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浜名 誠
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チューリングを読む コンピュータサイエンスの金字塔を楽しもう 単行本 – 2012/6/11

5つ星のうち4.4 12
すべての形式と版を表示
■コンピュータと数学の限界に答えを出す!
イギリスの数学者アラン・チューリングは1936年に、「計算可能数とその決定問題への応用」という
論文を発表しました。後に「チューリング機械」と呼ばれる想像上のコンピュータが初めて示された論文です。
チューリング機械は有限個の状態をとれる機械がテープのマス目を読み書きするだけのたいへん単純な機械です。
それは計算することの原理的な仕組みと限界を明らかにするための機械でした。

驚くべきことに、あらゆるチューリング機械は一つの整数で表すことができます。そのことは、計算可能な数の
全体が可算無限個であり、連続体をなす実数全体のうちのほんの一部でしかないということを意味しているのです。

さらにチューリングは、テープ上の記号の複写や消去といったチューリング機械の動作のいわばサブルーチンを
組み合わせて、あらゆるチューリング機械の動作を模倣できる「万能機械」を構成しました。万能機械は今日のコン
ピュータの原型のようなものです。この観点から見ると、一切のデジタルコンピュータはチューリング機械の実用版
なのです。

チュリーングはこの論文で、「機械がいつかゼロを印字するかどうかを決定する一般的な方法はない」ことを示します。
そして、ヒルベルトが提示した「決定問題」という数学的な問題をこの問題に帰着させました。すなわち、ヒルベルトの
提起した決定問題は解けないということです。チューリングの結論は「解けない問題はない」という当時の数学者たちの
信念を打ち砕き、(当時はまだ存在していなかった)コンピュータと数学の限界を示すものでした。チューリングの定理は
コンピュータサイエンスの金字塔として今も燦然と輝いています。

本書はチューリングの「計算可能数とその決定問題への応用」の原論文を楽しむためのガイドブックです。原論文をゆっ
くりと、逐一注釈していきます。原論文を理解するために必要な数学的な準備や、戦争の時代を生きたチューリングの波乱の
生涯にもたっぷりとページを割いて話を進めていきます。
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  1. 本の長さ
    612ページ
  2. 言語
    日本語
  3. 出版社
    日経BP
  4. 発売日
    2012/6/11
  5. ISBN-10
    4822283720
  6. ISBN-13
    978-4822283728
  7. すべての詳細を表示
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商品の説明

著者について

『CODE コードから見たコンピュータのからくり』(日経BP社)など
プログラミング分野の書籍を多数執筆。

登録情報

  • 出版社 ‏ : ‎ 日経BP (2012/6/11)
  • 発売日 ‏ : ‎ 2012/6/11
  • 言語 ‏ : ‎ 日本語
  • 単行本 ‏ : ‎ 612ページ
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 4822283720
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-4822283728
  • カスタマーレビュー:
    5つ星のうち4.4 12

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浜名 誠

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上位レビュー、対象国： 日本

hachi8833
5つ星のうち5.0 数論の基礎と歴史も概観できる良書
2022年12月19日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
最初この本を借りて読みましたが、電子書籍で書い直しました。
チューリングの論文を詳しい解説つき（さらに原論文のミスの修正もあり）で読めるのが素晴らしいです。チューリングマシンと万能チューリングマシンの違いをこの本で知りました。

同書の素晴らしい点はもうひとつあり、それが第1部「基礎」です。チューリングの問題意識がどこにあったのかを読者と共有するために、第1部をまるまる費やして数論の基礎を高校生でも理解できるように丁寧に解説していて、本編に匹敵する価値があると思います。しかも数論にまつわるエピソードや歴史までしっかり盛り込まれていて、数学読み物としても優れています。基礎知識はチューリングの論文を理解するのに必要十分なものに絞り込まれており、虚数や微積分や線形代数については扱っていないので、読者に余分な負担を強いません。

全国の高校の図書館に常備したい書籍です。
5人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
大和谷 潔
5つ星のうち4.0 数学基礎論の金字塔を楽しもう
2013年11月6日に日本でレビュー済み
ペゾルドの著作の多くは『 プログラミングWindows 』をはじめ実践的な技術書です。
その一方で、計算の原理を実装と概念の両面から解説する基礎論的な書物も著しています。
現代のコンピュータと同等の計算能力をもつ機械を、『 CODE 』(評価=☆☆☆☆☆)では導線と鉄棒と電池から組み上げ、本書では紙上の記号操作規則として定義できることを紹介します。

