一時的に復活中。
2008-08-24
■[UO][人狼][雑記]人狼ロジックメモ
以前考えたことについての備忘録。
(というより、うおみんからの転載)
番目の村人の視点で、
番目の選択肢を選んだときの村の利得を
、
番目の村人の視点で、
番目の配役予想の確率を
、
番目の選択肢を選んだときの、
番目の配役予想での村側の利得を
とすると、
ただし、とする。(確率の規格化)
なお、各村人視点に対しては次式が成立する。(のとき)
例
A,B,C,D,Eの5人でゲームをしたとき。
配役バランスは、狼1,狂1,祈0,牧1,村2である。(配役公開)
期限は5日目朝までとしている。
自分はEで牧師である。(視点限定: テンソルの階数を減らし、説明を簡単にするため)
また、部屋割りは2人部屋から作り、独房ありとする。
1日目部屋割り
A→B(AがBを指名)
C→D
E(独房)
2日目朝
B,Dが死亡
A,Cはそれぞれ、「自殺された」と主張している。
このとき、A,Cのどちらかが狼であり、どちらかが村人である。
その確率はほぼ半々であると言える。
このときのリンチ時の選択の利得を考える。
村が完全に勝利する場合、利得を1、
狼が完全に勝利する場合、利得を-1となるようにする。
まず、配役の可能性は全部で以下の2つだけである。
次に、利得を計算する。
村側の選択肢は全部で4つ。
これらの選択肢を選んだときの利得について考える。
Aリンチ(選択肢1)
Aをリンチしたとき、村人は勝てるだろうか。
Aが狼だったら勝てる、Cが狼だったら負けるということになる。
つまり、となる。
Cリンチ(選択肢2)
Cをリンチしたとき、村人は勝てるだろうか。
Cが狼だったら勝てる、Aが狼だったら負けるということになる。
つまり、となる。
Eリンチ(選択肢3)
Eをリンチしたら、A,Cどちらが狼であっても、村側が負ける。
つまり、となる。
割り(選択肢4)
投票順がEが最後となってしまった場合有効となるが、他の投票順の時は選べないかも？
2日目夜に狼が牧師Eを噛んだとき勝つことが出来る。
その確率はほぼ半々とする。(半々とする: 厳密にはやや村側有利と考えられるが、ここでは割愛致します。)
とすると、A、Cどちらが狼であっても、リンチ後の時点ではイーブンと思われる。
つまり、となる。
以上により、利得行列は次のようになる。
すると、リンチ後の利得は以下のように書ける。
従って、
各選択肢に対する利得は次のように計算できた。
よって、Eリンチでは確実に村が負けるが、それ以外の選択肢はイーブンである。
以上。
長いメモ。
