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ベーシック圏論 普遍性からの速習コース 単行本（ソフトカバー） – 2017/1/29

5つ星のうち4.4 43
すべての形式と版を表示
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圏論はしばしば数学における共通の構成やパターンを浮き彫りにするために用いられてきたが、
数学に分け入っていくほどに圏論での重要な概念である普遍性に出会うことになる。

本書では普遍性の考え方に焦点を当てるため、圏論の最も基本的な内容のほかはあえて割愛した。
圏と関手の基本的な語彙を確立した後、随伴関手、表現可能関手、極限という
三つの異なる普遍性の現れを学び、最後にこれらの関係を解明する。

本書では新しい概念を説明するたびに十分すぎるほどの例を与えてある。
これらの例をすべて理解できる必要はないが、重要なことは、例を通じて
すでに知っている数学と新しい概念を関連づけることである。

演習問題についてはすべて解くことを強く推奨する。
基礎レベルの圏論においては問題文が理解できることは解答を知っていることとほとんど等価であるが、
特に日本語への翻訳にあたり解答を付した。

普遍性の理解を通じて圏論の要点を速習できる一冊。
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  1. 本の長さ
    264ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    丸善出版
  4. 発売日
    2017/1/29
  5. 寸法
    15 x 1.6 x 21 cm
  6. ISBN-10
    4621300709
  7. ISBN-13
    978-4621300701
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  • 出版社 ‏ : ‎ 丸善出版 (2017/1/29)
  • 発売日 ‏ : ‎ 2017/1/29
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 単行本（ソフトカバー） ‏ : ‎ 264ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4621300709
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4621300701
  • 寸法 ‏ : ‎ 15 x 1.6 x 21 cm
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「圏論の基礎」と併読するとよい入門書
5 星
「圏論の基礎」と併読するとよい入門書
私が圏論を意識し始めたのは「新訂版 数理解析学概論」の線型位相空間の章における超関数の構成を読んでいる時だった. この本では超関数の定義域となる線型位相空間Ｄ(Ω)を帰納的極限により定義している. 帰納的極限の定義は図式を描いて理解することができた. ちょうどかつてTwitterのタイムラインでたまに見ていた, 圏論における可換図式だった(この本のレビューに付けている写真を参照).その時から圏論が気になり始めた. そして「新訂版 数理解析学概論」のレビューで圏論の言葉を使った説明を思いついたのでそれを書いてから, 圏論を本格的に学びたくなってきた.森田の「代数概論」の最終章はおまけ程度であり, 必ずしも圏論の概念の本質が分からなかった. インターネットも参考にしたが, 次に読んだのは「圏論 原著第2版」である. しかしこれは日本語訳がひどくて18ページ目で読む気が失せた. 群論においてケイリーの定理というおもしろい定理があること, 関手は可換図式を可換図式に写すこと, のふたつだけは新たに学べたのでそれは良かったが, この本はおすすめできない.結局, 何かと見聞きする本書と「圏論の基礎」を読もうと決めた.本書は説明が初学者向けでありていねいかつ訳注や図式も多く読みやすい. 普遍射が数学のあちこちにあるのがわかる.「圏論の基礎」と合わせて読むと理解が進む. 互いに説明不足を補い合っているように感じる. 圏の定義と例を学んだ後に第３章の集合論について読むのもよいであろう. 離散圏と双対圏と直積圏については「圏論の基礎」のほうがわかりやすい記述もあった.月刊雑誌「数理科学」2007年4月号によると, 圏論は量子力学とも関連があるようである. 私見ではあるが, その記事において「自然な」操作と「双対性」が前半において強調されていることからも, 圏論は量子力学に数学的基礎付けの意味で関連がある. これらは本書でも理解できるように圏論で定式化されているからである.以下, 本書と「圏論の基礎」を読む際にわずかでも参考になった本でおすすめの本を分野別に挙げておく.幾何学:松本「多様体の基礎」松島「多様体入門」代数学:佐武「線型代数学」(特にテンソル積の部分)松坂「代数系入門」(代数学の初歩かつ基礎)森田「代数概論」(特に加群とテンソル積の部分)雪江「代数学2」(特にテンソル積の部分)堀田「代数入門」(代数学の初歩と指標群について)解析学:金子「偏微分方程式入門」(特に超関数のテンソル積)高橋「新版 複素解析」(特にホモトピー同値の説明)北田「新訂版 数理解析学概論」(特に超関数の構成)河添「群上の調和解析」(特に指標群について)集合論:北田「新訂版 数理解析学概論」(特に集合論の公理系と順序数について)位相空間論:内田「集合と位相」森田「集合と位相空間」北田「新訂版 数理解析学概論」位相群について:大島他「リー群と表現論」(特にリー群の定義)
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上位レビュー、対象国： 日本