【1-3章】
本書はチューリング23歳時の論文"On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem"(1936年)およびそのcorrection(ともにネットで無料取得可)の注解です。
タイトルを訳せば「計算可能数とその決定問題への応用」。
その意味は当時の数学基礎論の文脈のもとで理解されます。

かつて数学の対象は自然数や実数に限られ、それらを実在の集合として素朴に受け入れていました。
しかし無限集合論と 数理論理学 の進展をうけて、任意に定義された集合を安易に扱うわけにはいかないことが明らかとなります。
確かに存在すると認められる集合を、確かに正しいと認められる手順で扱うことで、数学を確かな基礎の上に築きたい。数学の哲学が模索されました。

たとえば、集合の要素が満たす性質を公理として列挙し、その公理群から矛盾が生じないことをもって存在の根拠とする公理論的立場があります。
あるいは、0={},1={{}},2={{{}},{}},...と 自然数を空集合から構成できる ように、明確に定めた手順で生成できる集合のみを認める生成論的立場もあります。
そして本論文の「計算可能数」とは、チューリングが「計算」と定義する手続きによって生成される数の集合を指します。

数学の多くの問題は集合への所属を判定する問題として表現できます。
その確実な手順を求めるのが「決定問題」です。いわば問題の解き方に関する問題です。
たとえば、解をもつ方程式の集合をPとするとき、任意の方程式eがPの要素か否かを判定する手順、つまり、方程式が解けるか否かの判定手順(≠解を導出する手順)を求めることは一つの決定問題です。
本論文は、「確実な手順」を「機械による計算」と読みかえ、論理式が証明可能か否かの判定手順を求めよという決定問題に対し、「そのような手順は存在しない」という解答を与えました。

【4-6章】
4章から15章までが論文の解説です。
まず、人の計算行為を抽象化した概念としてチューリング機械を導入します。
この機械は、ハードコードされたプログラムにしたがって、空白も含めた記号列を左右に移動しながら読み書きします。(以下、機械とプログラムを同一視します。)
πや√2などの数を計算し書き出すプログラムを定義できます。
これらは、それぞれの数に対して個別に定義される専用の機械です。

【7-9章】
さらに、あらゆる専用機械を模倣できる汎用の機械を考えます。
まず、専用プログラムを一つの数へ変換する符号化の手順を示します。
そして、任意のプログラムMの符号を与えればそれを解読してMと同様に数を書き出すプログラムを定義します。
これを万能機械と呼びます。

【10-11章】
これらを道具として取り組むのが、「与えられた数がなんらかの数(=計算可能数)を出力する機械の符号であるか否か判定する手順を求めよ」という決定問題です。
チューリングは、そのような手順を実行する機械Cを仮定すると矛盾が生じることを証明しました。
その手法は、カントールの手法とゲーデルの手法を組み合わせたものでした。

計算可能数を列挙して数字を一桁ずつ抜き出し合成した数として数pを定義します。
計算可能数から計算されるpもまた計算可能数でしょうか？
そうならば、pを計算するにはp自身の値が必要で、計算できず、矛盾。
でなければ、そのような問題は生じず、pは計算できてしまい、矛盾。
このように矛盾を引き起こすpの定義を認めることはできません。

機械Cを仮定すれば、万能機械と組み合わせて、pの定義に対応する機械を構成できます。
すると、pの循環的定義から生じる矛盾を、pを計算する機械の再帰的動作から生じる矛盾に写すことができます。
つまり機械Cは存在しません。
こうして、先の決定問題に対して「そのような手順は存在しない」という答えが得られます。

【12-14章】
機械の動作を判定するこの決定問題を、論理式の証明可能性を判定する決定問題に対応させます。
すると、任意の論理式についてそれが証明可能か否か判定する手順は存在しないことが分かります。
(ゲーデルの 不完全性定理 が問題にするのは証明の有無であり、証明の有無を判定する手順の有無を問う決定問題ではないことに注意。)

【15章】
同様の結果は、実はチューリングの直前にチャーチが ラムダ計算 をもちいて証明済みでした("An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory")。
このためチューリングは論文に付録を追加し、ラムダ計算で表現できる数と、チューリング機械が出力できる数が一致することを示しています。

