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イメージ付きのレビュー
難解だが幾何学のおもしろさと基礎がわかる名著
新装版では「(ママ)」という妙な誤植が二箇所以上あるがこちらには見た目ですぐ自力で正しく訂正できる誤植があるのみである. また新装版でも全ての誤植が訂正されてはいない.多様体の初学者向けではなく,「数学ガール/ポアンカレ予想」や「多様体の基礎」を読んで多様体やその微分法に慣れてから, 群と環など代数系の初歩と複素解析の初歩を補いつつ読んでみることをおすすめしたい. 幾何学・代数学・解析学が高度な立場から融合している様子や幾何学のおもしろさが伝わってくる.ユークリッド空間Ｒ^Nの開集合U上のN変数実数値C^2級関数f:U→Ｒが点p∈Uで(▽f)(p)＝0を満たすとき, すなわちpがfの臨界点であるとき, f(p)が極小値であるか極大値であるかどちらでもないかは, pにおけるヘッセ行列(((∂^2)f/(∂x_i)(∂x_j))(p))_(i, j＝1, …, N)が定める対称双一次形式(二次形式:斉次二次関数)H(f, p)のpの近傍U(p)⊆Uにおける符号の変化すなわちH(f, p)(x)＝Σ_(i, j＝1, …, N)((∂^2)f/(∂x_i)(∂x_j))(p)(x_i)(x_j)が正値(⇔ヘッセ行列の固有値が全て正)であるか負値(⇔ヘッセ行列の固有値が全て負)であるか符号不定(⇔ヘッセ行列が正の固有値と負の固有値を持つ)であるか, に対応する. これは点(p, f(p))の近傍においてfのグラフが下に凸の楕円放物面で近似できるか上に凸の楕円放物面で近似できるか双曲放物面で近似できるか, に対応しているからである. これはテイラーの定理による. 特にN＝2の場合はヘッセ行列の行列式(ヘッシアン)のU(p)における符号の変化に対応する. この事実の幾何的な背景を述べるモースの定理を早い段階で知ることができたのはうれしかった. モースの定理を知ってこの事実の理解が深まった. モースの定理は「多様体の基礎」には書かれていない.図は描けないので調べるか「線型代数入門」を参照されたいが, 例えば, 関数z＝f(x, y)についてヘッセ行列が臨界点(x, y)＝(a, b)で固有値が正ゆえに極小であるときz＝f(x, y)のグラフは点(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換することにより下に凸の楕円放物面z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)で近似できる. ここでα, β＞0はfのヘッセ行列の固有値である. 固有値が負ゆえに極大となるときは(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換して上に凸の楕円放物面z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)で近似できる. ここではα, β＜0でありやはりヘッセ行列の固有値である. (a, b)が鞍点, すなわち▽f(a, b)＝0かつfが(a, b)で極大でも極小でもなくヘッセ行列の固有値が0でないときはfのグラフは(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換して双曲放物面z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)で近似できる. ただしαβ＜0である. )数学の専門的な本や多変数関数の微分積分と理論的な線型代数そして位相空間論にも慣れていないと読むのはきついだろうけど, 読み応えがあり「多様体の基礎」では触れられていない多様体のパラコンパクト性に関する位相的構造と幾何的構造・複素多様体・コホモロジー・リー群など現代数学や数理物理学を学ぶ上で重要になっている話題があり参考になる. リーマン多様体の無限小運動は微分方程式論と関係がある.ただ, 自力で直せる程度ではあるが, 関数と関数値を概念上区別しているのに数式では混同している表記がいくつかある. 理解には差し支えなかったが, 私も書き込んで直しながら読んだ.必ずしも分かりやすくはないが, 幾何学を学ぶためには必須の入門書であろう. 私は, 或る複素多様体の計量の一意存在問題をその計量を未知関数とする非線型偏微分方程式の解の一意存在問題として考える理論を理解するため, 本書を参考にしている.「多様体の基礎」を読んでからでないと理解できなかったが, 問と注意と脚注も含めてより基礎的なことや発展的なことが豊富に書いてあり, 読んでいておもしろいと感じる. 数学を本気で学ぼうとする方はぜひ読んでみるといいと思う. きっと数学の見え方が変わるだろう.なお曲線座標系と微分形式とコホモロジーは「解析演習」も参考になる. コホモロジーについては数学セミナー2017年12月号も参考になる. なお幾何学の概念については数学セミナー2018年12月号も参考になる.本書から直接つながる偏微分方程式の本として「１階微分方程式」を挙げておく.
上位レビュー、対象国： 日本
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2018年10月21日に日本でレビュー済み
新装版では「(ママ)」という妙な誤植が二箇所以上あるがこちらには見た目ですぐ自力で正しく訂正できる誤植があるのみである. また新装版でも全ての誤植が訂正されてはいない.