なるさん
5つ星のうち5.0 簡潔
2021年5月26日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
お気に入りの本。他の分野の復習にもなる。
2人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
SM Neuron
5つ星のうち4.0 圏論の基礎的な概念を理解する
2021年4月18日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
本書は、随伴関手 - 極限に着目することで、圏論の要点を速習し、
「関数が何をするか」を扱う数学的構造の種類を理解する。
　・随伴関手（左随伴、右随伴）
　・表現可能関手（米田の補題、極限創出、保存、余極限）
　・極限

可換図式によって、
数学体系での公理-定理、定理-公理の位置関係が、
より直観的に理解できるようになる。
-------------------------------------------------------------------
memo
圏同値
随伴、充満忠実関手
　・随伴関手の対
　・イデアル商
　・ＫＨａｕｓ→Ｔｏｐ、Ｔｏｐ→ＫＨａｕｓ
　・エピ、モノ射（普遍性、選択公理、半順序）
　・アフィン代数多様体の圏（有限生成k代数の圏の双対）
　・等化子-余等化子、双対
　・完備圏（Ｓｕｐ、終対象、極限）

圏論からの集合論公理
　・トポス
　・well pointed 整列点
　・集合関数と自然数対象
-------------------------------------------------------------------
１章　圏・関手・自然変換
２章　随伴
３章　休憩・集合論について
４章　表現可能関手
５章　極限
６章　随伴・表現可能関手・極限
付録　一般随伴関手定理の証明
-------------------------------------------------------------------
8人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
目玉焼き
5つ星のうち5.0 第3章は読み飛ばしてもいいが…
2020年1月11日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
この本は議論を絞り，圏論の発想法として顕著なものを初学者に向けて説明したものです．
多くの人にとっては，圏は集合と同じくツールであり，研究対象そのものではないですから，「扱い方」を学ぶことが目的となります．その意味で，他の方のレビューにもあるように，この本は優れた誘導を行っていると言えるでしょう．

さて，圏論をツールとして用いるだけなら，第3章は必要ありませんが，他の方のレビューをみるに，少なからず読解力不足による誤解があるようです．
第３章に循環論法などありません．（少なくとも訳者の注釈によっても誘導されています．）
マクレーンがうるさく言っていたように，「数学の基礎づけ」を行う方法論として，圏の発明以後では，公理的集合論（例えばZFC）による方法と，圏による方法のどちらを採用しても現在の数学の形式化を行うのに充分すぎる表現力を持っているということを説明しているのです．
もう少し正確に言えば，標準的な圏論による数学の基礎付けの方法論は，メタ言語として「古典論理の一階述語論理」を，形式の構造を「一階述語論理言語と圏の公理（＋圏の公理によって表現される集合の公理）＋グロタンディーク宇宙」としていますが，公理的集合論による同程度の強さになる基礎づけの方法は，メタ言語は同じく「古典論理の一階述語論理」として，形式の構造を「一階述語論理言語とZFC（＋ZFCによって表現される圏の公理）＋到達不能基数公理」としているわけです．
どちらも現在の数学をその中で展開するのに十分すぎるほど強力な表現力を持っていて，前者・後者のいづれか一つを仮定すればもう一方は導けるわけです．だから，見かけの表現は異なるけれど，どちらを前提にしても構いませんよという意味になります．

公理的集合論を前提として圏論を構成することも当然にできるし，多くの圏論の本でやっているように，（集合論を仮定せずに）圏論から集合論の公理を表現して見せることもできるわけです．
どちらを採用するとしても，集合と圏の両方が与えられたあとは，どちらも自由に用いればいいのです．
31人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
序文とあとがきの人 大類昌俊 (プロフもお読みください)
5つ星のうち5.0 「圏論の基礎」と併読するとよい入門書
2018年11月16日に日本でレビュー済み
私が圏論を意識し始めたのは「 新訂版 数理解析学概論 」の線型位相空間の章における超関数の構成を読んでいる時だった. この本では超関数の定義域となる線型位相空間Ｄ(Ω)を帰納的極限により定義している. 帰納的極限の定義は図式を描いて理解することができた. ちょうどかつてTwitterのタイムラインでたまに見ていた, 圏論における可換図式だった(この本のレビューに付けている写真を参照).

その時から圏論が気になり始めた. そして「新訂版 数理解析学概論」のレビューで圏論の言葉を使った説明を思いついたのでそれを書いてから, 圏論を本格的に学びたくなってきた.

