■[場合の数と確率]確率、期待値の漸化式 12:50

問題

難易度：、解答時間：３０分

解答

解説

出典：１９７５年度、東京大学（東京大学）、理系

確率を求める部分は単純です。結論も与えられているのでやり易い問題です。結果が与えられていないと計算ミスをしてしまいそうですが。

(2)で詰まってしまった方はもしかしたら多かったのかもしれません。期待値について、漸化式を立ててみようという気になれば、難しくはないのですが。その際、期待値の定義である

において、は現れませんから、これを消去する方向で計算を進めると、上手く行きます。こういった問題では、

という関係式を忘れないように気をつけてください。球の数は必ず０、１、２、３、４個のどれかですから、確率の和は必ず１になるという訳です。これを忘れると、式変形が異常に大変になるか、あるいは問題そのものが解けなくなってしまいます。

解答では(2)で、漸化式を書き連ねているところで、余白を空けて式を見易くしていることに注意してください。このようにすることで、例えば縦方向に目をやって、の係数を足してみると、きちんとになっていることが分かります。これも計算ミスをなくすための工夫の一つです。意識的にこういった工夫を入れていくことで、ミスは格段に減らすことが出来ます。

さて、解答ではいきなりが出てきています。これは真面目に考えても良いのですが、求めた漸化式に、それ以外のときを代入して（初め袋Aには赤玉が１つ入っていますから、ですね）、を求めて、定義からを求めている、という訳です。

分量のある問題ですので、ここら辺は省略気味でも構わないでしょう。内容的にはそれほど難しくなく、漸化式の基本を学べる良い問題だと思うのですが、試験場でカリカリと記述することを考えると、中々煩わしい問題です。