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2010-11-18

教科書会社のトップ「東京書籍」に言わせると、「5×3≠3×5」らしい。

最初に追記。

この記事は、他所から参考資料としてリンクされてたりするので残してありますが、筆者は、もうこの問題について「順序あり」「順序なし」双方が

「順序がある/ないのは当然だろうそんなことも知らないのか」

 的態度を見せるのに辟易しています。

 

 本件について熱心に議論している方は他所にいますので、どうぞ議論はそちらでしていただくようお願いします。

(「貴君と議論をするつもりはない、意見表明をしているだけだ」とのたまった方も過去にいましたが、そういうのはご自分のブログ等でお願いします)

 

前置き。

 先頃はてな界隈で話題になっていた「3×5≠5×3なのか?」の話。

 このたった一枚の画像が、擁護しようとする一部学校関係者と、小学生時代のトラウマを刺激された一部はてなーの間で猛烈な論争の種になっていたようです。

 

 はてなー、学校関係者、両方の端くれである私も、久しぶりに小学2年生の指導書を借りて、あれこれ考えたりしていたのですが、考えているうちに時機を逸してしまいました。

 まだ考えがまとまらないのですが、とりあえず資料提供。

 

 なにぶん、学習指導要領はネットで確認できますけど、教科書や指導書はそうではないですからね。

*以下、この記事中の画像は、特に断りがない限り、東京書籍の指導書から引用したものです。*1

 

 さて、東京書籍は教科書会社の最大手であり、小学校算数においても最大のシェアを誇っています。*2

 

2年生のまとめでは。

 まず、個人的に一番衝撃だった部分から。

 練習問題のページ「力をつけよう」。

 

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(写真が見づらいのは許してください。学校の備品なので、裁断してスキャナにかけるわけにもいきませんでした)

「力をつけよう」というのは、単元の最後の練習問題。

 つまり、2年生の九九の学習のまとめです。

 

 「問3」を見てください。

 

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「子どもが6人います。1人にあめを7こずつくばります。
 あめは何こいりますか」

 

 余白に、教師向けの「解答」として、赤で

「7×6=42 答え 42こ」

 と印刷してありやがりますね?

 

 その欄外。

 

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「問3:問題に出てくる数の通りに式をつくることができない7の段を適用して解く問題」

・6×7と立式する子どもにはあめの図をかかせ、同じ数のまとまりは6なのか7なのかをしっかりとつかませる。

 また、6×7では、6人が7つ分になり、答えは子どもの人数となってしまうことをおさえる。

 何言ってるのかわからないかも知れませんが……。

 

 要は、東京書籍は「6×7は誤答である」と明言してるわけです。

 

 問3は、「7×6が正しい」という前提のもと、意図的に

「6こずつ7人に配る」

 と、数字が文中に出てくる順番を逆にした「ひっかけ問題」という位置づけなのです。

 

 前述の通り、この問題は2年生のかけ算の学習のまとめにあたりますから、少なくとも2年生では、最後まで「5×3≠3×5」というのが、教科書的な理解である……ということになります。

 

 えー……。

 納得いかねえ。

 

 正直、私自身の意見は、簡単に言えば(詳しく書いたら長くなった)、

「“5が3つあるときは5×3で計算できるよ”というように教えてやるのは悪くない。
 でも、交換法則は正しいんだから、“5×3”と“3×5”、いずれも正解にせざるを得ないんじゃないか」

 ……という感じです。

 

 学習指導要領にも、“「3×5≠5×3」として指導すべき”……という趣旨の文言はないようなので、教員的にはそこで議論は終わりなんじゃないかな、と思いますが。

 それ以上は、極端な話「児童の実態に合わせて指導すべき」という以上のことは言えないわけですから。

 

 なのに、念のため指導書を確認したらこんな記述だったので驚きました。

 

 もちろん、教科書の記述は法令ではありません。

 だから、教科書の記述が直ちに学校現場に対し法的拘束力を持つとは言えません。

 

 ただ、これが文科省の検定を経た教科書なのは確かですし、*3学校には検定済み教科書を使う法的義務があるのもまた事実。

学校教育法第34条)

 

 官僚主義的態度をとるなら、

「教科書にそう書いてあるからこれが正しいのです。
 苦情は東京書籍、および検定を担当した文科省にお願いします」

 ……ということになるでしょうが、教える立場の人間がそこで思考停止することは許されず、教科書会社がどういう意図の元にこういう記述をしているのか、確認しておく必要があるでしょう。

 

 ではなんでこんなことになっているのか。

 今度は、かけ算学習の導入まで戻ってみましょう。

 

はじめてのかけ算。

 小学生が、生まれて初めてかけ算を習う時間です。

(まあ、どこかで予習してなければ)

 

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 6人乗った車両が3台あるのをどう表すか。

 

 この時点で、2年生は、まだ足し算と引き算しか使えません。

「3台の車に4人、5人、9人乗っています」

 なら、式は

「4+5+9=18」。

 

「3台の車に6人ずつ」

 なら、当然

「6+6+6=18」

 と考えることになります。

 

 しかし、この「新しい計算を考えよう」という単元に至って、ついに

「“6+6+6”のような、何かが同じ数ずつある場合は、“6×3”と書く。これをかけ算という」

 ということを教わります。(つまり、“新しい計算”とは掛け算のことです)*4 *5

  

 ……という説明に、疑問を感じましたか?

 

 東京書籍曰く、

「6+6+6」→「6×3」

 なのです。

 

 逆ではなく。

 

「ちなみに、3×6でもいい」

 という説明もありません。

 

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 ここでは、

「1つぶんの数×いくつぶん=ぜんぶの数」

 というのがかけ算の基本形である……と説明されることになります。

 

 欄外。

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6×3=18の6は「1つ分の大きさ」、3は「いくつ分」、12(原文ママ)は「全部の大きさ」を表していることが理解できるようにする。

 大人向けに言うなら、

「一単位あたりどれだけであるか×何単位あるか=総数」

 ということになるでしょうか。

 

 まあ、この時点では、

「これは逆でも良くて、その場合の式は“3×6”で、前にある3が“いくつ分”で、後ろの6が“1つ分の大きさ”になるね」

 ……とか余計なことを言うと、学習を始めたばかりの子どもは混乱する……という配慮から、交換法則には触れないのでしょうが、その「配慮」がずっと後まで続くわけです。

 

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「6枚のお皿に柿が3個ずつのっています。柿は全部で何個ありますか」といった問題では、十分な検討もなく、数字が出てくる順に「6×3」と書いてしまう場合がある。これは、場面を具体的に想像することなく数字だけを見て式を書いたり、乗法の式の意味の理解が十分でなかったりすることから生じると考えられる。

「いやいや、どんな理解で書いた回答でも、正解は正解だろ?」

 という声が聞こえてきそうですが。

 

 えーっと、でも、「十分な検討もなく」式を書く子、というのは非常にたくさんいます。

 

 本校の2年生担任曰く、かけ算の学習に入る直前の子ども達に

「5こずつりんごが乗ったお皿が3まいあります。りんごはぜんぶでいくつありますか」
 という問題を出したら(レディネス・テスト)、
「5+3=8 こたえ 8こ」
 と書いてきた子が半数近かった
そうです。

 

