小学校の掛け算の授業では、順序に意味があるらしい。

「1皿に3個のケーキがある。5皿で全部でケーキは何個か?」


という問題に対して、1皿あたりの量が3個で5皿分と考えれば、3×5=15個が正解で、5×3=15はだめだというのである。その理由を解説しているページとして、例えば次のようなものが挙げられる。

かけ算の式は「1つ分の数」×「いくつ分」の順に書く約束になっているので、問題文から正しく読み取って、そのとおりに式に書けるようにしましょう。

小学校の算数では、式の意味を理解することが大切なので、このような約束があります。

簡潔である。5×3だと、1皿に5個が3皿分ということになるのだという理屈である。この種の質問はいろいろなところで応酬があるらしく、例えば

この質問掲示板にある応答がいろいろな情報を含んでいるように思われる。

小2で習う掛け算に、かける数とかけられる数、が出てきますが、学校では文章問題で、先に来るのがかけられる数、後に、かける数がくることに徹底しています。

我が家の主人が、そんなものは聞いたことがない、高学年の算数や数学で、かけられる数もかける数もどっちだって答えは同じなんだから、いいんだ。どこの参考書にそんな事が書いてあるんだ、AXB=BXAだ、学校の先生が間違っている、おまえも嘘を言ってるだけだ、と申しています。。子供にもそんな調子で教えるので、子供もどっちが正しいのかと疑問を持ち始めてきました。学校では、5+5+5は、5が3回かけられている事である、ということを徹底し、特に文章問題では、5X3でなければXになってしまうのです。主人には、どのように説明をすれば、分かってもらえるのでしょうか。単位がかけられる数に相当する、かける数が数、に相当する、と説明すればいいのでしょうか。自習ノートなどのO付けを主人にお願いすると、逆でももちろんOにしてしまうので、結局先生から再度Xをもらい、帰ってくることもあり、困っています。主人は理数系卒、40歳近くです。かけられる数もかける数も習った記憶はないそうです。強気に、学校の先生も、教科書通りに合わせる私にも、おまえらが間違いだ、と言ってのけるのですが、この人に理解できるような説明ができる方がいらっしゃいましたら、よろしくお願いいたします。

という質問に対して、「意味が違うのだから順番を徹底しなければならない」と主張する答えが多数寄せられている。

かけざんの導入のところでは

「1あたりの数×いくつぶん」という部分はとても大切な部分。

いわゆる「かけざんの概念」です。

理数系の方ほど、どうも計算の方に走ってしまって、その意味などどうでもよくなってしまって、本来子どもに伝えたい「かけざんの意味」についてなど伝えなくてもいいと思ってしまう方が多いですね。

理系に不当な非難を浴びせている部分は失笑ものだが、重要な主張は、「掛け算の順番には意味がある」ということであり、この主張の主要な根拠は

「1あたりの量」×「いくつ分」=「総量」

という式に当てはめて立式しなければならないということだ。また順番の徹底は、より進んだ単元で「単位あたりの量」を考える際、混乱しないために必要だとの話も出てくる。

とにかくこうした主張をする人たちは例で話したがる傾向にあるようで、ついには5本耳のウサギの話も登場する展開になる。

「ウサギが5匹。耳は全部でいくつ?」という問題に対して

2×5と書けば2本耳のウサギが5匹だが、5×2と書くと5本耳のウサギが2匹という「意味」になるのだ。

かけ算の式は「1つ分の数」×「いくつ分」の順に書く約束になっているので、問題文から正しく読み取って、そのとおりに式に書けるようにしましょう。

小学校の算数では、式の意味を理解することが大切なので、このような約束があります。

というコメントを書いた人がどのくらい内容を理解して書いているのかはわからない。「約束」ということと「意味」ということの峻別はこの場合決定的であり、ここを取り違えると、

