難関大学への数学 このページをアンテナに追加 RSSフィード

2008-03-31 級数と数列、多項式と微分、必要条件と十分条件

[]級数と数列、多項式と微分、必要条件と十分条件 級数と数列、多項式と微分、必要条件と十分条件を含むブックマーク 級数と数列、多項式と微分、必要条件と十分条件のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080331161414p:image

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IrrrrrIrrrrr 2008/03/31 17:38 タイトルが必要“受験”なる妙な言葉になっちゃってますが,正しくは必要条件じゃないでしょうか?(^^;

gould2007gould2007 2008/03/31 17:56 >>Irrrrr様

本当ですね。これは珍しいというか恥ずかしいミスです......。訂正いたしました。

す、すいませんでした......。

やよいやよい 2008/03/31 19:29 因数分解で考えてみました.以下,x^{0}=1とします.
(1)f_{k}(x)=x^{k}-kx+k-1=(x-1)Σ_{j=1}^{k-1}(x^{j}-1)は(x-1)^{2}で割り切れるが,g(x)=Σ_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}とおくとg(x)=a_{0}+a_{1}+Σ_{k=2}^{n}a_{k}(f_{k}(x)+kx-k+1)=p(x)+Σ_{k=2}^{n}a_{k}f_{k}(x) (pの次数は1以下) と表せるので,g(x)が(x-1)^{2}で割り切れるための条件はp(x)=0である.
(2)f_{k}(x)
=(x-1)^{2}Σ_{j=1}^{k-1}(j+Σ_{i=0}^{j-1}(x^{i}-1))
=(x-1)^{2}k(k-1)/2+(x-1)^{2}Σ_{j=1}^{k-1}Σ_{i=0}^{j-1}(x^{i}-1)
の(x-1)^{2}Σ…の部分は(x-1)^{3}で割り切れるのでそれをq_{k}(x)とおくと
g(x)=p(x)+(x-1)^{2}Σ_{k=2}^{n}a_{k}k(k-1)/2+Σ_{k=2}^{n}a_{k}q_{k}(x)
となるので,g(x)が(x-1)^{3}で割り切れるための条件はp(x)=0かつΣ_{k=2}^{n}a_{k}k(k-1)/2=0である.

gould2007gould2007 2008/04/01 19:30 >>やよい様

こんなに簡単にこの問題が解けるとは思いませんでした!この変形だと、(2)の分母の2が自然に現れるのですね。ということは、東大の先生もやよい様のようにこの問題を解決したということでしょうか。

良い解法を教えていただき、ありがとうございます!

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2008-03-30 相加平均、相乗平均の関係式

[]相加平均、相乗平均の関係式 相加平均、相乗平均の関係式を含むブックマーク 相加平均、相乗平均の関係式のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080329194838p:image

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2008-03-29 2倍角の公式

[]2倍角の公式 2倍角の公式を含むブックマーク 2倍角の公式のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080329182942p:image

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やよいやよい 2008/03/31 19:32 a,b,c>1以降はb-a=2a^2-a-1=(2a+1)(a-1)>0よりb>a.同じくc>b,a>cで不合理ともできますね.

gould2007gould2007 2008/04/01 19:17 >>やよい様

背理法を用いるわけですね。(1)は色々な解き方ができそうですね。

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2008-03-28 三角関数を見つけ出せ!

[]三角関数を見つけ出せ! 三角関数を見つけ出せ!を含むブックマーク 三角関数を見つけ出せ!のブックマークコメント

問題

難易度:¥omega、解答時間:50分

f:id:gould2007:20080329165739p:image

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けんたろけんたろ 2008/03/30 11:52 難しいですね。逆に、(3)がなければa=cosαを思いつかないです。
(2)の270°<α<540°ではαの係数が抜けているように思います。

gould2007gould2007 2008/03/31 16:33 >>けんたろ様

ご指摘ありがとうございます。解答を訂正致しました。

ご迷惑をおかけした方は、申し訳ありません。

やよいやよい 2008/03/31 19:39 3倍角を使わせる気なら設問(2)は不要なので,作者は(2)で角度を用いない証明(例えば,多項式としてf(2a^2-1)がf(a)で割り切れること,(1)よりb^{2}<c^{2}<a^{2}から)を想定していたのかもしれません.その上で(3)でc=cosθとおくと,(2)よりb=cos2θ,a=cos4θ,cos8θ=cosθ,(1)よりa<0<b<cだから,0<θ<π/4としてよく,8θ=2π-θといった流れで….