 要するに、出てきた数字をとりあえず演算子でつないでるだけで、足し算がなんなのか、引き算がなんなのか、問題文で示されているのはどういった状況なのか……といったことを深く考えない子はとっても多い。

 まあ、純然たる学力調査であれば、

「正解なら○。不正解は×。調査終了」

 ……でいいんですが、学校の「テスト」においては、不正解だった子には、なんで不正解になったのか、原因を確認し、適切な対応をしなければなりません。

 だから、答えは合っていても、どうも適当に式を立ててるだけっぽい子は教師としては要注意なのですね。

 

 ……だからと言って、わかっている子にまで交換法則の使用を禁ずる理由にはならないと思いますけど。

 

 では、東京書籍は交換法則を知らないのか、というと……。

 

交換法則の扱い。

 東京書籍教科書では、九九は

「5の段→2の段→3の段→4の段→6の段→7の段→8の段→9の段→1の段」

 の順で学習します。*6 

 その中頃、6の段の学習。

 

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 左下、「ゆうたさんの考え」に注目してください。

 

 この段階で、すでに

「6×4と4×6の答えは同じだ」

 といったことが子どもたちに示唆されるわけです。

 

 のみならず、この時間では、それがかけ算一般に成り立つ規則であることを、理由付きで教わります。

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●●●●
●●●●
●●●●
●●●●
●●●●
●●●●

 

 この図の「●」の数は、

「横一列4個が6列集まっている」

 と見ることも、

「縦一列6個が4列集まっている」

 と見ることもできる……というわけです。

(しかし、ここにおいても「4×6」は「4+4+4+4+4+4」である、という原則はなお堅持されています)

 

 次いで、7の段の学習。

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 言い忘れましたが、九九の学習では、まず自力で足し算するなどして「○の段」を完成させ、その後それを唱えて暗記する、という手順を繰り返します。

 この時間は、7の段を完成させる活動です。

 

 で、「まみさんの考え」

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 ここにおいては、児童自らが積極的に交換法則を活用し、7の段を完成させることが推奨されています。

 

 ……にも関わらず、文章題において式を「逆」にすることは、九九の学習のまとめにおいてさえ認めないのです。

 

 このような東京書籍の記述に対して、

数学的におかしい」
「これじゃあ学力が低下するわけだ」
「日本人の思考力が(以下略)」

 とか紋切り型の批判をぶつけるのは簡単ですが、これが彼らの無知によるものなのか、というと、それは教科書会社を甘く見すぎだと思います。

 

 例えば、たぶん、私たちの多くは「にくじゅうはち」と言えば「2×9=18」を表す九九である……と信じて疑わないと思うのですが、指導書「研究編」によればこうです。

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 被乗数先唱と乗数先唱

 

 乗数九九の唱え方には、被乗数先唱(被乗数→乗数→積)と乗数先唱(乗数→被乗数→積)の2つの方法がある。

 被乗数先唱には、式を左から右へと書いたり読んだりすることに合致していること、aのb倍の思考の順にも適合していること、a+a=a×2の乗法の意味理解にも通じていることなどの利点がある。

 また、乗数先唱には、筆算における乗法計算では乗数を基本とし、除法でも除数を基本とする習慣に合致する、といった利点がある。

 このように、いずれにもそれぞれ利点があるが、現行のように被乗数先唱が用いられたのは昭和10年度(第2学年は昭和11年度)から使用した「尋常小学算術書」からである。「かける」という言葉は、数について「倍する」という意味であるとして導入する限り、九九においても、aをn倍することは「a,n」と唱えるのが自然であるといったことが被乗数先唱を採用したおもな理由であった。しかし、いつまでも被乗数先唱で通すというのではなく、一応九九を覚えるまでの過程として唱え方を一定するものであることはいうまでもない。

 

 何言ってるんだかわからないかも知れませんが、要するに

 

「にくじゅうはち」は「2×9=18」と見なすという決まりはなくて、実は「9×2=18」と見なすこともできて、いずれもメリットがあるんだけど、とりあえず諸事情勘案した上で、「2×9」のことだとしておくよ?

 

 ……ということです。

 しかも、

「いつまでも被乗数先唱で通すというのではなく、一応九九を覚えるまでの過程として唱え方を一定するものであることはいうまでもない」

 

 言うまでもないらしいです。

 

 ともあれ、このように、教科書会社は算数教育についてかなりの研究を重ねた上で教科書を作っていることはいうまでもない。

 

 で、九九は「一応覚え」たら逆にしてもいい……のだとしたら、文章題の式を「逆」にするのはいつになったら許されるのか。

 教科書の他の部分も確認してみました。

 

見方によっては交換できる。

 「力をつけよう」の一つ前、「九九のひょうときまり」。

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 ひととおり九九の学習が終わった子どもたちは、このような切手シートやチョコレートの図を見せられて、

「なんとかしてこれらの総数を計算で求めるのだ。これまで習ったことをうまく使うがよい」

 と要求されることになります。

 

 左半分、切手シートについて。

 

 ここでは、式は「8×5」と「5×8」、いずれでもよい……とされているのですが……。

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 それはあくまで、見方によっては

「横一列8枚が5つぶん」

 と見ることも

「縦一列5枚が8つぶん」

 と見ることもできるから……ということのようです。

 

 ……でもそれ、言い換えると、

「5こずつリンゴが乗った皿が3まい」

 という状況をきちんと想像した上で、

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(この図は教科書・指導書のものではありません)

「“一番左のリンゴ”が3個、“左から二番目のリンゴ”が3個……3こずつのグループが5組あるので、3×5」

 と見なす子がいたなら、式はどっちでもいいんじゃないかと思いますけど……。

 

 ともあれ、東京書籍的には、2年生では式の順序は固定されているなら、3年生ではどうか。

 

3年生での扱い。

 3年生用指導書をずーっと見ていくと、「新しい算数」3の下、「かけ算の筆算(2)」において交換法則の片鱗がありました。

 ……ただし教師用の「注」に。

 

 単元冒頭、

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「5人がけの長いすが30こあります。ぜんぶで何人すわれますか」

 

 一番下に、式は「5×30」である、と教師向けに明示されています。

 教科書にも、

「1このいすにすわれる人数×いすの数=ぜんぶの人数」

 と書いてある以上、子どもにとっても他の選択肢はありえません。

 

 まあ、この単元は、かける数が2桁以上になる計算について学習する内容なので……。

 

 で、この式をどうやって計算したらいいか考えましょう、という中で、指導書では、子どもから「交換法則を使う」という反応が出ることが予想されています。

 中央下、「ウ」をご覧ください。 

f:id:filinion:20101118231955j:image

「5×30=30×5=150」

 ということですね。

 

 ……そういう意見が出ることは予想されているのですが、「正しい」考え方としては、

「5×30=5×3×10=15×10=150」

 という手順で考えていくことになっています。

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 ……まあ、「3×50」を交換法則で解決してしまうと、「30×50」で手詰まりになるからなんですが……。

(交換しても、「二桁×一桁」に変形できないから)

 

交換法則を積極的に使う場合もある……が……。

 単元「かけ算の筆算(2)」の終わり近く、「かけ算のくふう」に至って、ついに「3×46」を「46×3」にして計算すると、計算が楽にできる……という事実を教科書内で扱うことになります。

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 しかし、例題は純粋な計算問題であって、文章題でないことに注意してください。

 