掛け算の順番などどちらでも良いと主張すること=掛け算の意味を理解していない

という倒錯が生じることになる。上の書きぶりは、そうした倒錯を助長しかねない悪質なものである。

質問掲示板での返答の中では、本来は「約束」であったはずのものが、いつの間にか「概念」という言葉にすりかえられているかのようだ。

「意味を理解していない」ことへの糾弾は時として行き過ぎる。上の返答のように、あたかも理系が掛け算の意味を理解していないかのような非難。

また別の記事では、

  • 掛け算の原則。

それは、「A×B=C」という場合、AとCの単位が一致していること。

この理屈を壊すと、モノの考え方自体が崩壊してしまう。

(その理由説明まではさすがに割愛させてもらうが。)

  • 「A×B=Cも、B×A=Cも、どっちだって一緒じゃん!」

という40歳男性の主張、

人はそれを「ミソもクソも一緒」の考え方と呼ぶ。危険かつ野蛮な発想である。

  • 大切なのは「論理的思考」なのです。

そこから逃げようとするヤツこそが、

ミソクソ一緒の強引な主張を展開し、力技で自己を正当化するものと確信しています。

コトは算数だけの問題じゃなく、国語力であり、

ひいては総合学力や教養までをも蝕む。

  • 小さな「どっちだっていいじゃん」精神が積み重なる恐ろしさを

再認識してみるのもいいんじゃないかしらね。

といった極論も出てくる。順番を徹底することが「意味を理解すること」であり、「論理的思考」なのだという。「約束」と「意味」の取り違えは決定的である

他方、単位の問題ということに着目してみると、これは簡単なようで結構ややこしい。先ほどの掲示板の返答の中に次のようなものがある。

足し算や引き算はすべての項で単位が同じ、掛け算や割り算はすべて単位がそろうことはない。とくに掛けられる数と掛ける数の単位は同じではないということですね。(面積のときはどちらも長さであって同じように見えますが、縦成分の長さと横成分の長さということで、まったく同じ性質の長さではない=ベクトルの考え方も必要、ということを意識させたいと思いますが、これは2年生では無理でしょう)。

 単位を常に意識しないと、単位が違うのに足し算や引き算を立式する、などのとんでもない間違いをおかしますね。とくに、理科の分野で顕著に見られる間違いと思います。

「違う長さ」とか「ベクトル」とか、意味不明である。この返答では、皿と個をかけて個になることへの「違和感」はまったく無視されている。1あたりの量ということを単位でかけば、[個/皿]となるわけで、

こうしたことを小学生にどこまで正確に伝えられるかは難しい。

これはいろいろな「量」というもののもっている「性質」、例えば内包量と外延量の問題などとも絡んでいる。

しかし、こうした指摘と掛け算の順序の問題とは、率直に言ってあまり関係がないと思う。

また、遠山啓による「水道方式」との絡みで、掛け算の順序というものが教育上どういう意味があるかといったことは

その1その2その3

などが参考になりそうである。

先の問題でミカンの個数を求めるのに、かけ算の順序に意味がないのは、教室の中に並べられている机の数を計算するのに、縦の列×横の列でも、横の列×縦の列でもどちらでも良いのと同様であると書いている。ミカンの個数を求める問題が、実は人そのものは無関係で、人の前に、縦6列・横4列に並べてあるミカンの個数を求める問題と同質であることを分からせることの重要性を説いているのだ。人は、その縦の列の前にラベルとして着いているに過ぎないと考えれば、それが人であろうと皿であろうと、問題の本質とは無関係であり、さらに、そのラベルが、縦の列にあろうと横の列にあろうと、ミカンの個数に変わりがないことに、その本質がある。

より一般的で普遍性のある問題から特殊なものへ、という流れで教えることで、子どもは多様な問題への対応が容易になるという発想

といった観点は傾聴に値すると考える。

また、教育という観点からは、田崎晴明氏による指摘

リンゴが 12 個あります。3個ずつわけると、何人に分けられるでしょう?