gould2007gould2007 2008/04/01 19:23 >>やよい様

(2)は単独で解こうとすると、f(2a^2-1)=0までは何とかなるのですが、「2a^2-1がcになること」の証明が難しく、結局図形的にcosと同等のものを考える必要がありました。でも、確かに上の解答は不自然であると私も思います......。

私は元ネタの上の早稲田の問題がすぐに思い浮かんだので、何とか解けたのですが(それでもたっぷり時間はかかりました)、初見の受験生の方だと、相当な難問に感じるのでは、と思います。

いつもご指摘ありがとうございます。

やよいやよい 2008/04/01 21:16 >「2a^2-1がcになること」の証明
(1)よりb>0,a<cだからa^2-c^2=(a+c)(a-c)=b(c-a)>0ではどうでしょう?
>初見の受験生の方だと、相当な難問に感じる
確かに一度は経験しておきたい問題ですね.

gould2007gould2007 2008/04/02 18:21 >>やよい様

>>(1)よりb>0,a<cだからa^2-c^2=(a+c)(a-c)=b(c-a)>0ではどうでしょう?

い、意外に簡単にできてしまうんですね........。よく考えずに難しい、などと言ってしまいました.....。反省です。

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2008-03-27 分数関数と不等式、場合分け

[]分数関数と不等式、場合分け 分数関数と不等式、場合分けを含むブックマーク 分数関数と不等式、場合分けのブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:40分

f:id:gould2007:20080328004055p:image

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ケアンケアン 2008/03/28 23:10 一度見たことある問題です。うろ覚えですが、絶対値をうまく使えば、もう少しまとまって(たしか5通り)場合分けできたと思います。

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2008-03-26 お勧めの医療系漫画

[]お勧めの医療系漫画 お勧めの医療系漫画を含むブックマーク お勧めの医療系漫画のブックマークコメント

そもそも数学とは全く関係ないのですが、たまには気を抜いてこういった話題も。

私は結構漫画好きで、今まで色々な漫画を読んできましたが、お勧めの医療系漫画をご紹介してみたいと思います。それほど数を読んでいる訳ではないのですが、ここに挙げたものは考えさせられるものも含んでいますので、漫画がお嫌いでない方は暇な時間に手にとって見て頂ければと。

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2008-03-25 相加平均が減少数列である場合

[]相加平均が減少数列である場合 相加平均が減少数列である場合を含むブックマーク 相加平均が減少数列である場合のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:35分

f:id:gould2007:20080325225618p:image

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絵詰絵詰 2008/03/26 01:00 はじめまして。いつも楽しく拝見しています。
背理法でやってみました。(携帯からなので、解答は重くて見れないのです。同じ解法だったらすみません)
a_nの第k項までの和をS_kとおく。
l/n>S_l(式1)と仮定する。
a_1≧…≧a_lより、S_l≧la_l。よって、l/n>la_lなので、1/n>a_lとなる。
このとき、1/n>a_l≧a_(l+1)≧…≧a_nより、
(n-l)/n>a_(l+1)+…+a_n(式2)となる(右辺はn-l個の項の和)。

式1と式2を足して、1>S_nを得るが、これは条件(S_n=1)に反する。


以上から、式1は偽で、l/n≦S_lが示された。

やよいやよい 2008/03/26 13:06 増減を調べても示せまずね.
1/n>a_{1}またはa_{n}>1/nではΣ_{k=1}^{n}a_{k}=1に反するので,a_{k}-1/n(k=1,…,n)は0以上から0以下へ,つまりΣ_{k=1}^{l}(a_{k}-1/n)(l=1,…,n)は広義増加から広義減少へ変わり,a_{1}-1/n≧0,Σ_{k=1}^{n}(a_{k}-1/n)=0と併せて左側の不等式が成り立つ.

