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小島 寛之
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数学は世界をこう見る 数と空間への現代的なアプローチ (PHP新書) 新書 – 2014/5/15

4.1 5つ星のうち4.1 47個の評価
すべての形式と版を表示
◆数学は世界を認識するための最高の技術だ!!
◆中学数学で、本物の数学の喜びと感動が体験できる!
数学というと、面倒な計算をして、現実とはかけ離れた定理や規則を丸暗記する科目とイメージされているかもしれません。しかし、本物の数学はそうではないのです。哲学とも異なる独特の見方で、私たちの周りの世界をよりよく認識するための技術なのです。こうした「数学者のメガネで世界を見るとはどういうことなのか」「数学的な世界観とは何か」、それをより広い読者に体験させてあげたい。このことに、本書は挑みます。
中学数学までの予備知識で、現代数学の最先端の話題にまでジャンプ!
これなら文系の社会人でも、高校生や大学生でも挑戦できます。何も専門の大学数学をきっちり学ばなくとも、「本物の数学の喜びと感動を体験できる」、この信念のもとに本書は書き上げられているのです。
空想力・創造性に満ちた「数学的なものの見方」は、これまでの世界の見方を180度変えてくれます。数学の思想的・哲学的な面に関心をもつすべての人に贈る、数学読み物です。
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  1. 本の長さ
    222ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    PHP研究所
  4. 発売日
    2014/5/15
  5. ISBN-10
    4569818706
  6. ISBN-13
    978-4569818702
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出版社より

4569818706 数　空間

商品の説明

著者について

帝京大学経済学部教授

登録情報

  • 出版社 ‏ : ‎ PHP研究所 (2014/5/15)
  • 発売日 ‏ : ‎ 2014/5/15
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 新書 ‏ : ‎ 222ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4569818706
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4569818702
  • カスタマーレビュー:
    4.1 5つ星のうち4.1 47個の評価

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小島 寛之

小島 寛之

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1958年、東京生まれ。東京大学理学部数学科卒業。同大学大学院経済学研究科博士課程修了。経済学博士。帝京大学講師を経て、同大学准教授。宇沢弘文に 師事し、数理経済学、環境経済学、意思決定理論を専門とする経済学者として旺盛な研究・執筆活動を行うかたわら、数学エッセイストとして活躍。中高生向け の入門書から高度な学術書まで多くの著書を持つ。日本ペンクラブ会員。著書多数(「BOOK著者紹介情報」より：本データは『 無限を読みとく数学入門 世界と「私」をつなぐ数の物語 　(ISBN-13: 978-4044091026)』が刊行された当時に掲載されていたものです)

カスタマーレビュー

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上位レビュー、対象国： 日本

kei
5つ星のうち5.0 社会人の数学
2018年5月5日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
の学び直しに最適です。頭がさびつかないように。トレーニングしませんか
5人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
syntaxsystem
5つ星のうち4.0 かなり難解
2023年3月24日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
本格的に数学を解説する本なので、読み物として読むのには向いてない。一応最後まで通読したがほぼ理解できるところはなかった。
1人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
のぶ爺
5つ星のうち5.0 代数の考え方がわかる
2016年9月28日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
私は、数学愛好家で、あれこれ数学書は読んでいます。
本著は、専門的な知識を前提とせず、代数的な考え方がわかりやすく書かれている。
特に、イデアルは、重要な概念だが、わかりやすい書き方と思った。
10人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
SM Neuron
5つ星のうち4.0 素数、イデアル、ホモロジー、多項式環、数の仕組み等の概念の構造を鳥瞰できる
2021年5月30日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
本書は、
イデアル、有限体、ホモロジー群、スキーム、
といった概念を読者が直観的理解にできるよう、
以下のような形で、その概念を解説する。
　・中学数学の知識で現代数学の本質を理解できる
　・規則作法としての数学を極力避ける

