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老兵は黙って去りゆくのみ

2015-11-23

じじぃの「人の死にざま_1604_アル・フワーリズミー(数学・天文学者)」

06:06

数学ミステリー白熱教室 第2回 「数の世界に隠された美しさ〜数論の対称性〜」 動画 Dailymotion

http://www.dailymotion.com/video/x3gmvpv

 アル・フワーリズミー

アラブを代表する偉人イスラムが誇る数学の天才、アル・フワーリズミー Ecomアラビア語ネット

アル・フワーリズミーは、9世紀のイラクバグダッドで活躍していたイスラム科学や数学の学者の名前です。なんと、理系用語でよく使われる「アルゴリズム」という名前は、アル・フワーリズミーから来た名前なのですよ!

http://ja.myecom.net/arabic/blog/2013/10163/

フワーリズミー ウィキペディアWikipedia)より

アル=フワーリズミー(Al-Khwarizmi)ことアブー・アブドゥッラー・ムハンマド・イブン・ムーサー・アル=フワーリズミーは、9世紀前半にアッバース朝時代のバグダードで活躍したイスラム科学の学者である。アッバース朝第7代カリフ、マアムーンに仕え、特に数学天文学の分野で偉大な足跡を残した。

中央アジアのホラズム(アラビア語でフワーリズム)の出身で、フワーリズミーの名は、「ホラズム出身の人」を意味するニスバ(通称)である。生没年は諸説あり、780年あるいは800年の生まれ、845年あるいは850年の没とされる。

計算の手順を意味するアルゴリズム (Algorithm) やオーグリム (augrim) という言葉はこの書の冒頭 Algoritmi dicti (フワーリズミーに曰く) に由来する。

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数学ミステリー白熱教室 第2回「数の世界に隠された美しさ〜数論の対称性〜」 2015年11月20日 NHK Eテレ

【講師】エドワード・フレンケル(カリフォルニア大学バークレー校教授)

幾何学」という分野に対称性という概念が登場することは図形を観察すれば何となく理解できる。

しかし、数とは何かを探る「数論」という分野にも見えざる対称性が存在し、それが「ラングランズ・プログラム」を理解するのに重要だという。

数論の対称性に着目し、ある難問にアクロバット的な解決を与えたのが19世紀フランス数学者エヴァリスト・ガロアだ。 ガロアは20歳の時、決闘で亡くなる前夜に、ろうそくの明かりの下で、驚くべきブレークスルーとなる発見を手紙にしたため、数学のあり方に革命を起こした。

http://www.nhk.or.jp/hakunetsu/math/detail02.html

11月20日 NHK Eテレ 数学ミステリー白熱教室 第2回「数の世界に隠された美しさ〜数論の対称性〜」 より

これは2次方程式だ。

ax2 + bx + c = 0

2次方程式の解はアル・フワーリズミー著作に記されていた。8〜9世紀のアラビアの数学者だ。1200年ほども前だ。

ちなみに、いくつかの公式はさらに遡ること600年ほど前のギリシャ哲学者ディオファントスも知っていたという。

アル・フワーリズミーの本はその後の数学に大きな影響を与えた。

ソビエトでは、アル・フワーリズミーの生誕1200年の記念切手が発行された。

本のタイトルに含まれる入れ替えに関係するアルジャブルというアラビア語だ。ここから代数学の語源になった。

アルゴリズミと間違って発音された。彼の名前もアルゴリズムの語源になった。

3次方程式が見つかるまでにはそこから700年経った。

ax3 + bx2 + cx + d = 0 の解が示された。

これはラジカル(累乗根)を含んでいる。カルダーノの公式だ。

これは大スキャンダルだった。この公式はイタリアのデル・フェッロが発見した。当時の数学者競争相手があるので発表しなかった。勝負で勝つためだ。相手にこれを解け、といって解けなかったら負けだ。

タルタリアも解の公式を得ていた。タルタリアは秘密の公式をカルダーノに漏らした。話がうまいペテン師。誰にも言わないという約束で。4年は約束を守ったが、デル・フェッロに見せてもらった。

タルタリアのは公表しないが、デル・フェッロのを公表すると、アルス・マグナという本を書いた。代数の根本という副題。

タルタリアは激怒した。残りの人生を私が発見したと言ってまわることに費やした。

そして、そのカルダーノの弟子、フェラーリ。4次方程式の解の公式を発見した。そのフェラーリがタルタリアを破滅させる。カルダーノとの勝負を望んだが、弟子のフェラーリとタルタリアが勝負したのだ。

フェラーリの圧勝だった。タルタリアは職を失った。

では、5次方程式に解の公式はあるのか? 6次方程式以上では?

しかし、300年もの間解けなかった。最終的にエヴァリスト・ガロアがそのような公式が存在しないと証明した。

ガロアは20歳の時、決闘で亡くなる前夜にろうそくの明かりの下で、驚くべきブレークスルーとなる発見を手紙にしたため、数学のあり方に革命を起こした。

たまたま、4次方程式までは存在した。ラッキーだった。

では、どのように証明したのか?

ガロアは真正面から解かずに、ハッキングした。

5次方程式 ax5 + ・・・ = 0

解の公式を見つけようとしたのではなく、問題を読み替えた。

あなた方はやり方を間違っている。方程式の答えを探そうとしているがそうではなく問うべきことは、方程式の解の対称性とは何か?ということだ。

解の対称性は解を知らなくてもわかる。

x2 = 2 の解、√2と-√2の2通りあるが、これを入れ替えても同じだ。

ガロア群は2つの物体の入れ替えに等しい。

3次方程式は3つの物体の入れ替えの群、4次方程式は4つの物体の入れ替えの群だ。

ガロアのひらめきは、方程式の解の公式を累乗根で書けるか?というのは方程式の群の構造を調べればわかる、というもの。

入れ替えの群がその特性を持つかに等しい。

2個、3個、4個の入れ替えには存在するが、5個以上では存在しない。

問題をハッキングしたことで、300年間わからなかったことを明らかにした。

ところで、学校では数学の授業であの公式を覚えなさい、この公式を覚えなさいと言われる。方程式の解の公式もそんなものの1つ。学生はガロアの功績をありがたいと思うだろう。

数学とは公式と計算を覚えるだけではない。概念と考え方を学ぶものだ。

ガロア群がいい例になっている。

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