gould2007gould2007 2008/03/26 22:12 >>絵詰様

これはスッキリと示せていますね!お見事です。式(2)の左辺はl=nのとき0になりますが、式(1)から矛盾が導けるので問題ありませんね。

>>やよい様

最初b_nを考えたのですが、これは思いつきませんでした!良いですね。

お二人とも、良いご指摘をありがとうございました。このblogのコメント蘭では、私の解答よりも優れた解答を寄せていただき、本当に嬉しく思っております。と同時に、やはりコメント欄でも、数式が見えるようにしてもらいたいなぁ、とつくづく思います(やはり、多くの受験生の方に読んでいただきたい質の高いご指摘が多いので)。

S.NS.N 2008/09/04 00:16 いつも楽しみに拝見しています.いろいろな不等式を勉強していて、本問もかんがえてみました.遅ればせながらコメントさせてください.問題の左辺の不等式は、ご指摘の通り(a_1+ … +a_n)/n ≦ (a_1+ … +a_l)/lです.この意味を考えると、あまりにも当然です.すなわち具体例で考えれば、「上位 l(1ではなくエル)人の平均点は、下位の人数を加えたn人の平均点より大きい」を意味します.この当然のことを生かした証明を考えました.(簡単にできそうで以外に苦労しました.) 
(a_1+ … +a_l)/l=mとおくと(上位l人の平均点) 
(a_1+ … +a_n)/n=(a_1+…+a_l+a_{l+1}+…+a_n)/n=(lm+ a_{l+1}+…+a_n)/n (この式の分子の前半部は、平均点mがl人分)
≦(lm+ m+…+m)/n (この式の分子の後半部は、mがn-l個の和で、かつ、m≧a_{l+1}≧…≧a_n)
=(ml+(n-l)m)/n=nm/n=m=(a_1+ … +a_l)/l 証明終わり
(コメントでの数式は本当に書きにくいですね!うまく書けているか心配です.)

2008-03-24 方程式と三角関数の周期性、係数の決定

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080324221313p:image

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2008-03-23 4次関数と解の誤差、偶関数

[]4次関数と解の誤差、偶関数 4次関数と解の誤差、偶関数を含むブックマーク 4次関数と解の誤差、偶関数のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:45分

f:id:gould2007:20080323020052p:image

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やよいやよい 2008/03/23 14:50 解答のaを求める部分は厳しい(笑)ので,そのまま-aを0.56^2+3.4^2=11.8736,0.59^2+3.47^2=12.389で挟んではどうでしょうか?また最後はf(x)=(x^2+2)^2-(4x)^2=(x^2+4x+2)(x^2-4x+2)と分解できますね.
私はαβ,α+βを求める方針でやってみました.
0.56≦α≦0.59,3.4≦β≦3.47より0.55<α<0.6,3.4<β<3.5だから1.87<αβ<2.1,3.95<α+β<4.1.
解と係数との関係よりα^2β^2=b,α^2+β^2=-aだからαβ=√{b},α+β=√{2αβ-a}.
ここでbは整数だから√{3}<1.8,2.1<√{5}よりαβ=√{4}=2.
よってα+β=√{4-a}となり,aは整数だから√{15}<3.9,4.1<√{17}よりαβ=2,α+β=√{16}=4.よってα,βはx^2-4x+2=0の2解つまり,2±√{2}.
ここで1.41<√{2}<1.42だから0.58<2-√{2}<0.59,3.41<2+√{2}<3.42.

gould2007gould2007 2008/03/25 23:07 >>やよい様

すいません大熱を出してしまい返信が遅れてしまいました.......。

>>私はαβ,α+βを求める方針でやってみました.

これも良い方法ですね!また、因数分解は見落としてしまっていました。この問題は見た目以上に難しい問題だと感じました。

良いご指摘をいつもありがとうございます!

やよいやよい 2008/03/26 13:00 >大熱
季節の変わり目に付,くれぐれもご自愛下さい.

