である．（だからあまり評価を書きたくなかった．しかし，Amazon_太郎氏のレビューがあまりにも酷いので書いたのである．）
13人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
星の空
5つ星のうち5.0 1970年代に書かれた圏論の名著
2009年4月4日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
竹内外史先生は、集合論の著書などで知っている人も多いことでしょう。
この本はその、竹内先生が書いた「層・圏・トポス」の入門書です。
とはいっても竹内先生の書いた「現代集合論」と同様、
（私のような数学の非専門化にとっては）
多少歯を食いしばって読まなければいけないのも確かです。

しかし、レベル的には”ハイパー高校生”くらいなら
読めるレベルに仕上がっており、マックレーン先生の
「圏論の基礎」を読むことに比べればはるかに敷居は低いです。
（と･･･思います(^^;

本書は、層、圏、トポスと表題がありますが、実は、圏論の
話というよりは、論理学の話が最終目標です。
論理学も、１階の述語体系、２階の述語体系、
高階の述語体系 etc.
といろいろありますが、それら、それぞれの体系を
いったいどのように、現代数学としてまとめていくのかという
問題があると思います。
それに対して、現代流にいうと、
「ある、論理構造を持つ述語体系はすべて、トポスに１対１に対応する」
つまり、トポスを研究すればことたりる、と（私の勉強が正しければ？）
（ごめんなさい、たぶん合っていますが、厳密には自信ないです）
そういうことを目標にしています。

ただ、トポスという概念は、とてもわかりやすく、
「生成文法の体系が、トポスに含まれる」
ということ自体は、高校生でも分かるくらい簡単に、証明できます。
（私は、数日でできました）
あとは、「トポスの体系は生成文法の体系に含まれる」ことを
証明できれば？（未だに証明できていません）
間接的に、

「ある、論理構造を持つ述語体系はすべて、トポスに１対１に対応する」

が証明できます。

ちょっと、与太話でした。

この本で影響を受けた人は多いらしく、
「圏論による論理学」を書いた清水義夫先生も
「層・圏・トポス」を読んでトポスに関心を持つようになった
と”おわりに”で書いています。

（ただし、清水先生の本は、本書と目標が違います）

私はこの本は所有しておらず、層・圏の部分のコピーを持っているだけです。
絶版であったこともあり、入手を諦めていましたが、
この度amazonで入手できるようになったようです。

そのことがとても嬉しいです。

追記：本書などは「ちくま学術文庫」などで刊行してもらい
　　　誰でも気軽に読めるようにしたほうがよりよいと思います。
39人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
Amazon_太郎
5つ星のうち1.0 適切なトポス 入門書とは呼べない。
2021年8月21日に日本でレビュー済み
Lawvere の Elementary Topos のみに焦点をあて、
グロタンディークトポスを除外しており、
適切なトポス 理論が本書から得られない。

Site や、Sieve など、
現代の圏論的数学のモデルを語る上で、
グロタンディークトポスを欠くことはできないであろう。
Elementary Topos は、Grothendieck Topos の性質を抜き出しただけであり、
それだから、（某専門家（目○○き）が豪語するように）これが一般論として適切であるとは決してならず、
数々のトポスが考えられている。

某専門家のレビューにある言葉で、某専門家のレビューを皮肉るのも稚拙ではあるが、
若者が惑わされることを考えれば、少々心を鬼にして皮肉を書いておく。
SGL にそのまま書いてある言葉を「通ぶった風に」ただ彼は語彙を並べているが、
エレメンタリートポスに対する批判もできておらず、ただただ理解していないだけの「通」である。
エレメンタリートポスの定義が言えたらそれでよしなのだろう。
彼のように、純粋な学問を志す気持ちを失った「通」には圏論はむずかしいのではなかろうか。

本書を絶賛する専門家は、より抽象のレベルが上がるということと、一般論として適切だ（かつ最小上界だ）ということの区別もつかない上に、懇切丁寧に説明された、現代の入門書に改良された新しいモデルが説明されてあるというのに、理解しないまま古いモデルをもってきているのは竹内外史への権威主義的考え方そのもであり、似非科学である。

現代数学的な考えからして、
トポスを語る上でより重要なものは、Grothendieck Topos つまりはある種の Sheaf である。
これらの上に、Quillen のモデル構造、強いて言えば、∞圏の構造が入る。
Elementary Topos はこれら理論を抽象化しているものの、
これは「general topology」が空間概念として不適切であるということが、
反例の山から明らかであるが、これを我々が教訓とするほどに賢明ならば、
「Elementary Topos がそういう意味で不適切ではなく、適切な抽象化である」
といった明言が本書には必要であろうが、全くそのような言及はない。

そういった点で、やや Lawvere の理論を鵜呑みにした50年前の理論をそのまま写経したような作りであり、
適切なトポス入門書とは言い難い。また、これを読むくらいであれば Lawvere の論文をよみ、思想に直接触れた方が百倍マシであろう。

現代のトポス入門書であれば、

* SGL(Sheaves in Geometry and Logic)
* [Caramello] Theories, Sites, Toposes

をすすめる。
（これら書籍の通読には、代数幾何学や関数環、あるいは代数トポロジーに関して少々の知識があることが望ましいであろう。）
10人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート