難関大学への数学 このページをアンテナに追加 RSSフィード

2007-06-30 数列総合演習、冪乗の和

[]数列総合演習、冪乗の和 23:33 数列総合演習、冪乗の和を含むブックマーク 数列総合演習、冪乗の和のブックマークコメント

問題

f:id:gould2007:20070626231402p:image


解答

解答に誤りがあります。早急に訂正いたしますので、今しばらくお待ち下さい((2)で係数の抜け落ちがあります)。

f:id:gould2007:20070626231358p:image

(2)

f:id:gould2007:20070626231356p:image

f:id:gould2007:20070626231354p:image

f:id:gould2007:20070626231349p:image

f:id:gould2007:20070626231627p:image

(3)

f:id:gould2007:20070626231626p:image

f:id:gould2007:20070626231625p:image

f:id:gould2007:20070626231622p:image

f:id:gould2007:20070626231619p:image

(4)

f:id:gould2007:20070626231718p:image

解説

出典:2006年度、後期、東京大学理科一類

難問は難問なのですが、発想や思考を試される難問というよりは、処理力が大分大きいウエイトを占める難問じゃないかと思います。東大の後期の出題ですから、一時間程度かけて解ければ合格ラインにかなり近い所にいるものと考えていいと思いますが、私は恥ずかしながら解答を作るのに半日程かかってしまいました。

細かいミスも大分解答には含まれていると思います。例えば、b_0など現れないように気を使って記述するべきだとは思うのですが、このボリュームならば、細かい所は少しくらい「明らかなもの」としてスキップしてしまっても、罰はあたらないと思います...。

とにかく細かい点が鬱陶しい問題で、カリカリさせられますが、結論(4)はとても奇麗ですし、比較的知られているんじゃないかと思います。

大事なのは(1)で、ここから

¥sum_{k=1}^{n}{k^p}

は、nについてのp+1次式で、その(p+1)次の係数は¥frac{1}{p+1}となることが分かります。この結果は記憶に値するもので、例えば極限を求める問題などで、重宝します。

(2),(3)が山場ですが、S_{p}(x)-S_{p}(x-1)=x^pに気がつかないと厳しい。ここに気がついても、うんざりする計算が待ち受けています。なお、解答では少し丁寧に記述するために、qの奇偶で場合分けをしていますが、特に場合分けしないでも一気に考えることも可能です。

(4)ではとても上手く(2),(3)が使えていることに注目してください。苦労が報われた気がします。

試験場では、(2)まで解ければ十分だと思います。復習も、大事なのは(1)と(4)の結論くらいですから、そういうものなのかと眺め直すくらいで結構だと思います。

トラックバック - http://d.hatena.ne.jp/gould2007/20070630