燈明日記 このページをアンテナに追加 RSSフィード

ごあいさつ

燈明日記へようこそ!!

燈明日記の主なテーマは、以下の通りです。

そして、燈明日記へ来られたのも『私』と『あなた』の何かのご縁です。なので、どうぞごゆっくりご覧下さい!


2010/9/22(水)

[] H22.10一般昼追の都立職業能力開発センター試験数学問題

実は、9月16日に都立職業能力開発センター試験を受けました。

(追記:今日、合格通知がきましたよ! とりあえず、やったー!)

この試験は、国語15問と数学15問を合わせて30分で行います。

レベルは、小学校高学年レベルから徐々に難しくなって中学卒業レベルまでの問題が並んでします。


で、国語の漢字書き取り問題は、殆んど書けませんでした(泣)。

また、数学の文章問題も30分以内では、ほとんど、出来なかったのですが、家で復習したので、ここにメモしときます。

尚、解答は間違っている場合も十分ありますので、ご了承ください。



(1) Xについての1次方程式 aX - 4 = X + 2の解が2であるとき、aの値を求めなさい。


aX - 4 = X + 2でXに2を代入

a2 - 4 = 2 + 2

a2 - 4 = 4

a2 = 4 + 4

a2 = 8

a = 8/2 = 4


(2) 大人と中学生と小学生、合わせて40人で動物園に行きました。それぞれ1人あたりの動物園の入園料は、大人500円、中学生200円、小学生100円です。入園料の総額が7100円であり、小学生の人数が21人であるとき、大人の人数を求めなさい。


とりあえず、大人の人数をx、中学生の人数をy、小学生の人数をzとします。

すると、

x + y + z = 40

500x + 200y + 100z = 7100

zは21なのでこれを代入します。

x + y + 21 = 40

500x + 200y + 2100 = 7100

x + y = 19

500x + 200y = 5000

この連立方程式を解くと

500x + 200y = 5000

200x + 200y = 3800

300x = 1200

x = 12 / 3 = 4



(3) 立方体のさいころを2個同時に振ったとき、出た目の和が8になる確率を分数で求めなさい。


1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

2つのサイコロででるパターンは6*6で36パターンです。

8になるパターンは 2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2の5パターンです。

よって確率は 5/36かな?



(4) 1辺の長さがXcmの正方形があります。この正方形の縦の辺を2cm、横の辺を4cmそれぞれ伸ばしてできた長方形の面積が、もとの正方形の面積の3倍になりました。もとの正方形の面積をもとめなさい。


(X + 4)(X + 2) = 3X^2

X^2 + 6X + 8 = 3X^2

0 = 2X^2 - 6X -8

0 = 2(X^2 - 3X - 4)

0 = 2(X - 4)(X + 1)

よって、X = 4で、面積は 4*4 = 16cm^2



(5) 右図の四角形ABCDで∠A=90°、∠B=75°、∠C=60°です。AB=AD=6cmのとき四角形ABCDの面積を求めなさい。

f:id:chaichanPaPa:20100922093812j:image

まず、三角形ABDの面積を求めます。

6 * 6 / 2 = 18cm^2

つぎに、辺DBを求めます。

BD^2 = 6^2 + 6^2 = 72

BD = √72

また、三角形BCDは、30°60°90°の三角形なので辺の長さの比は 1:2:√3です。

よって、CD : BD は 1 : √3 = CD : √72で、CDは、√24です。

つぎに、三角形BCDの面積を求めます。

BD*CD/2

√72*√24/2 = 12√3cm^2

四角形ABCDの面積は、三角形ABD + 三角形BCDなので

18 + 12√3cm^2

2010/9/21(火)

[] 長方形を折った時にできる三角形の面積の求め方

H21.4の都立職業能力開発センター試験の問題です。

全く解からなかったで、OKWaveで質問をして教えていただきました。

以下に転記させて頂きます。


問題:

E、Fを折り目として、点Aが点Cに重なるよう右図のように折りました。

このときの△CEFの面積を小数で求めなさい。

(AD辺が8cm、AB辺が6cm)


回答:

図形にAFの補助線を引いて考えてください。

A点とC点を重なるように折った時、線分AFは線分CFと一致するので

AF=CF

また、BF=BC-CFより

BF=8-CF

三角形ABFを考えると

ピタゴラスの定理より

AF^2=AB^2+BF^2

AF=CF、BF=8-CF、AB=6を代入

CF^2=6^2+(8-CF)^2

  =36+(CF^2-16CF+64)

CF=25/4

よって△CEFの面積は

6*(25/4)/2=75/4=18.75


ポイント:

以下の2つに気がつけば、後は、ピタゴラスの定理で解けますね!

  • AF=CF
  • BF=8-CF

2010/9/13(月)

[] 3つのサイコロで異なる目が出るパターンの数

問題:

3つの立方体のさいころを同時に投げるとき、出た目の数字が全て異なる確率を分数で求めなさい。


回答:

すべての出るパターンは、3つのサイコロなので 6*6*6 で 216 です。

異なる目が出るパターンは、1〜6の内から3つ取り出した順列なので 6P3 で 120 です。


よって確率は、『異なる目が出るパターン』/『すべての出るパターン』なので 120/216 です。

120/216を約分して、5/9が答えです。


(尚、都立職業訓練の平成20/10の筆記試験数学)で出題された問題です)

2010/9/11(土)

[] 5-√3の少数部分とは?