2008-03-22 チェビシェフの多項式(大阪大学)

[]チェビシェフの多項式(大阪大学) チェビシェフの多項式(大阪大学)を含むブックマーク チェビシェフの多項式(大阪大学)のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080323003855p:image

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2008-03-21 チェビシェフの多項式(埼玉大学)

[]チェビシェフの多項式(埼玉大学) チェビシェフの多項式(埼玉大学)を含むブックマーク チェビシェフの多項式(埼玉大学)のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080322234623p:image

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2008-03-20 不等式と置き換え

[]不等式と置き換え 不等式と置き換えを含むブックマーク 不等式と置き換えのブックマークコメント

問題

難易度:¥alpha、解答時間:10分

f:id:gould2007:20080319030758p:image

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jj 2008/03/19 12:41 定積分に持ち込むと計算が楽です。簡単に言うと、与不等式の左辺、右辺がそれぞれ¥int_x^1t^2dt、¥int_x^1¥sqrt{x}tdtであり、s=t^2のt=¥sqrt{x}における接線の傾きは1より大きく1-¥sqrt{x}>¥sqrt{x}(1-¥sqrt{x})=¥sqrt{x}-xであるから、¥int_x^1t^2dt>¥int_x^1(2¥sqrt{x}t-x)dt>¥int_x^1¥sqrt{x}tdtが分かる。

やよいやよい 2008/03/19 12:45 目標の式が
( (1/√{x})^{3}-(√{x})^{3} )/3>( (1/√{x})^{2}-(√{x})^{2} )/2
と変形できることから一般化してみました.
a>1のとき,f(t)=a^{t}-a^{-t}(t≧0)とおくと,f(0)=0,f’’(t)=f(t)(log(a))^{2}>0(t>0)なのでg(t)=(a^{t}-a^{-t})/t(t>0)は狭義増加.よってa=1/√{x}(0<x<1)とすればg(3)>g(2)と判る.

jj 2008/03/19 13:00 上の議論はx>¥frac{1}{4}のときしか使えませんでした。

gould2007gould2007 2008/03/22 00:28 >>j様

>>上の議論はx>¥frac{1}{4}のときしか使えませんでした。

「接線の傾きは1より大きく」の部分に当てはまらないのですね。一行目の積分を利用した変形には気がつきませんでした!

>>やよい様

¥sqrt{x}がピョコンとあったので、なにかあるのかと思いはしたのですが、この一般化には気がつきません!お見事ですね!

簡単な問題と高をくくって深く考えずにいた自分に反省です。良い方法を教えていただきありがとうございました。

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2008-03-19 対称性と不等式

[]対称性と不等式 対称性と不等式を含むブックマーク 対称性と不等式のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080319022858p:image

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やよいやよい 2008/03/19 13:17 文字消去でやってみました.
対称性よりa≦b≦c,さらにa+b+c=0よりa≦0≦cとしてよく,必要なら-a,-b,-cをa,b,cとおくことでa≦0≦b≦cとしてよい.このときa=-(b+c)より
(-a+b+c)^2≧2(a^2+b^2+c^2)⇔(2b+2c)^2≧2((b+c)^2+b^2+c^2)⇔bc≧0
となり,0≦b≦cより等式成立条件はb=0つまり,a,b,cのうち2番目に大きな(同じでもよい)値が0となること.
余談ですが,よく「等号が成り立つ」といいますが,成り立つのは「等号」ではなく「等式」だと思います(笑).

やよいやよい 2008/03/19 14:23 「必要なら-a,-b,-c」を「必要なら-c,-b,-a」に訂正(汗).

gould2007gould2007 2008/03/21 21:22 >>やよい様

>>対称性よりa≦b≦c,さらにa+b+c=0よりa≦0≦cとしてよく

これはなかなか気がつきにくいですが、良い解法ですね。有用なご指摘ありがとうございます。

>>「等号が成り立つ」といいますが,成り立つのは「等号」ではなく「等式」だと

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%BC%8F

あまり意識したことがありませんでした(笑)。仰る通りなのかもしれません。

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2008-03-18 関数の微分と複素数、式の有名難問

[]関数の微分と複素数、式の有名難問 関数の微分と複素数、式の有名難問を含むブックマーク 関数の微分と複素数、式の有名難問のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080319015524p:image

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やよいやよい 2008/03/19 14:15 解答では積の微分法を使われていますが,f(x)は実数係数でもx-αなどは複素数値なので,複素数値関数の導関数の定義,微分公式の証明が必要ですね.これを避けるには例えば
 α^k(k=1,…,5)はx^5-1=0の5解
⇔2-α^k(k=1,…,5)は(2-x)^5-1=-x^5+…-80x+31=0の5解
⇔1/(2-α^k)(k=1,…,5)は-1+…-80x^4+31x^5=0の5解
だから,解と係数との関係より1+Σ_{k=1}^{4}1/(2-α^k)=-(-80)/31.あるいは展開や逆数にせず,g(x)=(2-x)^5-1のx係数g’(0)=-5×2^4,定数項g(0)=2^5-1に直接解と係数との関係を用いても良いかと思います.