また、以下の問いを投げるといった形で、
数学の諸概念の構造を分解していく。
　・その概念は突き詰めると何か？
　・シンプルに表現すると何か？
　・類似は？同一視から拡張できるか？

数の仕組み（NZQRC）から、素数を図形的に捉える、
図形、集合論的観点を用いながら、
イデアル、同値、合同関係、点集合（同一視）、群環体、
距離空間（ノルム）、トポロジー、多項式環へ、
ザリスキー位相までの概念を昇華させていく。

新しい世界を作りながら、謎を解くといった、
SF小説、推理小説のような思考プロセスを、
本書を通じて体験することができる。
-------------------------------------------------------------------
【対象】
・ザリスキー位相（Specｚ、素イデアルから取り除いた残り）
・周期的に同一視（連結、有効線分、ノード）
・多項式環
　・極大イデアル⇔素数（１点）
　・素イデアル⇔素数、0（既約多項式（分解できない））
　・零点、多項式
　→環Ｒの要素たちを重なりにのないグループに分ける
　→その上でグループどうしの加減乗を定義する
-------------------------------------------------------------------
１章　素数の見方
２章　「同じとみなす」ことで数世界を広げる
３章　図形の「形」を解く計算
４章　「関係性」を代数で捉える
５章　方程式を対称性から見る
６章　整数と多項式は同じ
７章　図形の中の”素数”
８章　空間でないものを空間とみなす
4人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
雑学家
5つ星のうち5.0 可換環とホモロジー論の最高におすすめの名著です。
2015年6月15日に日本でレビュー済み
たいがいの代数学の参考書は抽象的な定義・定理の羅列で無味乾燥で読んでもわかった気がしませんが
本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
高校生の時に円が方程式で表わされることを学んだように、
図形という幾何学的な「対象」を考察するのに代数学的な方法で方程式を調べる。
幾何学的な図形を方程式を使って調べるのが、環というものです。
方程式の「変数」は環の生成元に化け、「方程式」は生成元の交換関係に化けたと解釈する。
モノの対称性をあらわす（適切な）変換全体が群をつくるように、図形上の（適切な）関数の全体が可換な環をつくる。単に集合の1対1かつ上への（対称）変換なら置換群で十分だが、ユークリッド幾何学の図形としての対称性では、ずらし（移動）や回転という変換群を考察することになる。
代数幾何学では幾何と代数で同じ対象を双対的にとらえて考察する。ここでは幾何（図形、つまり代数曲線）＝代数数方程式の解集合としてみる。代数曲線（2次元）、代数曲面（3次元かそれ以上）という幾何的な対象の研究が可換環という代数的対象の研究に帰着される。
平面の2次曲線、空間の球面、超平面などは代数的集合とよぶと
代数曲線や代数曲面をも含んだのがアフィン空間の代数的集合である。
『代数的集合とは有限個の多項式の共通零点の集合である』代数幾何学とはこのような集合の性質を研究することです。
なお可換環の中心概念はイデアルという倍数概念です。
例えば3Zは素イデアル。実際、3Zは自明でないイデアルで、xyが3Zに含まれていたら、xまたはyが3の倍数になるため、xまたはyが3Zに含まれることになる。
しかし6Zは素イデアルでない。これはxyが6Zに含まれているとしてもx=2m、y=3nかつ
mは3の倍数でない、nは2の倍数でない。ｍ＝2，ｎ＝3のとき、xとyはどちらも6Zに含まれない。
このように素（数）イデアルとは素数を拡張した概念といえる。
合同のように同じものを同じと思える感覚が実数体の多項式環をイデアルで割った商環が複素数体と同型、つまり、それらは見かけは全く違うがそこでの和と積の代数構造が全く同じ対応がつくという同型を見抜く数学の感覚が大事。
中村郁先生の「楕円曲線」が商空間を考えると複素数の世界で複素一次元トーラスとして２次元複素射影空間の中にできる。これは実２次元トーラスとして「ドーナツ」の表面だけの「円環面」として図1で表示される。これはリーマン・ロッホの定理などを基礎に証明される代数幾何学の成果である。「楕円曲線」を高次元へ一般化したらアーベル多様体となりアーベル多様体の同型類を整理して並べた集合がモジュライ空間である。モジュライ空間を代数多様体になるよう工夫するのがモジュライ理論という。
超オススメは「数学の本質をさぐる1 集合・関係・写像・代数系演算・位相・測度」石谷茂
「21世紀の新しい数学」黒川と共著も解かりやすい。
可換環の二つ具体的対象物は代数幾何（多項式環）と整数論（代数体の整数環⇒Dedekind環）がある。
ネットで明治大「後藤研究室」の教科書ＰＤＦは必読です。
うれしいことに最近はyou tube動画で「【位相幾何学入門】概念と定義(11)：輪体・境界輪体」
「【数学小話】ホモロジー」や「【位相幾何学入門】ホモロジー群の計算」
：トポロジーと圏論の夜明け 佐野 岳人 | プログラマのための圏論勉強会、23分からトーラスの話が面白い。
　整数・群論・方程式のやさしい解説が沢山あります。
他にも「なっとくする群・環・体」野崎、「ガロア理論の頂を踏む」石井 俊全、「線形代数のコツ」梶原 健が非常にわかりやすいので併読をおすすめします。
21人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
Amazon_太郎
5つ星のうち4.0 代数幾何学をはじめるのに、一読しておくとよい
2021年5月6日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
代数幾何学、あるいは加群の理論の基礎であるイデアルについて、
とりわけ、極大イデアルと素イデアルに違いについてよく書かれています。