問題:

5-√3の少数部分を x としたとき、(x+2)^2 の値を求めなさい。

回答:

まず、√3は、『人並みにおごれや』で、1.7320508なので、

   -2 < -√3 < -1

    3 < 5-√3 < 4

5-√3は、3より大きく4より小さい数値です。したがって、3.x です。

なので、5-√3の少数部分の x は、3.xの整数部の3を引けばいいので、以下のようになります。

   x = (5-√3)-3 = 2-√3

あとは、2-√3を(x+2)^2の x に当てはめて計算すると答えは、19-8√3です。


(尚、都立職業訓練の平成20/4の筆記試験数学)で出題された問題です)

2008/12/9(火)

[] ルートの通分?

今日、家に帰ったら、次男に聞かれて、小一時間苦戦したルート計算の問題です。

この式は、なぜこうなるの?

(2-√3)/5 + 5/(2-√3) = (52+24√3)/5

これ、通分で(2-√3)(2-√3)/5(2-√3) + 5*5/5(2-√3) にすると泥沼にはまっていく・・・。

で、小一時間考えた末、閃いたのは、5/(2-√3)に(2+√3)/(2+√3)を掛ければ、分母が整数の1になる!!


◆解答

(2-√3)/5 + (5/(2-√3))*((2+√3)/(2+√3))

(2-√3)/5 + (5(2+√3)/((2-√3)(2+√3)))

(2-√3)/5 + (5(2+√3)/1)

(2-√3)/5 + (10+5√3)

(2-√3)/5 + 5(10+5√3)/5

(2-√3)/5 + (50+25√3)/5

(52+24√3)/5

2008/11/2(日)

[] 正弦定理で解く

前回、ピタゴラスの定理を使って解きましたが、今回は正弦定理を使って解いてみます。


◆問題

『三角形でA角が45度、B角が75度、C角が60度で、BCの長さが√6のとき、ACの長さを求めよ』

f:id:chaichanPaPa:20081012220524j:image


◆ツール

正弦定理:

三角形の各辺BC ,AC ,AB と各角A ,B ,C の間には正弦定理という以下の関係があります。

BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC

加法定理:

sin(α+β) = (sinα*cosβ)+(cosα*sinβ)

sin cosの各値:

sin30°= 1/2

sin45°= 1/√2

cos30°= √3/2

cos45°= 1/√2


◆解答

BC/sinA = AC/sinB 

√6 / sin45°= AC / sin75°

AC = (√6 * sin75°) / sin45°

AC = (√6 * sin(30°+ 45°)) / sin45°

AC = (√6 * ((sin30°* cos45°) + (cos30°* sin45°)) / sin45°

AC = (√6 * (1/2 * 1/√2 + √3/2 * 1/√2 ) / (1/√2)

AC = (√6 * ((1+ √3)/2√2)) / (1/√2)

AC = (√6 * (1 + √3)) / 2

AC = (√6 + √18) / 2

AC = (√6 + 3√2) / 2 

◆答え

AC = (√6 + 3√2) / 2

ピタゴラスの定理で解いた答えと一致した(ホッ)。

2008/10/13(月)

[] ピタゴラスの定理・三角関数・ルート計算方法

大学受験の次男から、この問題、教えてくれと言われ、全く分からなかったのが以下の問題です。


『三角形でA角が45度、B角が75度、C角が60度で、BCの長さが√6のとき、ACの長さを求めよ』

f:id:chaichanPaPa:20081012220524j:image

この問題を解くには、学生時代からの時間(約35年間)が経ちすぎていて、3つのツール(ピタゴラスの定理、三角関数、ルート計算方法)をすっかり忘れていたのです。


なので、この問題を解く前に、この3つのツールを復習します。


ピタゴラスの定理(三平方の定理とも呼ばれる)

直角三角形で、一番長い辺(c)の長さの2乗は、他の2辺(aとb)の長さの2乗の和に等しい。

詳しくは、『ピタゴラスの定理』で検索してみてください。

とりあえず、以下の公式だけは、暗記してください。

c**2 = a**2 + b**2

ちなみに『**』はべき乗です。

三角関数

sin-サイン・cos-コサイン・tan-タンジェントのことです。

詳しくは、『三角関数』で検索してみてください。

とりあえず、以下の値だけは、暗記してください。

sin30°= 1/2

sin45°= 1/√2

sin60°= √3/2



ルート計算方法基本

√a * √b = √ab

√a + √b != √a+b

要は、√記号の中では、掛け算と割り算は整数と同じようにできるけど足し算と引き算はできないの・・・です。


ここからは、上記3つのツールを使って、当初の問題を解いていきます。

f:id:chaichanPaPa:20081013075158j:image

まず、図のようにBからDのような垂直線を引きます。

はじめにCDの長さをyとして求めます。

まず、三角形の3つの角の和は、必ず180°になります。(実はコレすら忘れていた)

ですので、B角は、180°- (90°+ 60°) と 180° - (90°+ 45°)で 30°と45°に分かれます。

y/√6 = sin30°

y/√6 = 1/2

y = √6/2


つぎにBDの長さをxとして求めます。

√6**2 = (√6/2)**2 + x**2

x**2 = √6**2 - (√6/2)**2

x**2 = 6 - 6/4

x**2 = 24/4 - 6/4

x**2 = 18/4

x = √18/√4

BDは二等辺三角形ABDの二等の一辺なので、BDとADはイコールです。

したがって

AC = y + x

AC = √6/2 + √18/√4

AC = √6/2 + 3√2/2


最終的な答え(あっているかな・・・)

AC = (√6 + 3√2) / 2


尚、今回は、ピタゴラスの定理をツールとして、解きましたが、別ツール正弦定理を用いても解く事ができます。

正弦定理での解答については、次回につづきます。たぶん・・・。