はてなダイアリー - debedebeの日記

■フィボナッチ数列の一般化が複素関数な件

フィボナッチ数 - Wikipedia

これで第n項が計算できるんですけども。

後ろにある-φっつーのがまあ負の数なわけで、負の数が整数じゃない数でべき乗されると虚数が出てくるんですね。

だからたとえばフィボナッチ数列の第2.5項ってのを考えると、これは実数ではないと。

フィボナッチ数列が一見実数上にある簡単なものに見えて、連続的な関数として捉えるとやつは複素関数に居て、その関数のごくごく一部分(入力が整数の場合のみ、と考えればこれは実数上の点点でしかない)のみを切り取って、「なんだこいつら全部整数じゃん」と思っているにすぎないと思うとなかなか身が震えてくる。

階乗がガンマ関数の一部分に過ぎないのを知ったときと同じ感動を覚えている。

これはあれかな。実数入力をz軸にとって、出力の実部と虚部をx軸とy軸にとると螺旋になるのか。で、x軸と交わっているところだけとると、きれいにフィボナッチ数列と。

■フィボナッチ数列の一般化が複素関数な件　続き

プロットしてみたんですけどこれはどうも螺旋ではないですね！！

複素数平面にプロットしてみると、実部は単調増加、虚部はプラスにいったりマイナスにいったりと振れつつも、その振幅はだんだんと小さくなっていくものになりました。

MATLABで描いたので明日にでもここに貼ります。

どこで勘違いしたんだろう・・・？？

■フィボナッチ数列の一般化が複素関数な件　さらに続き

実軸正方向に歪んだ螺旋のようですね

いろいろとグラフを描いたので貼っておきます。

横軸が実部、縦軸が虚部です。一般式の値はnを媒介変数としたこんなグラフになります。

nを負にまで伸ばしてみるとこのようになります。

一般式中の√5を√4=2にしてみるとこうなります。くるくる加減が増えています。

√3にするとこう。螺旋の実軸正方向へのゆがみは、項数にしたがって増え、かつ式中のφが大きくなると増え方が大きくなる、これは式を変形すれば出るんでしょう、たぶん。

横軸がn、縦軸が一般式の実部です。nが整数のときちゃんとフィボナッチ数列の第n項になっています。あと単調増加じゃないです。

横軸がn、縦軸が一般式の虚部。