森田の「代数概論」の最終章はおまけ程度であり, 必ずしも圏論の概念の本質が分からなかった. インターネットも参考にしたが, 次に読んだのは「圏論 原著第2版」である. しかしこれは日本語訳がひどくて18ページ目で読む気が失せた. 群論においてケイリーの定理というおもしろい定理があること, 関手は可換図式を可換図式に写すこと, のふたつだけは新たに学べたのでそれは良かったが, この本はおすすめできない.

結局, 何かと見聞きする本書と「 圏論の基礎 」を読もうと決めた.

本書は説明が初学者向けでありていねいかつ訳注や図式も多く読みやすい. 普遍射が数学のあちこちにあるのがわかる.「圏論の基礎」と合わせて読むと理解が進む. 互いに説明不足を補い合っているように感じる. 圏の定義と例を学んだ後に第３章の集合論について読むのもよいであろう. 離散圏と双対圏と直積圏については「圏論の基礎」のほうがわかりやすい記述もあった.

月刊雑誌「数理科学」2007年4月号によると, 圏論は量子力学とも関連があるようである. 私見ではあるが, その記事において「自然な」操作と「双対性」が前半において強調されていることからも, 圏論は量子力学に数学的基礎付けの意味で関連がある. これらは本書でも理解できるように圏論で定式化されているからである.

以下, 本書と「圏論の基礎」を読む際にわずかでも参考になった本でおすすめの本を分野別に挙げておく.

幾何学:
松本「 多様体の基礎 」
松島「 多様体入門 」

代数学:
佐武「 線型代数学 」(特にテンソル積の部分)
松坂「 代数系入門 」(代数学の初歩かつ基礎)
森田「 代数概論 」(特に加群とテンソル積の部分)
雪江「 代数学2 」(特にテンソル積の部分)
堀田「 代数入門 」(代数学の初歩と指標群について)

解析学:
金子「 偏微分方程式入門 」(特に超関数のテンソル積)
高橋「 新版 複素解析 」(特にホモトピー同値の説明)
北田「 新訂版 数理解析学概論 」(特に超関数の構成)
河添「 群上の調和解析 」(特に指標群について)

集合論:
北田「新訂版 数理解析学概論」(特に集合論の公理系と順序数について)

位相空間論:
内田「 集合と位相 」
森田「 集合と位相空間 」
北田「新訂版 数理解析学概論」

位相群について:
大島他「 リー群と表現論 」(特にリー群の定義)
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序文とあとがきの人 大類昌俊 (プロフもお読みください)
5つ星のうち5.0 「圏論の基礎」と併読するとよい入門書
2018年11月16日に日本でレビュー済み
私が圏論を意識し始めたのは「[[ASIN:476870462X 新訂版 数理解析学概論]]」の線型位相空間の章における超関数の構成を読んでいる時だった. この本では超関数の定義域となる線型位相空間Ｄ(Ω)を帰納的極限により定義している. 帰納的極限の定義は図式を描いて理解することができた. ちょうどかつてTwitterのタイムラインでたまに見ていた, 圏論における可換図式だった(この本のレビューに付けている写真を参照).

その時から圏論が気になり始めた. そして「新訂版 数理解析学概論」のレビューで圏論の言葉を使った説明を思いついたのでそれを書いてから, 圏論を本格的に学びたくなってきた.

森田の「代数概論」の最終章はおまけ程度であり, 必ずしも圏論の概念の本質が分からなかった. インターネットも参考にしたが, 次に読んだのは「圏論 原著第2版」である. しかしこれは日本語訳がひどくて18ページ目で読む気が失せた. 群論においてケイリーの定理というおもしろい定理があること, 関手は可換図式を可換図式に写すこと, のふたつだけは新たに学べたのでそれは良かったが, この本はおすすめできない.

結局, 何かと見聞きする本書と「[[ASIN:4621063243 圏論の基礎]]」を読もうと決めた.

本書は説明が初学者向けでありていねいかつ訳注や図式も多く読みやすい. 普遍射が数学のあちこちにあるのがわかる.「圏論の基礎」と合わせて読むと理解が進む. 互いに説明不足を補い合っているように感じる. 圏の定義と例を学んだ後に第３章の集合論について読むのもよいであろう. 離散圏と双対圏と直積圏については「圏論の基礎」のほうがわかりやすい記述もあった.

月刊雑誌「数理科学」2007年4月号によると, 圏論は量子力学とも関連があるようである. 私見ではあるが, その記事において「自然な」操作と「双対性」が前半において強調されていることからも, 圏論は量子力学に数学的基礎付けの意味で関連がある. これらは本書でも理解できるように圏論で定式化されているからである.