けんたろけんたろ 2008/03/19 19:33 最初のα^5=1 だけ気付きましたが、まったく歯が立ちませんでした…
ただ、複素数は今は範囲外のようなので、受験生の僕としてはこの問題は見なかったことにします 笑

gould2007gould2007 2008/03/21 21:16 >>やよい様

確かに、高校の範囲で複素数値関数の微分はグレーゾーンかもしれません......。ご指摘を受けるまで気がつきませんでした。

教科書の範囲と受験の答案で使える事項に関しては、最近色々考えがありまして、いくつかの大学では「全く問題ない」と教官の方が公言しているのは私も確認しているのですが、例えばこの青山学院大学だったらどうなのかと考えてみると、もしかしたら点を貰えない、ということもありうる訳ですよね。

高校生の頃は「身につけた知識はどんどん用いても構わない」と思っていたのですが、実際に答案がどうであるのかは全く分からないので、いい加減な事はいえませんよね......。

ご指摘ありがとうございます。上の「解答」についてももう一度検討してみます。

>>けんたろ様

今確認したところ、確かに複素数は範囲から外れていますね。私は塾で普通に問題を解いていて、全く知りませんでした......(なんという非効率!)。

ただ、難関大学では、未だに微分方程式の問題が出題されるように、難しくなればなるほど、あまり範囲にとらわれない出題がなされているということもありますので、範囲に注意しながらも、このblogでは今後もこういった問題を扱っていきたいと考えております。

その際には、以後は問題の前に注意を記すなど、受験生の方の負担とならないように致しますので、どうかご了承ください。

けんたろけんたろ 2008/03/22 13:34 そうですね。ありがとうございます。
最近「ただしi^2=-1とする」という注釈つきで複素数の計算をさせる問題も見かけましたよ。

ケアンケアン 2008/03/22 21:20 僕は今年の受験生でした(少し前に終了しました)。「複素数」は学校では習いますよ。「複素平面」という(僕もよくわかりませんが)分野は、範囲外のようです(かわりに行列の一次変換が範囲になりましたが)。なので、iなどの計算は普通にさせられました。

素人ながら、個人的なイメージを述べさせてもらいます。

α^5=1の時点で、ド・モアブルの定理は高校の範囲外です。それを知らなくて、αを2乗、3乗してみよう、ということは考えづらいですし、する気にもなりにくいと思います。

このあとの因数分解や関数を設定するところは、普通のことでしょう。

その後ですが、f(α^2)=f(α^3)=f(α^4)=0となることは、少々気づきにくいかもしれませんが、複素数分野が得意な人で、α^5=1は、ω^3=1と同じようにやればいいのかな?と考えた人はたどり着いたかもしれません(次数下げは、関数や行列では本当に有効ですからね)。が、やはり難しいようです。

このあとで微分しますが、先の方々がおっしゃっていますように、僕らは実数係数の微分しか習っていないので、範囲外になります。

範囲外の分野を解答に用いるというのは、難関大ではやはり必要のようです。塾では外積を習いましたし(文理問わず)、学校でも線分の長さや、微分方程式の基礎を学びました。今回の問題は、僕も全く習っていない分野なので何とも言えないのですが、範囲外ではあるけれども、解法のテクニックとしては重要な物が含まれている問題だったと思います。素人ながら恐縮ですが。

gould2007gould2007 2008/03/23 02:27 >>ケアン様

大変貴重な情報をありがとうございます。

範囲内のことだけ厳密に出題する、というのもおかしい話ですが、採点基準が発表されていない以上、受験生の方の側としても、「何を書いたら点を貰えなくなってしまう可能性があるのか」が分からないのは、問題ですよね。

これを解決する方法は唯一つ、大学がいくつかの「模範解答」と採点基準を発表すること(望めれば、採点済みの答案を各々の受験生の方に返却する)しかないと思うのですが、現実的には難しいでしょうね......。

