この『偏微分方程式』でまず印象に残るのは、110~115頁の、ゴムひもを三分の一のところでつまみあげてとめた偏微分方程式を、なぜフーリエ級数展開で解きあかせるのか説明しているところです。
変数分離法が成立するとして、そのゴムひもの振動を〈波長をモジュールとした位置をきめる関数〉と、〈周波数をモジュールとした位相をきめる関数〉の積にかえているのがわかります。でもそのふたつの積が、もしも足し合わされる前のたったひとつの項しかないのだとしたら、初期条件を復元することはできない（“初期条件をみたさない（113頁）”）のだ、と説明されます。
そして、“最初の１次元波動方程式は線形の（この２文字、赤丸ドット）偏微分方程式なので、適切な係数をかけられるその各項が解ならばその無限１次結合も解になる”として、フーリエ級数展開による解の重ね合わせで、初期条件の復元が可能になることが示されています。
同シリーズの『フーリエ解析』ではゴムひもを二分の一のところでつまみあげてとめた偏微分方程式を例としていますが（同書185頁）、こっちの『偏微分方程式』の方を先に読んだからそう感じるのかもしれませんが、三分の一でつまみあげてとめた例の方がわかりやすいように思います。
130頁からはじまるフーリエ変換による１次元熱伝導方程式の求め方も印象的で、最初の熱分布の初期条件がδ関数状態であるとき（133頁上）、下り階段関数状態であるとき（133頁下）、最後に台形状態のとき、がつぎつぎと提示されます。
私はやがて、こうした熱分布の初期条件（≒初期状態）を、砂の城に置き換えて読むようになりました。
だれでも、海岸の濡れた砂でお城をつくったことはあるでしょう。
136頁では、“初期条件が与えられれば、その解が求まるんだね（この18文字、赤丸ドット）。そして実際にフーリエ変換と逆変換を使って…”、要するに適切な初期状態をあらわす関数と、適切な偏微分方程式があれば、子供のときにつくった砂の城はたしかに崩れてしまってはいるのだけれど、復元が可能で、その記憶はけっして遠いものではない、と奇妙な感慨にふけるようになりました。
“シャルピーの解法”や、“一般論としてのグリーン関数”は難しくてとてもわからないけれど、読みどころのたくさんある、すばらしい本だと思います。
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