 この「かけ算のくふう」の中でさえ、上の問題の直後

「38人にみかんを3こずつ配る」

 という文章題においては、

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「3×38」

 が「正しい式」として示されています……。

 

まとめ。

 ……どうやら、何年生であろうと、

「5こずつのりんごが3皿」

 の「正しい」式は「5×3」であって、どうしても「3×5」を使いたいなら

「5×3=3×5=15」

 みたいに書かないとだめ……というのが、東京書籍ルールである模様です。

 

 しかし、たとえ導入において「5×3」→「5が3つ(5+5+5)」と教えるにしても、これはあくまで子どもの理解を助けるための恣意的な解説……いわば漢文訓読みたいな技術であって、数学世界の決まりではありません。

 現に、英語圏では「5×3」→「5 times 3」……あえて訳すなら「5回の3」……つまり「3+3+3+3+3」、と読むのだそうです。

 

 我々大人にとっては、交換法則が正しいことは自明です。

 そして、理解力のある子どもにとっても、

「3×38=38×3」

 であることは、(2年生の、九九を習っている途中の段階で!)すでに自明なのです。

 

 自明であるならば、式を立てる段階で省略しても問題ではないはず。

 そんな子にまで「3×5=3が5つ」という「学校ルール」を強要する必要があるのか、という疑問が強くあるのですが……。

 

 私なりに、まだまだ言いたいことはあるのですが、いい加減長くなったので、それはまた後日。

 

余談。

 2年生の指導書「研究編」から、交換法則の扱いについて。

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 乗法の交換法則は、ふつう6×4=4×6のような等式と関連づけて指導するが、上記のような式は被乗数と乗数との実質的な違いを無視することによって成立する。

 ところが、児童はこれまでに被乗数と乗数の使い分けについてかなり厳しく考えてきたといってよい。

 それゆえ、不用意に式を導入して形式的な扱いを急ぐと、児童が混乱を起こす恐れも出てくる。

「児童は……使い分けについてかなり厳しく考えてきたといってよい」

 ……って、他人事みたいに。

 それは自分のところで教科書をそう書いたからなんじゃ……?

*1: 「指導書」というのは、まあ教師用の資料みたいなものです。
 何分冊かになっていますが、そのうち「指導書(指導編)」は、ほぼ子どもの教科書と同じ外見をしていて、授業を進める上で注意すべき注釈が入っています。
「指導書(研究編)」は、教材についての解説をまとめた本で、全ページモノクロで文章ばっかりです。
「指導編」は教室では「先生用の教科書」などとも呼ばれ、子ども時代、のぞきこもうとして拒否された経験をお持ちの方もいるのではないでしょうか。

*2: 他の会社の教科書も、地域の教育事務所に行けば置いてあると思うんですが、なにぶん平日の5時までしか開いていないので……。
 さすがに休暇取ってまで見に行く気にはならなかった。

*3:そう考えると、「3×5と5×3が違うものとして教えられてる、と聞いて驚いた文科省の人」というのは、検定教科書の内容を把握してなかったことになりますね。
 もっとも、2年前、まさにこの教科書を使って授業してたのに、今さら衝撃を受けている私はもっとアレなわけですが。

*4: もっとも、“ろくさんじゅうはち”のような「九九」という形で習うのはもうちょっと後ですので、式は「6×3」と書いても、実際にその答えを知るには、この時点ではまだ「6+6+6」をするしかありません。
(その煩雑さを解消するのが「九九」である……というのが、九九を覚える動機付けになるわけです)

*5: もちろん、かけ算というのは、モノを数えるだけの計算ではありません。
「時速60km×3時間=180km」
 とか、
「底辺×高さ=面積」
 とかいう場合もあります。
 
 しかし、そういう直接数えられない値を計算対象にするのは、多くの2年生にはまだ荷が重いので、この段階では「ひとつ、ふたつ……」と数えられるようなものを扱うことになります。
(「7の段」の学習にいたって、ようやく「7cmのリボンがn本」を扱います)

*6: 従って、件の「5×3」と書いて不正解になった子は、5の段も3の段もすでに両方習ってるんじゃないかな、と思います。

トウカトウカ 2010/11/19 08:06 RPGのアイテム欄の「やくそう×3」が「3×やくそう」だったら違和感があるけど

あきあき 2010/11/19 12:07 RPGの「やくそう×3」は文章にすれば「やくそうが3つある」なので実際にはただの「3」なのでは
今回の争点は「アイテム袋が1袋あり、やくそうが3つ入っている」を「1×3」としても良いかではないかと

imo758imo758 2010/11/19 13:26 自然数同士の掛け算の項において順番はどうでもいいと考えている上で記します。

いま話題の中心になっている問題は
『皿が5枚あり、1枚につきりんごが3個。りんごは全部で何個か』
というものだと思います。
『1枚につき3個』は正確には比率を表したものであり、そのままでは3個ひとまとまりと考えていい理由にはならないと思います。
もし疑問ならば『1枚につき3個』を『5枚につき15個』または『6皿あり、2枚ずつ3個』などと置き換えればいかがでしょう。

ということで順番を順守するならなおのこと『5(皿)x3(個/皿)』でなければならないと考えます。それにもっといえば『5(皿)÷1(皿)x3(個)』の省略であり、『1による暗黙の除算』をさせているという点でたちが悪いと考えます。

さて拝見させていただいたエントリーですが『まとめ。』にある『5こずつのりんごが3皿』という問題はこの議論においては議論の発端となった問題とは、微妙にですが、本質的な部分で表現が異なると考えますが、いかがでしょうか。

最後に、自然数の掛け算において順番にこだわりすぎるとか、ほんと、嘆かわしいですよね…。

makimaki 2010/11/19 16:51 小2の話なんだから【「5+3=8 こたえ 8こ」と書いてきた子が半数近かったそうです。】でFAじゃないか?
応用やら交換法則は後から習うんだし。
「5×3」の答えからは、理解してる「かもしれない」程度の判定になってしまうんだから×でいいよ。
答えは○なんだしさ。
単にその後のフォローの問題で、それ以上でもそれ以下でもない。

国語は満点国語は満点 2010/11/19 21:58 「5+3=8 こたえ 8こ」に関しては国語の問題というか、文章を読んで具体的な場面を想像する力を育てるのがスジなのに、算数が責任負わされるのは違うと思うけどなぁ。

EdgarPoeEdgarPoe 2010/11/19 22:09 初めまして。小生も塾の講師をしていますが
>出てきた数字をとりあえず演算子でつないでるだけで、
>足し算がなんなのか、引き算がなんなのか、問題文で示されているのはどういった状況なのか……といったことを
>深く考えない子はとっても多い。
はその通りだと思いますが、実際に考えているかいないかを判別する良い方法が思いつかない状況でした。
#生徒とのやりとりで見分けるしかありませんが、たいてい考えていないことを隠そうとします。
ですので
>「5+3=8 こたえ 8こ」と書いてきた子が半数近かったそうです。
に興味を覚えました。こういうテストを各単元ごとにやる必要があるように思います。