のときは、3の段を唱えて、3X1=3,3x2=6,3x3=・・・と進めば良いわけですが、

リンゴが 12 個あります。3人に同じ個数だけ分けます。一人何個もらえますか?

をやるときは、ローカルルールによれば、「なんとかかける3」をやらなくてはダメなので、1x3=3,2x3=6,3x3=,・・・と進まなくてはならないことになってしまいます。これは、限りなくナンセンスで、実際、わり算を教えるときは、そういうことはしないようです。どちらの問題でも同じ「12わる3」なので、同じように3の段を順に唱えて求めます。

たしかに、「リンゴの数と皿の数には本質的に違う意味がある」ことは算数的に納得するべきなのだと思います。しかし、それを無理矢理、かけ算の順序という記号法に押し込んでしまうことで、(子供たちに一時的に強制的に考えさせることに成功しても)結局は首尾一貫しない教育をやることになってしまうのだと思っています。

も面白い。これらの分析は、「掛け算の順序」を意味あるものとして徹底しようと考える人々にとってのひとつの有力な反論ではあろう。そして算数教育を考える上での重要な指摘であろう。

今回、僕がここに記すのはもっと皮相浅薄な観点である。(でも簡単に検索した限りでは、このような皮相浅薄な批判をしている人は見かけなかったので、書いておく価値もあるのではと思っている。)

「掛け算の順序に意味がある」と考える人たちは、なによりもまず

「1あたりの量」×「いくつ分」=「総量」

「いくつ分」×「1あたりの量」=「総量」

とに意味の違いがあるのかどうか

を考えてみるべきだと思うのだ。

結論的にいって「意味の違い」はない。1皿あたり3個を3[個/皿]という1あたりの量とみて、

3[個/皿]×5[皿]=15個と5[皿]×3[個/皿]=15個に意味に違いはないのである。

3×5=15と5×3=15をみただけでは、その子が「1あたりの量」という考え方を理解しているかどうかを判断することは不可能である。単位のついていない式だけを見て、意味がわかっているかどうかを判定すること自体が不可能だ。「1あたりの量」×「いくつ分」=「総量」という式だけが正しく、「いくつ分」×「1あたりの量」=「総量」が誤りだという理由はどこにもない。

もちろん

“5人に蜜柑を3個ずつ配る。蜜柑は全部何個?”

という問題に

「まず、5人に1個ずつ渡す。同様に2個目、3個目と渡す」

と考えれば

5[個/回]×3[回]

というように

「1あたりの量」×「いくつ分」=「総量」

という理解もできる。(ただしこうした視点の転換が、小学生にも自然に説明できるかどうかは、問題の書きぶりにも依存する。)

しかし、上で書いたことはそれ以前の問題である。

「1あたりの量」×「いくつ分」=「総量」と書かなければならないというのは、単なる「約束」であって、数式の表している意味や単位の問題とはまったく関係がないのである。結論的に言って、掛け算の順序と数式の表す意味とは関係がない。「1あたりの量」という考え方が理解できているかどうかということと掛け算の順序とは関係がない。

ではなぜ、「1あたりの量」×「いくつ分」=「総量」と書かなければならないというような「約束」が登場したのであろうか。

僕の考えでは、この理由は「単位」の問題とも関係していると思われる。

伏線として、この記事を取り上げておこう。

長女の算数プリント。掛け算の順番が入れ替わっていることでバツになっていた。

長女と妻で誤正ノートを使いながら復習。

掛け算の答えにつけられる単位が先に書かれなければならない

というのが二人の結論。分かりやすくて良いなぁと思った。

再三登場、陰山英男先生の「ヒューマンラボ」からの引用だが、

お皿にリンゴが3コのっています。そのお皿が8皿あったら、リンゴは全部でいくつあるでしょうか?

