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コンピュータは数学者になれるのか? -数学基礎論から証明とプログラムの理論へ- 単行本 – 2015/2/24

照井一成 (著)

22

すべての形式と版を表示

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数学の完全なシステムを構築しようとしたヒルベルト。
その「不可能性」を明らかにしてしまったゲーデルやチューリング。
一方で、その「可能性」の限界に挑んだもう1人の天才ゲンツェン・・・・・。
彼らの格闘は、現代のコンピュータ科学でも再演される。

「不完全性定理」「無矛盾性証明」「P対NP問題」など、
現代数学の核心を最新アップデートしたうえで徹底解説、
さらには近年注目の人工知能の話題にまで架橋する野心作。

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本の長さ

357ページ
言語

日本語
出版社

青土社
発売日

2015/2/24
寸法

13.8 x 2.3 x 19.6 cm
ISBN-10

4791768515
ISBN-13

978-4791768516
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登録情報

出版社 ‏ : ‎ 青土社 (2015/2/24)
発売日 ‏ : ‎ 2015/2/24
言語 ‏ : ‎ 日本語
単行本 ‏ : ‎ 357ページ
ISBN-10 ‏ : ‎ 4791768515
ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4791768516
寸法 ‏ : ‎ 13.8 x 2.3 x 19.6 cm

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場野量子

どこまでならコンピュータは賢くなれるのだろうかーー証明のダイナミズム

2015年7月20日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

排中律と無限集合は相性が悪い，つまり両方を野放図に使うとパラドックスを生じてしまう．それでも，どちらも数学的命題証明にとって捨てがたい大切なものだ．ここに数学基礎論が生まれた．比喩的に言えば，ここから見える範囲では白か黒かがはっきりしているが，地平線のかなたにはグレイゾーンが広がっている．そこでその地平線だったところまで行ってみると，ちゃんとその周りは白黒がはっきり見える．だがまたそこからの地平線の彼方には新たなグレイゾーンが広がっている．どこまで行っても完全な決着はつかないよというのがゲーデルの不完全性定理であり，決着のつく範囲をちゃんととらえようというのがゲンツェンの無矛盾性証明だ．この両面からの数学的論理構造のとらえ方を，コンピュータのプログラムに移し替えて，「証明＝プログラム」を実現しようというのが，本書のタイトルの「コンピュータは数学者になれるか？」という問いである．答えはまだない．
著者の照井氏は数理論理学の専門家である．本書は一般読者向けの啓蒙書のはずで，世俗的な比喩をたくさん織り交ぜて理解を助けるようずいぶんと配慮されている．とはいっても論理式がきちんと書かれていて，たんに教養として読もうという読者にはちょっとハイレベル過ぎる．専門的術語や記号が盛りだくさんにでてくるので，とてもじゃないが記憶しきれない．「本書」と「読者」を形式化してコンピュータに入力し，「読者が本書を理解できるか」と問うと，多分「Yes」と出力してくるだろう．だがそれは原理的な答えで，「じゃ実際どのようにしたらわかるのか」と聞いても教えてくれない．著者に直接尋ねたら，「それはNP問題でしょうな」という返事が返ってくるかも．

13人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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yamaks

全部がつながっていることが明快にわかる

2015年10月11日に日本でレビュー済み

Amazonで購入

ゲーデルやP=NPなどの話はいろいろな本に書いてあるものの、全部を並べてこれほどまとめて解説している本は今まで出合ったことがありません。大変に勉強になり、改めてこの分野に興味を持ちました。

6人のお客様がこれが役に立ったと考えています

役に立った

θ

凝縮された「数学基礎論の到着点」

2015年4月4日に日本でレビュー済み

ゲーデルの不完全性定理に代表される数学基礎論。
ゲーデルの結果があまりに有名すぎて「否定的結果ばかり与えるもの」「不完全性定理でもう終わった分野？」という誤解さえあるであろう。
本書は、数学基礎論の興味深い結果とその発展のエッセンスを見せてくれる稀有な本である。

多くの教科書だと、定義や基礎的な補題に時間をとられ過ぎて、当たり前な操作を形式的にやっているだけで、非自明な結果になかなかいきつかないことも多い。
本書は一般書なので、厳密な定義や完全な証明は省いており、そのため数学基礎論の美味しい部分に素早くたどり着けるようになっている。
もっとも多くの一般書とも違い、定義部分は可能な限りきちんと書いて説明しており、また書き方は数学書にかなり近いので、ささっと読み飛ばそうとする読者は第１章の時点で早々にふるい落とされるであろう。

１章でペアノ算術やヒルベルト・プログラムぐらいまでを概説し、２章でいきなり対角線論法を軸に据えた内容に入る。
タルスキの真理述語の定義不能性定理、チューリングの停止問題、そして有名なゲーデルの第一、第二不完全性定理が概観される。

この部分が有名すぎるために数学の「出来ない面」ばかりが取り上げられてしまうが、筆者はゲーデルの結果はゲンツェンの結果と裏表で理解すべきという。
第３章では超限順序数を紹介し、ヘラクレス・ヒドラ問題、ゲンツェンの無矛盾性証明に触れていく。
超準解析の導入には、多くの本で用いられるフレシェ・フィルターによる方法ではなく、公理的に無限大を導入する方法をとっている。
ペアノ算術に超限帰納法さえ認めれば、ペアノ算術の体系の無矛盾性が証明できること（ペアノ算術は紙一重のところまで無矛盾性証明ができるのだ！）、ゲンツェンのゲーデルの両方を組み合わせることで体型の強弱比較ができること、というのは重要なメッセージである。