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なお、かなり昔ですが、平行四辺形の面積の求め方の問題に「底辺」「高さ」の他に必要のない「斜辺」の長さを書き込んだ問題で正解を教えて「この長さはフェイントだよ」と言ったところ「ずるい!」と怒り出した生徒がいたことがあります(笑)。
小学校二年生の段階で本人に「出てくる数字をつないでそれらしい式を作ればOK」という方法がだめなことに気づいてもらわないと、高学年になって困るのではないかな、と思いました。

yotayotaahiruyotayotaahiru 2010/11/21 18:38 はじめまして。よたよたあひると申します。
 この間、この「3×5≠5×3問題」については大変興味をもって、いろいろな記事をおいかけてきました。
 
 この問題、「(1つぶんの数)×(いくつ分)=(ぜんぶの数)」という「かけ算の概念」をどのように子どもたちに教えるのかという方法論が「順序問題」にすりかわってしまっている、と考えます。「順序」として教えるのが「指導がしやすく」あるいは「多くの子どもにとってわかりやすい」のかもしれません(しかし、実際のところはわからないと思います)。
 実のところ、私は、この形式的な順序にこだわって教える方法は、発達障害圏のボーダークラスにいる子にとってつらいものではないかと考えています。
 filinionさんが書いておられるように、縦にリンゴの入ったお皿をならべて、その縦の列を「ひとつのカタマリ(=一つの単位)」として認識して式を立てる子は一定数いることでしょう。そして、視覚的にイメージからそのまま抽象に向かう(曖昧な理解ではありますが)と、「(1あたりの数)×(いくつ分)」という言葉の式そのものが交換可能であることに気がつきます。
 しかも、そのような気づきを持った子が、その気づきを言葉で表現する準備ができていない場合が多々あるだろうと考えられます。そうすると、「曖昧で日本語では説明がうまくできないけれども概念は理解している」子がその気づきを全否定されてしまい、自分の理路とは違うけれども先生が正解と教えてくれたものを無理やり覚えこむ作業に入らなくてはならなくなります。
 理解に確信を持っていて説明をする力もある場合は、あたかも教室で授業の邪魔をするかのような問題児になってしまうこともあるでしょうし、否定されたことをまともに受け止めて真面目に「先生の教えてくれた正解」を苦労して覚える素直でおとなしい子の場合には、「覚えることの大変さ」にエネルギーを割かれて、その後の学習に支障がでてくる場合もあるかと思います。
 そして、相当苦労して覚えこんだあと、交換法則の新たな概念がでてくると大混乱するでしょう。wiscの知能検査で「動作性IQ>言語性IQ」の差が大きい場合は特に問題が大きくなるのではないかと思います。

 「余談」にある、指導書の「研究編」の文章、
------------
 ところが、児童はこれまでに被乗数と乗数の使い分けについてかなり厳しく考えてきたといってよい。
 それゆえ、不用意に式を導入して形式的な扱いを急ぐと、児童が混乱を起こす恐れも出てくる。
-----------------
 ひとたび自分が発見した方法を否定された指導を受けた後、改めてその否定されたものを上位概念として受け入れる、というのは、なかなか大変なことだと思います。なにもはっきり「発達障害」と診断されるくらいに認知上の困難さを持っている子どもだけでなく、若干の傾向がある子がその新しい概念を噛み砕いて理解するまでにかかる手間をかけるというのは、やっぱり納得がいかないです。
 というか、指導方法が異なれば、なんということなく飲み込んでいける子どもの考え方を一度否定して、そのあと「それは正しかったんだよ」とやる、ということは、「指導困難例」をわざわざ増やすようなことをやっているんじゃないの?と考えてしまいます。

(゜∀゜)(゜∀゜) 2010/11/25 21:57 x*6≠6*x

x円のりんごが6個≠6個のりんごがx円

文字式へ導入することを想定してんじゃないですか?

くーけらくーけら 2010/11/27 18:04 行列の掛け算はそのまま交換できないことを挙げてなんとか言う人がいるけど、行列も転置行列を使えば交換できるのだから、5×3を認めないのはやっぱりおかしいと思います。

積分定数積分定数 2010/12/16 14:42 初めまして。「掛け算の順序」について、ずっと調べている積分定数と申します。

 ご承知とは思いますが、念のため。

教科書は、文科省の検定が必要です。当然、指導要領から逸脱した記述は認められないと思います。

指導書に関しては、文科省はノータッチです。

文科省の弁護するわけではないのですが、指導書に「逆順は駄目」と書いてあっても、文科省がそういう教え方を公認しているわけではありません。かといって、「そういう教え方はしてはならない」と言っているわけでもないです。

ai0014ai0014 2011/01/08 17:26 >東京書籍は教科書会社の最大手であり、
 小学校算数においても最大のシェア
びっくりしました。算数は啓林館100%だと思ってました。
こんなくだらないことにこだわってるから算数のできない大人が
大量発生するんだろうけど

WindymeltWindymelt 2011/01/08 18:22 奇妙な事実ですね。
自分が習ったときは自然と交換法則は九九の表を見たときに理解できました。
もしかすると、児童に交換法則をおのずから“発見"してもらおうという意図があるのでは?
と思いましたが、そういうわけでもなさそうですね。

とおりすがりとおりすがり 2011/01/22 12:17 3×5≠5×3は

式としては当然ですよね。
演算としては,
3×5=5×3

立式と演算を分けて考える(子どもの思考を評価する)
ことが教師にとっては必要なんじゃないでしょうか。

モンキーモンキー 2011/02/24 04:45 自分はグループがいくつ、っていう考え方に、教わった記憶はないのですが慣れていて、大人になって部品発注などで海外とコンタクトとるときには逆の表記で何気に変換するラグが入ることがあります。
filinionさんのご意見の途中で、尋常小学校のくだりになるほど、と思ったのですが、これって日本語の文法に由来するのではないでしょうか。
言語って、考え方の骨組みになるという話を聞いたことがあります。
一方、よたよたあひるさんのコメントに気づかされることも大きいです。

filinionさんが「交換法則」の教授の否定について指摘されているのはそのとおりだと思います。一方、考察においてご指摘の主旨から派生する興味深い見解も拝見いたしました。

おっと、何を言いたかったか忘れかけちゃいましたが、彼らがちゃんと理屈を身に着けてくれるならば、やっぱどっちがどっちでもじゃいいじゃん、が持論です。
先生方には、指導要領は目的とシナリオを確認する目安とされ、プロフェッショナルとして主体的にクリエイティブな授業を期待します。それは職業負荷が高いといわれるかもしれませんが、小1の親としてそう思います。

場違いであれば、見過ごしてやってください。。。

なまらなまら 2011/09/30 13:38 私も小学生のこどもを持つ親として一言.

他の方も指摘しておられましたが,「文字式を数式に直す」

ということと「交換法則」についてはあまり関連がないと思います.

現に,請求書でも「個数」×「単価」の表記もあれば「単価」×「個数」の表記もある.

右からの答えも左からの答えも見方の違いですから,これらを一方通行にしてしまうことが理数離れ(理数の考え方を阻害する)にもつながってしまうのかな,と思います.