多様体の初学者向けではなく,「[[ASIN:4797384786 数学ガール/ポアンカレ予想]]」や「[[ASIN:4130621033 多様体の基礎]]」を読んで多様体やその微分法に慣れてから, 群と環など[[ASIN:4785314028 代数系]]の初歩と[[ASIN:4254117590 複素解析]]の初歩を補いつつ読んでみることをおすすめしたい. [[ASIN:4254116179 幾何学]]・[[ASIN:4000056344 代数学]]・[[ASIN:476870462X 解析学]]が高度な立場から融合している様子や[[ASIN:4563006629 幾何学]]のおもしろさが伝わってくる.
ユークリッド空間Ｒ^Nの開集合U上のN変数実数値C^2級関数f:U→Ｒが点p∈Uで(▽f)(p)＝0を満たすとき, すなわちpがfの臨界点であるとき, f(p)が極小値であるか極大値であるかどちらでもないかは, pにおけるヘッセ行列(((∂^2)f/(∂x_i)(∂x_j))(p))_(i, j＝1, …, N)が定める対称双一次形式(二次形式:斉次二次関数)H(f, p)のpの近傍U(p)⊆Uにおける符号の変化すなわち
H(f, p)(x)＝Σ_(i, j＝1, …, N)((∂^2)f/(∂x_i)(∂x_j))(p)(x_i)(x_j)
が正値(⇔ヘッセ行列の固有値が全て正)であるか負値(⇔ヘッセ行列の固有値が全て負)であるか符号不定(⇔ヘッセ行列が正の固有値と負の固有値を持つ)であるか, に対応する. これは点(p, f(p))の近傍においてfのグラフが下に凸の楕円放物面で近似できるか上に凸の楕円放物面で近似できるか双曲放物面で近似できるか, に対応しているからである. これはテイラーの定理による. 特にN＝2の場合はヘッセ行列の行列式(ヘッシアン)のU(p)における符号の変化に対応する. この事実の幾何的な背景を述べるモースの定理を早い段階で知ることができたのはうれしかった. モースの定理を知ってこの事実の理解が深まった. モースの定理は「多様体の基礎」には書かれていない.
図は描けないので調べるか「[[ASIN:4130620010 線型代数入門]]」を参照されたいが, 例えば, 関数z＝f(x, y)についてヘッセ行列が臨界点(x, y)＝(a, b)で固有値が正ゆえに極小であるときz＝f(x, y)のグラフは点(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換することにより下に凸の楕円放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ここでα, β＞0はfのヘッセ行列の固有値である. 固有値が負ゆえに極大となるときは(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換して上に凸の楕円放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ここではα, β＜0でありやはりヘッセ行列の固有値である. (a, b)が鞍点, すなわち▽f(a, b)＝0かつfが(a, b)で極大でも極小でもなくヘッセ行列の固有値が0でないときはfのグラフは(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換して双曲放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ただしαβ＜0である. )
数学の専門的な本や[[ASIN:4000298755 多変数関数]]の[[ASIN:4320015533 微分積分]]と理論的な[[ASIN:4785313013 線型代数]]そして[[ASIN:478531401X 位相空間論]]にも慣れていないと読むのはきついだろうけど, 読み応えがあり「多様体の基礎」では触れられていない多様体のパラコンパクト性に関する位相的構造と幾何的構造・複素多様体・コホモロジー・リー群など現代数学や数理物理学を学ぶ上で重要になっている話題があり参考になる. リーマン多様体の無限小運動は[[ASIN:4007307377 微分方程式論]]と関係がある.
ただ, 自力で直せる程度ではあるが, 関数と関数値を概念上区別しているのに数式では混同している表記がいくつかある. 理解には差し支えなかったが, 私も書き込んで直しながら読んだ.
必ずしも分かりやすくはないが, 幾何学を学ぶためには必須の入門書であろう. 私は, 或る[[ASIN:4000058800 複素多様体]]の計量の一意存在問題をその計量を未知関数とする[[ASIN:4535784388 非線型偏微分方程式]]の解の一意存在問題として考える理論を理解するため, 本書を参考にしている.「多様体の基礎」を読んでからでないと理解できなかったが, 問と注意と脚注も含めてより基礎的なことや発展的なことが豊富に書いてあり, 読んでいておもしろいと感じる. 数学を本気で学ぼうとする方はぜひ読んでみるといいと思う. きっと数学の見え方が変わるだろう.
なお曲線座標系と微分形式とコホモロジーは「[[ASIN:413062105X 解析演習]]」も参考になる. コホモロジーについては[[ASIN:B07K14LZVB 数学セミナー2017年12月号]]も参考になる. なお幾何学の概念については[[ASIN:B07K14LZVB 数学セミナー2018年12月号]]も参考になる.
本書から直接つながる偏微分方程式の本として
「[[ASIN:4007309361 １階微分方程式]]」
を挙げておく.