両者の違いを語るのに、
1. まず、素数から出発し、倍数的性質により、集合の包含関係における差異を眺め、
2. 代数多様体とイデアルの関係を簡単な例とともにイメージを膨らませた後で、
3. 最後に、極大イデアルと素イデアルの関係性について、端的かつ明白な言葉で図形的差異について述べています。

専門外の学生などにも大変重宝される非常に重要な分野を
一般的な学生にむけて、分かりやすく書かれた素晴らしい文書です。
3人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
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カーマイン
5つ星のうち3.0 数は発見されるものではなく、創り出されるもの
2018年11月2日に日本でレビュー済み
　2014年の本。著者は数学者。素数、図形、写像、方程式、多項式など。
　曰く・・・
　目に見えない図形、ミクロの世界の図形、高次元の図形などを可視化する計算を突き止めるのは、数学のなりわいのひとつ。
　１９世紀に集合の理論が生み出されてから、数は発見されるものではなく、創り出されるものとなった。平方根や円周率、虚数などは特定の数学的操作上であたかも実在しているかのように扱われてきたが、その定義にあいまいさが残っていたため「こうなるべき」と数学者が考える性質を導くことができなかった。
　どんな代数方程式にも解がある。正確に言うと、どんな代数方程式にもそれを解に持つ数世界を創ってしまうことができる。
　などなど。
4人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
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安心してください。個人の感想です。
5つ星のうち4.0 現代数学の考え方を直感的に解説
2015年12月26日に日本でレビュー済み
数学なので、どんなにやさしい解説をしても、言葉と定義を忘れてしまうと読み進められません。決まりごとなので、その用語と役割を分かっていれば、楽しめます。また、できるだけ図を使って解説しているのも、わかりやすいです。ガロア群などの解説はたくさんありますが、イデアルの解説が特徴的でした。
まえがきに、「実際、本書では、イデアル、有限体、ホモロジー群、スキームといった現代数学の。。。。。、数学科に所属しなければ理系の大学生であってもならない類のものである。」とありますが、これらは既に暗号やプログラミング、材料工学などで、理学部以外でも習うものだと思います。ということで、理工系の学生の副読本にいいのでは。
6人のお客様がこれが役に立ったと考えています
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