という問題。立式は、

3コ × 8皿

が正解で

8 × 3

とすると間違いになる。

文章題を数式に直す"翻訳"が頭の中で結び付けられるようになるのだそうだ。

今回のように、自分なりの決まり(方式)を見つけられると理解できるようになるのだろう。

この引用はひどい。これだと陰山英男氏が「掛け算の順序に意味がある」と主張しているかのように受け取られてしまうだろう。

ヒューマンラボの該当番組ではそうしたことは一言も触れていない。

陰山氏の主張は、「文章題を数式に直すときには、単位をつけるように指導しましょう」ということに過ぎないのである。

3×8=24で出てきた3,8,24の単位は個ですか、皿ですかと聞いてあげるようにしようというわけだ。8×3=24でも同じように聞けばよいわけである。

しかし、「単位をつける」ということは、陰山氏が考えているほど良いこと尽くめではないことを先ほど指摘した。

なぜ皿と個がかけられると皿ではなく個が出てくるのか。

cm×cm=cm^2だから、この場合も[皿個]なる単位が必要なのか、というのは揚げ足取りだけど、単位の明記は厄介な問題なのである。

3は個で、8は皿で、24は個だというのは、間違いではないが、「1あたりの数」という観点で言うなら

「全部で何個か」という問題を解きたければ、3個は3[個/皿]という単位で考えないとある意味ではつじつまが合わないわけだ。

陰山氏が「1あたりの量」という考え方を理解していないとは思わないけれど、「1あたりの数」というものの見方は巧妙に隠している。

「文章題には単位をつけよう!」はスローガンとしては良いが、微妙な問題であることが隠蔽されているように感じられてならない。

結論として僕が考えるのは、

という発想ではないかというわけだ。そしていつの間にか、「約束」を決めるためになされた苦悩(=この場合はいちいち単位をつけるのが厄介な問題だということ)が忘れ去られて、

「約束」だけが教条的に信奉された結果として、

かけ算の式は「1つ分の数」×「いくつ分」の順に書く約束になっているので、問題文から正しく読み取って、そのとおりに式に書けるようにしましょう。

小学校の算数では、式の意味を理解することが大切なので、このような約束があります。

という倒錯に至ったのではないか。「意味を理解すること」と「「1つ分の数」×「いくつ分」の順に書く」ということは本来無関係であり、この「約束」は、

意味を理解しているということを教師と生徒が共通に認識できるための便宜的な約束

というぐらいの効用しかない。

3×5=15と書いている答案は、3個/皿×5皿という意味なのだと生徒も教師も了解できるための約束である。しかし、この約束は、5×3=15でも、5個/回×3回という意味付けができることもある。この「約束」に固執して「順序に意味がある」などとあらぬ「掛け算の概念」を妄想するのは無意味である。

単位のついていない数式だけを見て、誰にでもわかるような式の意味の共通理解を復元するということ自体がナンセンスだし、一面の見方だけを強要するのは尚更非教育的である。

順序を守ることに意味があるのではなく、意味を理解することが大切なのだから、「意味が理解できていれば、順番なんてどうでもいい」はまったく正しい。

最初に取り上げたサイトのアドバイスによれば、

あやふやな場合は、かけ算の文章題で「1つ分の数」がどれか、「いくつ分」の数はどれかをお子さまに説明させてみましょう。

まったくその通り。だからこそ、説明できていれば順番などどうでも良いのである。



[追記]:ずいぶん前に書いた記事にいきなりたくさんのコメントを書いていただいたので、論争が再燃していることを知りました。誤解を招かないために一言だけ追記しておきます。実際に小学生にどう教えるかということと、教える側が正確に理解しているかということとは別の問題です。確かに実際に小学生に教える場合には、「1つ分の数」をはっきり意識させるために前にかくことを強調する意義もあるのかもしれません。しかし、教える側が、先に書くことに何が意味があるのだと誤解しているのだとしたら、それはナンセンスだと言わざるを得ません。ここで書いたことは、実際に混乱している小学生自身のために書いたのではもちろんなく、意味と約束を取り違えている指導者や大人のために書いたものです。2010.12.19

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