という訳で、できるだけ範囲に留意しながらも、良質の問題を取り上げていきますので、受験生の方も、ケアン様のようにもう大学生となられた方も、お気づきの点があればコメント欄でご指摘下されば幸いです。

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2008-03-17 ゴールドベルク変奏曲

[]ゴールドベルク変奏曲 ゴールドベルク変奏曲を含むブックマーク ゴールドベルク変奏曲のブックマークコメント

高校生の方だと、そろそろ春休みだという方も多いのかもしれません。来年に受験を控える方は、そうも言ってられないのかもしれませんが、うまく息抜きすることで、長い一年間を良好に過ごしてください。

今日は数学の問題はお休みにして、Glenn Gouldがバッハのゴールドベルク変奏曲を弾いているムービーをお楽しみください。


f:id:gould2007:20080318011552j:image

(若き日のGould。Glenn Gould | The Unreleased Recording Sessionsより)

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けんたろけんたろ 2008/03/18 18:04 こんにちは。
最近音大に行くのを諦めて、今年理系の大学を目指している新高3です。
まさにたった今、チェンバロの元曲をパソコンに取り込もうとしていた所だったので、何か運命を感じました。

素人の意見で恐縮ですが、この変奏曲が「数学的に」美しいというのは、たったひとつの低旋律に対して対旋律の音程の間隔が曲ごとに1度ずつ広がっていくことや、曲の配列が対称的になっていることなどを指しているのだと思いますよ。
バッハは”仕掛け”を知っていると、聴くたびに発見があって、長く楽しめるような気がします。

もちろん数学の方も知りたいことがたくさんありますから、
明日からもこのサイトを活用させていただきます^^

gould2007gould2007 2008/03/19 01:34 >>けんたろ様

>>素人の意見で恐縮ですが、この変奏曲が「数学的に」美しいというのは、たったひとつの低旋律に対して対旋律の音程の間隔が曲ごとに1度ずつ広がっていくことや、曲の配列が対称的になっていることなどを指しているのだと思いますよ。
バッハは”仕掛け”を知っていると、聴くたびに発見があって、長く楽しめるような気がします。

そうなのですね。詳しくありがとうございます。私は一度対位法を学んでみたいと思いながら、時間のなさと能力のなさで全く消化出来ずにいます.......。そういうのが分かると、もっと音楽を楽しく聞けるのになぁ、と日々残念に思っています(逆に難しく考えすぎて楽しめなくなるかも?)。

新受験生ということで、最初はペースを掴むのが大変かも知れませんが、このblogも空いた時間にサラリと読むだけで、役に立つ記事をご提供していきたいと考えております。一年間ですが、よろしくお願い致しますね。

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2008-03-16 二次方程式と解の範囲

[]二次方程式と解の範囲 01:20 二次方程式と解の範囲を含むブックマーク 二次方程式と解の範囲のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:25分

f:id:gould2007:20080317010631p:image

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俄僅俄僅 2008/03/19 05:02 (2)は、図を使って整理すると最後まで見通せると思います。

y=x(4-x) の他に y=x を描いて、点(a_1 , 0)を考えます。この点からy軸と平行に線を引いて y=x(4-x) との交点を得まして、そこでx軸と平行に線を引いて y=x との交点を得れば、このx座標が a_2 になります。同様に a_3 も得ることができます。そして逆のステップをたどれば 0≦a_3≦20/9 となる a_2 の条件、そして a_1 の条件も見通しが立ちます。つまり (a_3 , 0) からy軸と平行に線を引いて y=x との交点を得まして、そこでx軸と平行に線を引いて y=x(4-x) との交点(二箇所)を得る……のようにやります。これだと四次方程式は必要なく、二次方程式ですみます。一方、図や説明をどう書くかはちょっと難しいです(^^;

gould2007gould2007 2008/03/21 21:02 >>俄僅様

図を描くと見通しが良くなりますね。巧い解法で、私も好きな方法です。数列とか、極限の問題でも、式で解かずに俄僅様のように図を用いる事で、簡単に解決できる方法がありますよね。極限の月に取り上げたいと考えております。