るばーとるばーと 2011/12/29 09:04 「いくつ」×「一つ分」=「全体」と教える国もあるそうです(アメリカがそうだとか、要確認ですが)。
「61万円1株売り」を「1円61万株売り」と誤って入力した事件がありましたが、誤りは入力すべき「欄」でした。実生活でも、科学技術の分野でも、掛ける順序を間違えて失敗することはありません、結果が同じことは保証されてますから。

交換法則が示す通り、順序は掛け算の本質ではありません。
順序を教えることは、こどものみならず、先生にも親にも無用な負担を強いる教え方です。何か、教科書会社と一部教師の「利権」じゃないのか(笑)と思えてきました。

「「掛け算には順序がある」・・・なんて、ご冗談でしょう?」
http://blogs.bizmakoto.jp/kaimai_mizuhiro/entry/3987.html
から
「掛け算順序問題:「式」だけでは「考え方」は推定できません」
http://blogs.bizmakoto.jp/kaimai_mizuhiro/entry/4005.html

まで数ページを読めば、アレイ図(縦横に並べた図)を示せば十分であることがよくわかります。お薦めです。

よいちよいち 2011/12/29 19:21 自分は「単位」は式の先頭にくる数値のものが
等号後の単位になる(=のあとの数値の単位になる)と
小学生の低学年でならった覚えがあります。

図らずも、構造計算などで数学の根拠式を多用する会社に勤めていますので、同じような間違いで後輩を怒ったことがあります。。。
「おまえ小学校でてるのか?」と。。

意外にも、習ってない方、習ったことを覚えていない方が多いので
この記事を見ておどろいております。

filinionfilinion 2011/12/29 23:50 >よいちさん
 ……残念ですが……。
 
 いつ頃小学校を出られたのかわかりませんが、少なくとも現在の教科書ではそうは教えていません。
 ただ、確かに、小学校の文章題を解く「技術」として、その説明は有効ですので、おそらくその担任の先生が考え出した説明の仕方なのだろうと思います。
(だから、たぶん全国共通の説明ではないです)
 
 また、しばしば言われることですが、乗算においては、等号の後の単位は、等号の前の単位同士を掛けたものであるはずです。
 
 例えば、
「時速60キロメートル×2時間=120キロメートル」
 というのは、
「60km/h × 2h =120km」
 であるわけですから。
 
 同様に、
「1人に3こずつ、5人にりんごを分けます」
 というのは、厳密には
「3個/人 × 5人 = 3個」
 と表記されるべきもののはずです。
(小学校低学年では絶対理解できないのでそんな風には書きませんが……)
 
「式の先頭に来る単位が解の単位になる」
 というのは、実は正確ではないのでは……と思います。

ある塾教師ある塾教師 2012/03/27 23:13 塾の現場で子どもたちに教えています。
確かに、どっちの順番でも答えは同じになるんです。ただ、あまり早い時期からそう言ってしまうと、子どもたちは出てきた数字を適当に掛けたり、割ったりするようになってしまうのです。3×5なのか、5×3なのかは、問題の意味、つまりどうしてそういう計算になるのかを考えさせるために、あえて、そういう説明をやっているわけです。確かに普通に生活する観点から見ればくだらない拘りですが、文章題ができない子の答案を見ると、問題文に出てきた数字を適当に加減乗除しているだけです。そういう現実に対処するための指導法なのです。

filinionfilinion 2012/03/27 23:30 >ある塾教師さん
 コメントありがとうございます。
 私も算数を教えている身ですので、おっしゃることはよくわかります。
 
 最初から「どちらでもいい」とすると2年生は混乱するだろう……とは、本文中に書いたとおりですし、また、「適当に加減乗除」についても、レディネス・テストの話を書いたとおりです。
 
 そういう、子どもの理解を助けるために必要だ、という主張に反対する人はあまりいないと思います。
 
 問題になるのは、そういう「掛け算の順序」は、教える上での方便としてはともかく、本来は意味がないのではないか、という点。
(単に「どちらでも答えは同じになる」ということではなく、「3×5」と「5×3」は本来同じものを指しているはずではないか、ということです)
 加えて、そういう「教育上の配慮」をいつまでひきずるべきなのか、まして、すでに交換法則を理解している子にまで押しつけるべきなのかという点が問題なのだと思います。

エキスポエキスポ 2012/09/25 14:42 始めまして、たまたま見かけてずいぶん前の記事ですが失礼します。
個人的には交換に対する意識の徹底には賛成です。

一番大きいのは物理に対してかと思います。
例えば質量を考える時には密度が長さ分あると考えるべきです。
先に長さがありきで、単位密度ずつ重ねていくというのは実態と離れています。
1m100gのものを1m1gが100枚と捉えるようなもので、順序が違うだけで、主体が変わり、別の意味合いになってしまいます。
これは先の微積分の微小単位を積み上げていく概念にも関わってくると思います。
他には500mlペットボトルが三本の時の水の総量を3×500などの場合も違和感がありますね

もう一つ数学の観点では、多くの人が言われているとおり交換法則が当たり前では無いということでしょうか。
ご存知の通り、A×B=B×Aが成り立つのは非常に特別な場合で、要素が行列になっても、演算子が外積になってもそうです。
やはりある程度別物と理解しておいた方が、他の算法にも入りやすいかと思います。

ただ、りんごの場合について考えると、3個乗っている皿が5枚と、5枚の皿にトランプさながら一枚ずつりんごを配るのを三回などと考えることの違いはあまりなく、実態との矛盾も無いような気がします。
紋切りで全てアウトにするのは良く無いですね。

対応としては問題によってケースバイケースにするか、文章や絵の記述も併せて問うなどが一番のような気がします。

filinionfilinion 2012/09/25 19:10 >エキスポさん
 コメントありがとうございます。
 ご意見はおそらくごもっともと思うのですが、一つだけ。
 例えば、1mあたり100gの棒が3m、というのと、1mあたり3gの棒が100m、というのでは意味合いが変わってしまう、という点は、誰もが納得すると思うのです。
 
 ただ問題は、「100×3」という式は「100gの棒が3m」という自然言語を「翻訳」したものなのか、そして、「3×100」を自然言語に翻訳したら「3gの棒が100m」になるのか、という点だと思います。
 
 実際にはこれは我々が日本語の語順で考えるからに過ぎず、実際には両者は全く等しいのではないか……というのが「区別しない派」の主張だと思います。
 現に、英語圏では
「500mlペットボトルが三本の時の水の総量」
 を、「3×500」の式で表している(むしろ「500×3」こそ違和感を抱かれる)わけですから。
 
 ともあれ、ケースバイケースである、というのは、全くその通りと思います。

エキスポエキスポ 2012/10/20 01:46 なるほど。そういう考え方ですね。
さもありなんという感じがします。
実は私の主張は、区別は必要だが、どっちの書き方が正しいと言っているつもりはありませんでした。3×100が間違いと言っているわけではありません。
そこを気にして、棒の話では式を書かなかったんですね。
ペットボトルのところの書き方がまずくてちょっと誤解を生んだかもしれませんね。

ただ、語順がどっちかということは抜きにしても、語順を区別するという事は必要かと思われます。
現象で持っていた、100gが3本であるといったシチュエーションが式に直した時点で3gが100本との区別が無くなってしまうからです。
つまりは、100gが3本も3gが100本もどちらも同じ100×3と書くことに慣れすぎると実態が見えなくなってしまうということですね。
あとあと式のみ読み返した時にどっちのつもりだったかがしっかりわからなくなると。
これは自然現象を過不足なく客観的に記述するという物理の世界に入り始めるとアウトですよね。
数学でもやはり右と左のどっちに書くかの違いがかなり重要になる環境もありますし。
右と左のどっちに書くか選べるんだから、そこにも意味を持たせた方が、表現の幅がもできていいよねという精神のようです。
その英語圏の話にしても、片方が違和感を与えるという点で、互いが全く同じではない表現だと思います。
結論としては100gが3本という状況が、ある子供にとっては100×3で、別の子供にとっては3×100であっても差し支えないと思いますが、同じ子供の中で混在するのは、今後の数学や物理のマナーに慣れていく上でのへのステップとして良く無いだろうと言うことですね。
算数の段階では区別なく扱ってもあまり差し支えないとはいえ、先々、左右を気にしなきゃいけなくなるから、子供の頃から慣れた方が将来的にいいだろうと。