多様体の初学者向けではなく,「[[ASIN:4797384786 数学ガール/ポアンカレ予想]]」や「[[ASIN:4130621033 多様体の基礎]]」を読んで多様体やその微分法に慣れてから, 群と環など[[ASIN:4785314028 代数系]]の初歩と[[ASIN:4254117590 複素解析]]の初歩を補いつつ読んでみることをおすすめしたい. [[ASIN:4254116179 幾何学]]・[[ASIN:4000056344 代数学]]・[[ASIN:476870462X 解析学]]が高度な立場から融合している様子や[[ASIN:4563006629 幾何学]]のおもしろさが伝わってくる.
ユークリッド空間Ｒ^Nの開集合U上のN変数実数値C^2級関数f:U→Ｒが点p∈Uで(▽f)(p)＝0を満たすとき, すなわちpがfの臨界点であるとき, f(p)が極小値であるか極大値であるかどちらでもないかは, pにおけるヘッセ行列(((∂^2)f/(∂x_i)(∂x_j))(p))_(i, j＝1, …, N)が定める対称双一次形式(二次形式:斉次二次関数)H(f, p)のpの近傍U(p)⊆Uにおける符号の変化すなわち
H(f, p)(x)＝Σ_(i, j＝1, …, N)((∂^2)f/(∂x_i)(∂x_j))(p)(x_i)(x_j)
が正値(⇔ヘッセ行列の固有値が全て正)であるか負値(⇔ヘッセ行列の固有値が全て負)であるか符号不定(⇔ヘッセ行列が正の固有値と負の固有値を持つ)であるか, に対応する. これは点(p, f(p))の近傍においてfのグラフが下に凸の楕円放物面で近似できるか上に凸の楕円放物面で近似できるか双曲放物面で近似できるか, に対応しているからである. これはテイラーの定理による. 特にN＝2の場合はヘッセ行列の行列式(ヘッシアン)のU(p)における符号の変化に対応する. この事実の幾何的な背景を述べるモースの定理を早い段階で知ることができたのはうれしかった. モースの定理を知ってこの事実の理解が深まった. モースの定理は「多様体の基礎」には書かれていない.
図は描けないので調べるか「[[ASIN:4130620010 線型代数入門]]」を参照されたいが, 例えば, 関数z＝f(x, y)についてヘッセ行列が臨界点(x, y)＝(a, b)で固有値が正ゆえに極小であるときz＝f(x, y)のグラフは点(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換することにより下に凸の楕円放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ここでα, β＞0はfのヘッセ行列の固有値である. 固有値が負ゆえに極大となるときは(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換して上に凸の楕円放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ここではα, β＜0でありやはりヘッセ行列の固有値である. (a, b)が鞍点, すなわち▽f(a, b)＝0かつfが(a, b)で極大でも極小でもなくヘッセ行列の固有値が0でないときはfのグラフは(a, b, f(a, b))の近傍で必要なら変数変換して双曲放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ただしαβ＜0である. )
数学の専門的な本や[[ASIN:4000298755 多変数関数]]の[[ASIN:4320015533 微分積分]]と理論的な[[ASIN:4785313013 線型代数]]そして[[ASIN:478531401X 位相空間論]]にも慣れていないと読むのはきついだろうけど, 読み応えがあり「多様体の基礎」では触れられていない多様体のパラコンパクト性に関する位相的構造と幾何的構造・複素多様体・コホモロジー・リー群など現代数学や数理物理学を学ぶ上で重要になっている話題があり参考になる. リーマン多様体の無限小運動は[[ASIN:4007307377 微分方程式論]]と関係がある.
ただ, 自力で直せる程度ではあるが, 関数と関数値を概念上区別しているのに数式では混同している表記がいくつかある. 理解には差し支えなかったが, 私も書き込んで直しながら読んだ.
必ずしも分かりやすくはないが, 幾何学を学ぶためには必須の入門書であろう. 私は, 或る[[ASIN:4000058800 複素多様体]]の計量の一意存在問題をその計量を未知関数とする[[ASIN:4535784388 非線型偏微分方程式]]の解の一意存在問題として考える理論を理解するため, 本書を参考にしている.「多様体の基礎」を読んでからでないと理解できなかったが, 問と注意と脚注も含めてより基礎的なことや発展的なことが豊富に書いてあり, 読んでいておもしろいと感じる. 数学を本気で学ぼうとする方はぜひ読んでみるといいと思う. きっと数学の見え方が変わるだろう.
なお曲線座標系と微分形式とコホモロジーは「[[ASIN:413062105X 解析演習]]」も参考になる. コホモロジーについては[[ASIN:B07K14LZVB 数学セミナー2017年12月号]]も参考になる. なお幾何学の概念については[[ASIN:B07K14LZVB 数学セミナー2018年12月号]]も参考になる.
本書から直接つながる偏微分方程式の本として
「[[ASIN:4007309361 １階微分方程式]]」
を挙げておく.
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