全く数式は出てきませんので読みやすいです。でも内容は豊富です。2次元多様体、3次元多様体。浮き袋面、基本群、3人乗りの浮き袋面。不変量であるオイラーの定理。浮き袋面の3角形分割についてのオイラーの定理。ベクトル場と特異点、浮き袋面の被覆空間、射影平面が
イラスト豊富に説明されています。
you tube:超弦理論シリーズ#3 弦が紡ぐ究極理論 の18分ごろが素晴らしい。
多様体のイメージとは「座標系が重なり合うという」ものです。魚の鱗(うろこ)で覆うのイメージ。
多様体は中学校で学ぶユークリッド空間を貼りあわせてできる空間であり、つなぐ糊しろ(条件)は座標変換です。一言でいえば「多様体とは座標系に依存せず、四則演算が自由にできる代数的構造を備えた集合(=体)である」
多様体とは簡単に言えば、局所的に見たら線形空間で表すことのできるような空間になります。
デカルトが考えたように点は座標平面で2つの数の組で表すことができる。直交していなくても極座標のように曲線座標でも良い。地球儀のように曲面でも2つのパラメータ(数の組)で点の位置を表すことができる。これと複素解析で出てくる解析接続の座標変換しても不変、テンソルでも同じ考えが多様体の概念につながる。
根底にはベクトル場とフロー(流れ)、逆写像定理(陰関数定理からの逆関数定理)が多様体の理論を支えている。「ベクトル解析と幾何学」坪井著、「大学数学の質問箱 2 数学セミナー増刊」
つまり数学者の頭の中ではベクトル解析(多変数を扱う微分積分学)を使い、局所的には微分幾何、大域的にはトポロジー(位相幾何)を考ている。三次元ユークリッド空間では直交座標で考えるが曲面では斜交座標で考察する。三次元ユークリッド空間が全世界をカバーするという見方です.そのうち,少なくとも自分の近所だけがユークリッド空間になっている,と考えることで多様体という概念を導入します.
各点の近傍に座標系を想定し、局所的にユークリッド空間とみなし、同じ点が2つの座標で表されるときその座標変換が何回でも微分可能である条件を満たす位相空間を(微分可能)多様体いう。
提灯を作る時、竹などでできた枠に紙を貼って作る。紙の上に座標系を書いて貼れば、2枚の紙が重なる点は提灯の上では同じ点になり、2枚の紙の上の2点が貼り合わされる。この時、紙の上の座標系が局所座標系であり、できた提灯が多様体である。数学では、この貼り合わせを関数で行い。その関数が、連続関数の時は位相多様体、無限回微分可能の時は微分可能多様体、正則関数の時は複素多様体と呼ぶ。またいくつかのn変数多項式の共通零点を多項式関数で貼り合わせてできる多様体を、代数多様体という。19世紀中頃、リーマン(G.F.B.Riemann) がリーマン面を概念化したのが多様体の始まり。
「トポロジーって何だろう 」「世界で二番目に美しい数式 下 トポロジーの誕生」「トポロジー万華鏡」「トポロジー:柔らかい幾何学」や久賀道郎の名著「ドクトル・クーガーの数学講座」「ガロアの夢―群論と微分方程式」と読み進めるのにお薦めです。
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曲面の不思議: 2次元宇宙のトポロジー (数学ひろば) 単行本 – 2007/12/1
郡 敏昭
(著)
- 本の長さ130ページ
- 言語日本語
- 出版社日本評論社
- 発売日2007/12/1
- ISBN-104535785333
- ISBN-13978-4535785335
登録情報
- 出版社 : 日本評論社 (2007/12/1)
- 発売日 : 2007/12/1
- 言語 : 日本語
- 単行本 : 130ページ
- ISBN-10 : 4535785333
- ISBN-13 : 978-4535785335
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