それで、その左右の区別の意識は保ちながら、3×100と書いた子供を適切に評価する方法の一つとして絵を要求する事を挙げました。これならば100×3と書いても、3×100と書いても正しい理解をしていれば正解にできるからです。
これならば語順自体は問題にはならず、現象毎に式で記述を書き分けられるかが問題になります。

結局、教科書のような間違い扱いは良くないが、区別することを意識させる精神は重要で、それを上手く評価できる手法を考えねばって感じでしょうか。

filinionfilinion 2012/10/20 10:57 >右と左のどっちに書くか選べるんだから、そこにも意味を持たせた方が、表現の幅ができていいよね
 
 そういう考え方もあろうかとは思います。
 
 例えば、南北に100m、東西に150mの幅がある長方形の土地の面積を求める時、式は100×150でも150×100でもかまわないわけですが、そこへ
「南北方向(に近い方)の辺×東西方向(に近い方)の辺の順で書く」
 というルールを設定することもできます。

 このルールの利点は、土地が南北方向に長いのか、東西方向に長いのか(日照などを考えると重要な情報です)が読み取れることでしょう。
 この場合、100×150だけが正しい式になります。
(150×100だと、東西に長い土地である、という「意味」になるわけですね)
 
 しかし、そこで
「余計なルールを作ると煩雑になるので避けるべきだ。100×150も150×100も意味は同じだ」
 という考え方もあるでしょう。
 
 どちらに利があるか、なのですが、私としては、必要な情報だけを取り出して簡潔に表現できるのが数学の利点だと思うのです。
 土地が南北に長いのか東西に長いのか、棒は3本だったのか100本だったのか、とったことは、そもそも「答え」である面積や重量からはわかりませんし、それで良いわけです。
 ならば、それらの情報が、「答え」を求める式の段階ですでに捨象され、読み取れないとしても問題はないのではないでしょうか。
「過不足なく客観的に記述する」とは、その範囲だと思うのです。
 
 今手元に教科書がないのですが、例えば
「1個57円のおかしが、1箱に5こずつ入っています。これを2箱買うと、代金はいくらですか」
 のような問題においては、「5×2=10」先に計算しても(おかしの数を先に求めても)よい、というのが確か教科書の立場でしたし、私もそう思います。
 ここでは、式から1個あたりの値段を知ることはできません。

 問題文の状況を把握しているかどうかを見るために(あるいは、把握を助けるために)絵で表現させる、というのは有効な手立てであるとは思います。
 ですから、式はなんでもいいことにして、物理等で式には含まれない情報が必要な状況に限って、別にイラストを添えるなり、注をつけるなりを求めれば良いのでは、と考えます。
 
 違和感については、「左右は区別すべき」という人もいれば「区別はない」という人もいて、双方に違和感があるわけですし……。
 数学的に区別がないのであれば、交換法則が成立する場合、左右に区別はない、ということに慣れさせる方が、今後のためには有益かな、と思います。

jewel_chanjewel_chan 2012/12/23 12:55 かけ算の順序に関する問題は、式に単位をつければ簡単に解決できると思うんですよね。

「6人乗った車が3台」→「6人/台×3台=18人」「3台×6人/台=18人」

これなら、「3人乗った車が6台」なんて読み取り間違いは絶対に起きません。
文句のつけようがないと思います。

数字だけで立式するから読み取る方が間違うって言う根本を教科書会社がスルーしてるから、こんなバカげた問題が起きるわけです。

filinionfilinion 2012/12/23 15:40  かけ算に順序があるとは思わないのですが、と前置きした上で。
 
 理屈では、おっしゃる通り、単位を付ければ良い話なのですが……。
 しかし、そのような、掛け算の「単位を付けた式」を小学2年生に教えるのは無理だと思います。
 
 というのも、「人/台」……つまり「一台あたり人」のような「単位あたりの量」という考え方の基礎になるのは割り算で、割り算の基礎になるのが掛け算だからです。
 その掛け算を教える段階で「人/台」を使って教えたら、理解できるとは思えません。
(現在のところ、かけ算は2年生、わり算は3年生、単位あたりの量は5年生で勉強します)
 
 学校教育では、過去に子どもたちが習った内容の上に少しずつ積み上げる形で物事を教えていきます。
 算数は特にそうです。
 
 それらを全て習得した大人の目から見れば回りくどかったり、非系統的に見えたりするのですが……。
 しかし、それは後から振り返ってみてわかることで、初めて学ぶ子どもに教えるためには避けがたいことだったりもするのです。
 
 かけ算の順序というのがどの程度「避けがたい」のか、というのが、本件の論点の一つなのだろうと思います。

jewel_chanjewel_chan 2012/12/23 16:46 お返事ありがとうございます。
申し遅れましたが、私も現役の教員です。

一応、正確に表現した方がいいかと思って「/(パー)」をつけて表現しましたが、私自身、そこまでこだわっているわけではありません。
むしろ、2年生ならつけさせないことの方が多いかもしれません。

でも、「6人乗った車が3台」というのなら、「6人×3台」か「3台×6人」と書くことは十分可能です。
記事の中でも「適当に式を立ててるだけっぽい子には要注意」と書かれていますよね。
適当に式を立ててるだけっぽい子には、単位をつけることは出来ません。

それこそが「かけ算の意味を理解する」という真実だと私は思います。
抵抗があるのは何となく分かりますが、ぜひ実践してみてください。
きっと効果があると思いますよ。

では。

filinionfilinion 2012/12/23 18:05  返信ありがとうございます。
 そういう意味でしたら、「単位」をつけたほうがいいのか……と思ったこともあります。
 
 ただ、そのあたりは色々とまた議論のあるところのようで、正確には「6人/台」であるところを「6人」と表記させてよいのか、という問題でもあるようです。
 
 釈迦に説法ではありますが、掛け算の答えの単位は、正しくは、かける数の単位とかけられる数の単位を掛け合わせたものになります。
 
「60km/h」で「2時間」走った時の距離は「120km」。
「たて3m」「よこ5m」の長方形の面積は「15?」。
 
 同様に考えると、「人/台」×「台」であれば、答えの単位が「人」になるのは当然です。
 
 しかし、これを「6人×3台」と略記してしまうと、おそらく数学的には不正確になってしまいます。
「1台あたり6人×3台」とでもすれば正確でしょうが、計算と関係ない「1」という数字を式に入れるのは得策ではありませんし……。
 
 まあ、私自身書いたように、低学年でそこまで数学的な体系を踏まえる必要はない……のかも知れませんが、しかし、不正確なことを教えたせいで速度や面積を習う時に混乱を来すのでは……という不安も若干あり。
 