以下, 本書と「圏論の基礎」を読む際にわずかでも参考になった本でおすすめの本を分野別に挙げておく.

幾何学:
松本「[[ASIN:4130621033 多様体の基礎]]」
松島「[[ASIN:478531317X 多様体入門]]」

代数学:
佐武「[[ASIN:4785313161 線型代数学]]」(特にテンソル積の部分)
松坂「[[ASIN:4000056344 代数系入門]]」(代数学の初歩かつ基礎)
森田「[[ASIN:4785313110 代数概論]]」(特に加群とテンソル積の部分)
雪江「[[ASIN:4535786593 代数学2]]」(特にテンソル積の部分)
堀田「[[ASIN:4785314028 代数入門]]」(代数学の初歩と指標群について)

解析学:
金子「[[ASIN:4130629034 偏微分方程式入門]]」(特に超関数のテンソル積)
高橋「[[ASIN:4130621068 新版 複素解析]]」(特にホモトピー同値の説明)
北田「[[ASIN:476870462X 新訂版 数理解析学概論]]」(特に超関数の構成)
河添「[[ASIN:4254115512 群上の調和解析]]」(特に指標群について)

集合論:
北田「新訂版 数理解析学概論」(特に集合論の公理系と順序数について)

位相空間論:
内田「[[ASIN:478531401X 集合と位相]]」
森田「[[ASIN:4254115881 集合と位相空間]]」
北田「新訂版 数理解析学概論」

位相群について:
大島他「[[ASIN:4000061429 リー群と表現論]]」(特にリー群の定義)
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箙
5つ星のうち3.0 圏論は初心者お断りの分野であると見つけたり
2024年1月11日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
出てくる用語がよくわからないものばかり。
ある程度数学の知識があって、それを整理するために県論を始めるのであればいいが、学部１年や高校生がやろうとして踏み込むには敷居が高すぎる分野だと思う。
例えば、位相空間や群について知っている必要があるなど、具体例を示されてもよくわからず挫折してしまう。
このような知識の壁があって、ますますこの分野が縁遠いものであることが分かるのである。
分からないには理由があった。
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木村弘一（こういち）
5つ星のうち4.0 具体的普遍には触れていないが、抽象的普遍の抽象方法は万全。
2020年12月11日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
　標記の普遍の２種別に関しては、ヘーゲルの内容論理学を御参照ください。
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JRN
5つ星のうち5.0 普遍性から始めたのは面白い
2019年12月13日に日本でレビュー済み
この本のレビューを見て第3章で陥りやすい誤解があるので一応書きます。

まず集合についての定義において集合圏から一元集合や空集合などの集合を定義しているのではありません。それらが集合の圏を定義するための公理です。
集合論的公理から構成した集合と圏論的公理から構成した集合はだいたい一致しています。
大体というのは圏論的公理の方が集合論的公理に比べて少し弱いためですが基礎論をやっている人以外は気にしなくても十分です。

本書の話をすればこの本が圏論を学べる和書の中で最も分かりやすく、正確に書かれているという事です。
何がわかりやすかというと例が分かりやすいです。
マクレーンの圏論の基礎は圏論を学ぶ事は「手段」であり、「目的」は高度な数学を圏論的に分かりやすく事です。ですので基本はある程度の数学の勉強を積んでいる人を前提としています。
本書は手段と目的が一致しており圏論の考え方をしっかり身につける事が最も大きな課題としています。ですので本書を読んでもマクレーンがスラスラ読めるようになるかと言うと圏論的な部分では確かに読みやすくはなりますが、結局マクレーンの本の目的を達する事は出来ません。

本書の面白いところは速い段階で普遍性の説明をしているところです。
圏論の中でこの普遍性と言うのがどう言うものか掴めるかどうかで理解度が変わってきます。
あまりいい例では無いかもしれませんが、「なぜアダムとイブが人間でありながら有名なのか」を考えたときに他の人間と明かに違うのはこの2人が人類の脈々とつながる歴史の中の初めの人だからです。ですから彼等らどの様な偉業をたてたのか、どの様な人物であったか、また、名前がなんであろうと人類の始まりの人という「普遍性」を持っています。彼等が他のどの人物と根本的に違うのはネットワークの始まりという特徴を有しているからです。つまり彼等の個性ではなく、ネットワークの特徴によって特徴づけられるのです。圏と言うのも射のネットワークであり、そのネットワークの構造上特徴が他のものと異なる特徴を表現するのが普遍性です。よって普遍性によって特徴づけられる対象は圏の中で確固たる地位を得ます。この事を理解する事が圏論での議論を上手に進めるられるために必要な事で、初めにこの部分を解説しているのはとてもユニークです。
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