cactusman日誌 このページをアンテナに追加 RSSフィード

2007-06-02

[][]ライプニッツ*1

証明というか導出を。

y=¥tan(x)

xはラジアン

x=¥arctan(y)

arctanはtanの逆関数という意味。

arctan微分関数を求めには

¥frac{dx}{dy}=¥frac{1}{¥frac{dy}{dx}}

という逆関数微分定理を使う。tanの微分

¥frac{d}{dx}¥tan(x)=¥frac{1}{¥cos^2(x)}

から

¥frac{d}{dy}¥arctan(y)=¥frac{1}{¥frac{1}{¥cos^2(x)}}=¥frac{1}{1+¥tan^2(x)}=¥frac{1}{1+y^2}

無限等比級数の和の公式を用いて右辺を級数展開する。

¥frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+¥cdots ¥quad (|r|<1)

r=-x^2とすると

¥frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+¥cdots

両辺を区間[0,x]で積分すると左辺はarctan、右辺は

x-¥frac{x^3}{3}+¥frac{x^5}{5}-¥frac{x^7}{7}+¥cdots=¥sum^¥infty_{n=0}¥frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}

とあらわせるので、まとめると

¥arctan(x)=¥sum^¥infty_{n=0}¥frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} ¥quad (|x|<1)

という公式が導ける。x=1を代入すれば

¥arctan(1)=¥frac{¥pi}{4}=1-¥frac{1}{3}+¥frac{1}{5}-¥frac{1}{7}+¥cdots

となる。

収束が悪いのは式を良く見ればわかるはず。

それにしてもこの¥TeXは使いにくいというか見づらいな・・・。

はてなmimetexというのを使っているみたいだけど、もうちょっと使いやすくならないかな。

[][]マチンの公式

ライプニッツ級数はあまりにも収束が悪いので、手軽にもっといいのを提示してみる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%81%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

マチンの公式はライプニッツ級数と同様にarctanを用いているが、こちらのほうが収束がかなりいい。

単に¥piを計算して求めるなら、こっちを使うほうがいい。

¥piを計算する方法はこれだけでなく、モンテカルロ法や台形則等がある。

むしろ、モンテカルロ法や台形則のほうが一般的かと。

*1グレゴリオ級数とも呼ばれている