【16章】
訂正補足小論文。

【17-18章】
チューリング後の展開。

-----

本書は一般向けの体裁ですが、チューリング論文は専門家向けの論文です。
ペゾルドは細かく解説を挟み込んでいますが、そのために流れが寸断してしまうこともあって、とくに分かりやすいとは言えません。
事前に『 オートマトン言語理論 計算論 』などの教科書で整理された解説を読んでおいた方がよいでしょう。
本書が読めるならば、このような専門的な教科書も読めると思います。
16人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
Amazon Customer
5つ星のうち5.0 読みやすい本です
2022年3月3日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
数学史と共に書かれていてサクサクと理解が進みます。論文のある単位毎に解説があり、読みやすいです。
役に立った
 レポート
むむむ
5つ星のうち5.0 名著
2018年10月17日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
この本は数学の面白さを改めて教えてくれた名著です。
チューニングの論文を読み解くのに、その背景となる数学理論を歴史的な推移とともに、実にうまくストーリ立てて語っていて、
ポイントを丁寧に解説していくのがかなりワクワクして面白い。
それでも自分の根気のなさで、論文の最後の方の理解の途中で挫折してしまっている。本書はまだ読破していない。
しばらくしたらまたチャレンジしたい。
4人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
jm
5つ星のうち2.0 内容は非常に良い．訳が本当にひどい．
2023年4月6日に日本でレビュー済み
レビュータイトルに尽きます．意味が取れなかったり話のつながりがぎこちなかったりして，原文と突き合わせてみたら明らかな誤訳だった，というのが本当に何度もありました．数学の専門用語を間違って訳している部分がありましたし，単純に英語が読めていないところも少なくありません．ざっくり内容がつかめればそれで良いという場合は日本語のほうが読みやすくて良いと思いますが，Turing の論文をきちんと理解したい場合は，原書 "Annotated Turing" を読むことをお勧めします．原書の内容が非常に良いだけに，本当に残念でなりません．
11人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
まげ店長
5つ星のうち5.0 分厚いけど初学者にも読みやすい
2012年8月4日に日本でレビュー済み
現在、決定問題の第13章まで読みきりました。
この位まで来ると 数学の基礎 (シュプリンガー数学クラシックス) などクリアーしてからの方がいいような匂いが漂ってきます...

チューリングマシンについての説明をしてくれる本は今までにも本当にたくさん出てますが、
ここまで分かりやすくしつこいくらいに丁寧に教えてくれる本は初めて出会いました。
テープ・ヘッドのイラストと、標準記述・ｍ配置などの用語も踏まえて、原論文を少しづつ
抽出して直後に解説を加えていくという方法でしっかりと読み込んで行けば着いていけると
思います。
後半はいよいよ決定性問題に入るので数理論理学の世界に入るようで、非常に楽しみです。
カントール、ゲーデル、ヒルベルト、チャーチ…
（読みきったらコメントを改訂する予定ですが時間がかかりそうなので備忘録的にレビューをアップしました）
やや問題なのはチューリングマシンの言語というか方法論が非常に頭の中ではエミュレート
しにくい物なので、知ってる高級言語で置き換えていく復習作業が必要になると痛感してます。
私の場合はPrologかCとかなら読めるので C言語による計算の理論 (Computer Science Library) で復習作業に入ります。
（本当はPrologでそういう本があれば嬉しいんですが…　探してみましょうか...）
そういう意味で、何らかのプログラミング経験があった方が読みやすいのでしょうか？？？

チューリングといえばエニグマ暗号機を解読したブレッチリー・パークに居た事は有名です。
かなりさらっとですが、その頃の話も載ってます。
チューリング自身に興味があるものの数学的評価については知らない方も、軽い気持ちで読んでみてください。
とにかく分厚いので、分からなかったら適当に飛ばして行くのもアリだと思います。
また戻ればいいのです。
33人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート
emc
5つ星のうち5.0 必読です！
2013年3月20日に日本でレビュー済み
チューリングとチューリングマシンに関心のある人なら、初心者にも研究家にも必読の書だと思います。
まず恐ろしく詳しい！　原論文をこれほど詳しく解説した本はまず間違いなく他にないでしょうし、
彼の人生や数学基礎論全体に至る話まで、とても幅広く、かつ巧みに織り交ぜた構成になっています。
それにしても彼の論文はこんなにへんてこりんなものだったのですね。
昔国会図書館から原論文のコピーを取り寄せて挫折したのですが、これじゃあ初学者は挫折して当然、と思いました（笑）
些末なテクニカルな部分は端折って読んでも構わない、むしろ話の本筋を押さえるには端折った方がいいと思います。
17人のお客様がこれが役に立ったと考えています
役に立った
 レポート