 単位をつけるべきかどうかについての議論にはあまり詳しくないので、結局教科書通りに教えてしまっているのですが……。
 
 ともあれ、ありがとうございました。

filinionfilinion 2012/12/23 18:08 ……「たて3m」「よこ5m」の長方形の面積は「15平方メートル」と書いたのですが……すみません。
(「?」は機種依存なのかな。「m^2」?)

jewel_chanjewel_chan 2012/12/23 20:49 お返事ありがとうございます。
たしかに数学的にはパーを略すのは不正確でしょうね。
その辺の議論はまだ解決を見ていない問題のようです。

私自身は、高学年になってから「本来はこうだよ」と教わればいいと思っています(身近にいろいろありますし)。
その都度、単位については説明していけばいいと思うのです。
単位系も本来ならセンチリットルやデシメートルが存在することを教えてあげるのは必要なことでしょうし。

いろいろ考えるところはありますね。
有意義な時間をありがとうございました。

moonlightmoonlight 2013/01/30 18:09 とても良くまとまっていて、小学校低学年の娘を持つ親としては、やっぱり安心して良いのかなぁと、ホッとする内容でした。
たくさんの小学校の先生に読んでもらいたい。

ただ、塾の先生?のコメントにはガッカリしました。教える事と、子供が考えた事を評価する事は別です。問題に登場する数を適当に書いて計算したのか、状況を把握して計算したのかが区別がつかないのは、問題の不備や検討や工夫が足りないだけで、きちんと自分の頭で考えて計算した子供は、褒められこそすれ、否定される謂れは全く無い筈です。

此れ迄に、不当に×や△を付けた先生方は、遡って謝罪するべきだと思う。

namename 2013/05/30 14:13 5皿に3個ずつ
・3個×5皿
この時点で間違いだよね。これだと答えが15個皿になっちゃう。
IT土方の人月計算みたい。
・3(個/皿)×5皿
で始めて15個だよね。

filinionfilinion 2013/05/30 21:05 数学的にはおっしゃるとおりですが、2年生でそれをやるには問題もある、という議論が、このコメント欄でjewel_chan氏とのやりとりで出ています。

「(個/皿)」というのは「単位あたり量」という考え方で、これは5年生で学習します。
 その基礎になっているのはわり算の考え方で、これは3年生の内容です。
 そして、わり算の基礎になるのが掛け算で、それを初めて学ぶのがまさに2年生の九九なわけですから、九九の学習に「単位あたり量」を使うのは難しいのです。

我々、すでに義務教育課程を修了し、その内容を俯瞰して「正しい表記」を考えられる者にとってはそれでもよいのですが……。

aaaaaa 2013/06/10 18:17 その前に長椅子の単位は「脚」だと思います。
算数の構造を言語化して把握すべきか否かの問題で、
肝心の言語がおろそかになっているように感じました。

filinionfilinion 2013/06/10 20:29 >aaaさん
「その前に」と言いますか、どんなものを教えるにも、基本的なところから入って段々高度化していくのが教育というものです。
 これは数詞についても同様で、2年生・3年生は非常に基礎的な段階にあります。
 具体的には、「1まい・2まい」「1ぴき・2ひき」「1さつ・2さつ」といった数詞は登場しますが、花の数は「1りん・2りん」ではなく「1つ・2つ」もしくは「1ほん・2ほん」なのです。
 
 ですから、長椅子が「1つ・2つ」なのは「言語がおろそか」にされているからではなく、「1きゃく・2きゃく」という数え方を扱う前の段階にあるから、と理解された方がよいかと思います。

nmknmk 2014/05/10 02:38 namename 2013/05/30 14:13
5皿に3個ずつ
・3個×5皿
この時点で間違いだよね。これだと答えが15個皿になっちゃう。
IT土方の人月計算みたい。
・3(個/皿)×5皿
で始めて15個だよね。
filinionfilinion 2013/05/30 21:05
数学的にはおっしゃるとおりですが、2年生でそれをやるには問題もある、という議論が、このコメント欄でjewel_chan氏とのやりとりで出ています。

「(個/皿)」というのは「単位あたり量」という考え方で、これは5年生で学習します。
 その基礎になっているのはわり算の考え方で、これは3年生の内容です。
 そして、わり算の基礎になるのが掛け算で、それを初めて学ぶのがまさに2年生の九九なわけですから、九九の学習に「単位あたり量」を使うのは難しいのです。

我々、すでに義務教育課程を修了し、その内容を俯瞰して「正しい表記」を考えられる者にとってはそれでもよいのですが……。


小学校2年生では
 3個×5
だろう。そう認識せずに教えていたのか。

filinionfilinion 2014/05/10 11:47 また「その程度で教師を云々」ですか……。

教科書どおりやるなら、掛け算の式に単位をつけたりはしないのです。
小学2年生では、式は単に「3×5」なのであって、

・3個×5皿
・3(個/皿)×5皿
・3個×5

いずれでもありません。

ただ、「式に単位をつけて計算すれば良い」
と主張する人もいる、という話です。
そして、それを実際にやると、小学2年に理解できる範囲で数学的正しさを確保するのは難しい、という議論なのです。

「3個×5」だろう、とのことですが、教科書の問題には、2年生は
「1台に6人ずつの 3台ぶん」
とあり、3年生では
「1この椅子に座れる人数(5) × 椅子の数(30)」
とあります。

素直にこれに単位をつけるなら、それぞれ
「6(人/台)×3台」
「5(人/こ)×30こ」
となるでしょう。
(教科書がしつこく「6人ずつ」といった表記をするのも、「単位あたり量」という認識があるからだと思います)

この表記は正しくはありますが、2年生に理解は困難です。

おっしゃるように、

「6人×3」
「5人×30」

と表記させることも可能ですが、これはいかにも恣意的です。

「なぜ、片方だけ単位がつくのか」
「どうやって、その“正しい方の片方”が決まるのか」
「6人ずつ×3ではだめなのか」

といった疑問に明瞭な回答ができません。

nmknmk 2014/05/10 12:41 おへんじありがとネ〜。

>また「その程度で教師を云々」ですか……。
教科書どおりやるなら、掛け算の式に単位をつけたりはしないのです。
小学2年生では、式は単に「3×5」なのであって、
 ・3個×5皿
 ・3(個/皿)×5皿
 ・3個×5

そうじゃなくてサ〜。小学校2年の掛け算の意味は
 3個×5
という意味(しかない)だろうってこと。最後に

>「なぜ、片方だけ単位がつくのか」
「どうやって、その“正しい方の片方”が決まるのか」
「6人ずつ×3ではだめなのか」
といった疑問に明瞭な回答ができません。

ってことだから分からずに教えてたってことね。
まあしょうがないけど(最近の先生のレベルはこのくらい)。正直でだいたいよし。

filinionfilinion 2014/05/10 13:00 …いや、明瞭な回答ができない、というのは、
「明瞭な回答が存在し得ない」
という意味なんですが。