次の４章では計算量理論が取り上げられる。
NP完全問題はもとより、相対化による対角線論法でのP≠NPの証明の（ほぼ）不可能性、多項式階層の話など、かなり高度な話題まで取り扱われている。
続く５章ではラムダ計算、カリー・ハワード対応、クライゼルの無反例解釈といった、構成的プログラミングの方向の話題が紹介されていく。

話の選び方、書き方は非常にうまいと思う。
決定・反決定の説明での合格発表の例や、超限の国でいくらでも買い物ができるかという話など、数学者は好まなそうな比喩による分かりやすい説明も行われている。

なお、話題の選び方は「コンピュータが証明をする」という流れに沿わせて選ばれているので、重要そうだけどこの流れに沿わない話題は取り扱われていない。
例えば一階述語論理の完全性定理には言及がなく（そもそも二つの「完全」の意味の違いの説明がない）、実閉順序体の完全性は扱われていない。
超限帰納法はグッドスタイン列が具体例では一番わかりやすいと思っているが、この流れだと紹介しにくいためか、もう少し見た目わかりにくいアッカーマン関数の形で取り上げられている。
もっとも、この厚さの本にあれもこれもというのは求めすぎであろう。

とにかく２章と３章の対比が素晴らしく、数学基礎論の魅力を伝えることに成功していると思う。
それと比べると４章、５章がそれぞれやや単体で浮いている印象も受けるが、全体としてよく書けていることには変わりない。
数学基礎論をこれから学びたい人が、学ぶことによってどういう面白い世界が見れるのか、を先に知っておくのには本書に代わる本はないであろう。

48人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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ファイヤアーベント

機械学習よりも数学基礎論！！

2019年11月8日に日本でレビュー済み

流行りの機械学習を勉強してみて、物足りなさを感じる人におすすめ。

本書にて、「人工知能」とコンピュータの関係を考えるための基礎体力が身につくはずだ。

コンピュータには何ができて何ができないのか、そして、それを数学はどのように規定しているのか。そして、数学者が数学することとは何なのか。

数学者とコンピュータは、数学能力の運用面で圧倒的な差がある。数学を通して、人とコンピュータの違いが見えてくる。

数学という知性の物語を存分に楽しめる一冊。

1人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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koukou

数学基礎論の最初に読むべき本

2018年11月4日に日本でレビュー済み

日本語で書かれた数学基礎論の読み物として最高傑作だと思います。私は数学を応用する立場の工学系の人間で、数学基礎論の重要性は承知しているものの、なかなかこの分野の正規の教科書をちゃんと通しで読むことができませんでした(ツン読状態)。本書は読み物ですが、人工数学者を作ると言ったキャッチーなテーマを軸に難解な内容であっても、読者を飽きさせずに、理解をさせようとする工夫が随所に溢れており、非常に良心的な本だと感じました。読了後、更に深い内容を知りたくなり、この分野の教科書に再チャレンジしたくなりました。

3人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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idealizable

面白くて、内容もそれなりにしっかりしてるが、致命的なミスで台無し。

2016年5月20日に日本でレビュー済み

啓蒙書、読み物としては面白い。
内容もそれなりにしっかりして、勉強にもなる。

しかし、致命的かつ初歩的なミスにより台無しである。
著者は一貫して、公理と推論規則を混同している。

これでは、数理論理学の入門者を混乱させてしまうことになる。
早急に修正すべきであろう。

3人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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niryuu

数理論理学「概論」

2015年3月6日に日本でレビュー済み

　数理論理学は「数とは何か」という興味深い話題を整然と説明し，「数学をする」ことにあたる証明を形式化し，コンピュータが何をやっているかという「計算」に基礎を与えるといったように，非常に広い範囲にわたる分野である．しかし，この豊饒な分野を実際に最初からやるとなると，一般的な工学部では命題論理や述語論理をやって終わり，数学・情報科学分野だと完全性定理，不完全性定理に触れてそのあとは応用として計算可能性理論，計算論などに移行していくといったところだろうか．なんというか普通のカリキュラムで最初に触れるのは非常に狭い世界なのである．
　本書は，数理論理学の扱う広い範囲について(気持ちのある)高校生でもわかるようにわかりやすく解説し，なおかつ一定程度の厳密性で数学的な論証を試みている．とはいえ論理学者が書いているもののため，「飛ばさないでちゃんと内容のつながりを追わないとわからなくなる」という点で，専門書ではないものの数学書の書き方であるように感じる．その意味で「啓蒙書」「読み物」の域を超えているだろう．数理論理学をやっている人は気難しい印象にあり，このようなレベルの本が出たことは非常にまれなことであると思う．
　と言った点で，数学に興味のある大学初年度の学生や人類にはこれを「概論」としておすすめしたい．もちろん，理学部・工学部などで「数学」「情報」を扱う場合基礎訓練として厳密な計算問題で苦しむのは必要である．しかし，それとともにこのあまり触れない数理論理学の世界を知り，数学や計算について広い展望を身につけたならば，良い考え方の基礎になるだろう．さらに関心を持ったならば，巻末に「文献一覧」があるのでそれに載っている本を買って苦しんで欲しい．

53人のお客様がこれが役に立ったと考えています

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