>小学校2年の掛け算の意味は
> 3個×5
>という意味(しかない)だろうってこと。

ですから、その「“掛け算の意味”とは何か」を巡る議論なので…。
申し訳ないのですが、話の前提を踏まえていただけると幸いです。

もう何度も書いたのですが、この話題って、
「教師のくせにこんなこともわからないのか」
系の、謎の上から目線の方が次々に、それもどういうわけか賛否双方の立場から沸いてくるので困りますね。

nmknmk 2014/05/10 13:14 >…いや、明瞭な回答ができない、というのは、
「明瞭な回答が存在し得ない」
という意味なんですが。

じゃあ、その「明瞭な回答が存在し得ない」理由を教えて下さいよ。
自分には分からないじゃあだめですよ〜。

「スタップ細胞はあります」じゃ納得できないもの。

「明瞭な回答が存在し得ません」

nmknmk 2014/05/10 13:20 >「“掛け算の意味”とは何か」を巡る議論なので…。
申し訳ないのですが、話の前提を踏まえていただけると幸いです。

「“掛け算の意味”とは何か」については結論はでてないってことでしょうか?
ところで「謎の上から目線」で申し訳ないのですけど、でしたら
子どもたちに教えるときに「先生にもわからないけど」くらいのことは言うもんだと思うけどなあ。

>name 2013/05/30 14:135皿に3個ずつ
・3個×5皿
この時点で間違いだよね。これだと答えが15個皿になっちゃう。
IT土方の人月計算みたい。
・3(個/皿)×5皿
で始めて15個だよね。

に対して
>filinion 2013/05/30 21:05数学的にはおっしゃるとおりですが、
と書いてますが「数学的」ってどういうことですか?
ことばはあるけど意味がはっきりしてませんよね。

どういう意味で言ってるの?

filinionfilinion 2014/05/10 13:35 申し訳ないのですが、ここまでの議論としては、

「あえて正しく単位をつけるなら、
“3(個/皿)×5皿”
 が本来であろう」

という点はおよそ共通理解がなされているものと考えます。
教科書としても、「一皿に3こずつ」といったくだくだしい表記を繰り返しているのはそういう意図でしょう。

少なくとも、
「いや、2年生なら“3個×5”以外あり得ない」
とおっしゃったのは、この場ではnmkさんが初めてのはずです。

STAP細胞の例ではありませんが、新説を唱えられる方がまず自説を論証されるべきと考えます。

なぜ、
「小学校2年生では3個×5」
だと言えるのですか?

nmknmk 2014/05/10 14:25 ああそうでしたか。新説といいますけど当たり前の話で数学入門のきちんとした教科書には書いてありますよ。書いてある事をここで書いても無駄ですので書きませんけど、わかりやすく解説したものでしたら森毅さんの本をお読みになるとよいでしょう。勉強したことはないのですか?でしたら(そして掛け算についてほんとうに理解したいお気持ちがあるのでしたら)ぜひお勉強されることをおすすめします。

nmknmk 2014/05/10 14:28 なお勉強してないなら「数学的には正しい」なんて「謎の上から目線」でいうもんではないと思います。だって数学があやふやなんでしょ?あっ、ちょっと「謎の上から目線」ですか?ご免なさいね。

nmknmk 2014/05/10 14:34 >申し訳ないのですが、ここまでの議論としては、
「あえて正しく単位をつけるなら、
“3(個/皿)×5皿”
 が本来であろう」
という点はおよそ共通理解がなされているものと考えます。

そんなことだろうと思いました。だからコメントしたのですよ。みなさんわかってらっしゃらないみたいだから。こまかく読み返さなくてよかったです。時間の無駄だもの。算数だから簡単だなんて思っていませんか?もっとちゃんと勉強しましょうよ。また「謎の上から目線」って言われちゃうかな〜。図書館で森毅さんの本を借りて勉強なさいな。遠山啓さんでもいいですよ。でもたぶん森毅さんのほうがわかりやすいと思います。

filinionfilinion 2014/05/10 15:35 ……ひょっとして、nmkさんって、過去にここに書き込みされた方なんじゃないでしょうかね? すごい既視感が。
ともあれ、お疲れ様でした。

filinionfilinion 2014/05/10 16:35  この記事は、他所から参考資料としてリンクされてたりするので残してありますが、筆者は、もうこの問題について「順序あり」「順序なし」双方が
「順序がある/ないのは当然だろうそんなことも知らないのか」
 的態度を見せるのに辟易しています。
 
 本件について熱心に議論している方は他所にいますので、どうぞ議論はそちらでしていただくようお願いします。
(「貴君と議論をするつもりはない、意見表明をしているだけだ」とのたまった方も過去にいましたが、そういうのはご自分のブログ等でお願いします)

TJTJ 2015/03/25 10:16 よませていただきました。あなたは素晴らしい先生です。ありがとうございました。

ゆーあんゆーあん 2015/04/14 21:17 わかるー
東京書籍の教科書はだめだ。

mumeimumei 2016/04/05 14:27 前置きに関してですが、問題文は「皿が5枚、1枚の皿にはりんごが3個」という問題ですよね?
正解は3×5=15です。
単純な話なんですが、5×3だとなぜ式として違うかというと……答えはリンゴが何個と聞かれているからです。
略式で3倍のことを「x3」みたいに書きますよね?
5×3にしてしまうと、「5皿の三倍は?」という式になってしまい、答えが15「個」ではなく15「皿」になってしまうからです。
確かに交換法則はありますが、あくまで結果論であって、それが絶対ではありません。

mumeimumei 2016/04/05 14:27 前置きに関してですが、問題文は「皿が5枚、1枚の皿にはりんごが3個」という問題ですよね?
正解は3×5=15です。
単純な話なんですが、5×3だとなぜ式として違うかというと……答えはリンゴが何個と聞かれているからです。
略式で3倍のことを「x3」みたいに書きますよね?
5×3にしてしまうと、「5皿の三倍は?」という式になってしまい、答えが15「個」ではなく15「皿」になってしまうからです。
確かに交換法則はありますが、あくまで結果論であって、それが絶対ではありません。

filinionfilinion 2016/04/05 18:12 >mumeiさん
 
 失礼ですが、議論の前提がおわかりでないと思います。
 
>略式で3倍のことを「x3」みたいに書きますよね?
 
 日本ではそうですが、英語圏では「3×」と書きます。
(顕微鏡のレンズなどもその書式のはずです。学校で確認してみてください)
 
 つまり、「3倍」を「×3」と表記するのは、日本の慣習に過ぎません。
 数学的な約束ごとではないのです……数学は万国共通のはずですから。
 
 付け加えると、現行の日本の教科書でも、厳密には
「3×5」
 は、
「3個の5倍」
 という意味ではありません。
 
 教科書では、
「1皿に3こずつ、5皿あります」
 に対して、
「1皿あたりの数 × 何こぶん」
 ということになっています。
 
「1皿あたりの数」……つまり、単位あたり量、ということです。
 言い換えれば、
 
「3個/皿 × 5皿 = 15個」
 
 ということです。
(もちろん小学2年生ではそのような表記はしませんが、考え方としてはそうなります)
 
「3km/時 × 5時間 = 15km」
 
 になるのと同じで、単位同士もかけ算をするわけです。
(面積を求める時のことを考えてみてください)
 
「掛けられる数の単位が答えの単位になるんだよ」
 という教え方をしている先生がいるのも知っていますが、それは一種の方便であって、算数的には正確ではないし、教科書にも載っていないのです。
(方便が悪い、というのではありませんが……)
 
 ともあれ、、
「5皿 × 3個/皿」
 としても、単位はちゃんと「個」になるわけですから、
「答えの単位が違ってしまうから」
 という説明は成り立たない、というわけです。

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