この問題では、図を使って解く方が簡単ですね。ご指摘をありがとうございました。

2008-03-15 不等式と数列、過去問題の研究の大切さ

[]不等式と数列、過去問題の研究の大切さ 23:24 不等式と数列、過去問題の研究の大切さを含むブックマーク 不等式と数列、過去問題の研究の大切さのブックマークコメント

問題

難易度:¥omega、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080314230239p:image

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やよいやよい 2008/03/15 14:02 a_{0}=0,Z_{i}=z_{1}+…+z_{i}(i≧1),0(i=0)とおくと
a_{i}z_{i}=a_{i}(Z_{i}-Z_{i-1})=a_{i}Z_{i}-a_{i-1}Z_{i-1}+(a_{i-1}-a_{i})Z_{i-1}より
Σ_{i=1}^{n+1}a_{i}z_{i}=a_{n+1}Z_{n+1}-Σ_{i=1}^{n}(a_{i+1}-a_{i})Z_{i}
なので累積帰納法が使えますね.

りょーりょー 2008/03/15 20:27 あれ、昨日コメントしたつもりだったのにされてないですね・・・

本質的には同じことなのですが、
0≦a_1*z_1+a_2*z_2+…+a_n*z_n
≦a_n*z_1+a_2*z_n+…+a_n*z_n(各kについてa_k≦a_nより)
=a_n*(z_1+z_2+…+z_n)

両辺をa_n(>0)で割って
z_1+z_2+…+z_n≧0

というのは成り立ちませんでしょうか。

俄僅俄僅 2008/03/16 02:46 実質的に同じ回答なのですが……

(1)は、a_1≦a_2 かつ a_1 x_1≦a_1 y_1 から (a_2 - a_1) x_1 ≦ (a_2 - a_1) y_1 なので、a_1 x_1 + a_2 x_2≦a_1 y_1 + a_2 y_2 に辺々加えて x_1 + x_2≦y_1 + y_2 が導けます。

(2)も、数学的帰納法から、x_1≦y_1 , x_1 + x_2≦y_1 + y_2 , ... , x_1 + x_2 + ... + x_{n-1}≦y_1 + y_2 + ... + y_{n-1} が仮定できるので、順に (a_2 - a_1) , (a_3 - a_2) , ... , (a_n - a_{n-1}) 倍して、a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n≦a_1 y_1 + a_2 y_2 + ... + a_n y_n に辺々加えると導けると思います。

やよいやよい 2008/03/16 10:41 項数についての帰納法だと仮定は1つで済みますね.
z_{n+1}≧0のときz_{1}+…+z_{n}≧0と併せて成立.
z_{n+1}<0のときa_{n}z_{n}+a_{n+1}z_{n+1}≦a_{n}(z_{n}+z_{n+1})だからz_{1}+…+(z_{n}+z_{n+1})≧0として成立.

gould2007gould2007 2008/03/17 00:24 >>やよい様

巧妙ですが、良い変形ですね。私も最初累積帰納法で解決しようとしたのですが、上の慈恵医大の問題を途中で思い出し、試していませんでした......。

>>りょー様

申し訳ないのですが、解答の二行目の不等式について、各z_iが負の場合もあるので、残念ながら成り立たないのでは、と思われます......。

>>俄僅様

(a_2-a_1)を掛ける所が絶妙です。私の解答よりも「何故そう変形したのか」が明確で、良い解答だと感じます。


皆様、受験生の方にも、また私にとっても、大変勉強になるコメントをお寄せ頂き、ありがとうございました。

りょーりょー 2008/03/20 18:04 あ、指摘されるまで気づかなかったです。
これはマズいですなf^_^;

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2008-03-14 整式と積分、大局的な見方

[]整式と積分、大局的な見方 16:31 整式と積分、大局的な見方を含むブックマーク 整式と積分、大局的な見方のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080314162519p:image

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やよいやよい 2008/03/15 13:26 (1)を用いずに(2)を考えました.
f(x)≠多項式0,G(x)≠定数より,与えられた等式の辺々を微分すると
f(G(x))(-f(x))=-2F(x)f(x)-pf(x) つまり f(G(x))=2F(x)+p
もう一度微分すると
f’(G(x))(-f(x))=2f(x) つまり f’(G(x))=-2 つまり f(x)=-2
となるから,f(x)=-2x+c(cは定数)とおけて,F(x)=-x^2+cx.このとき
 max_{0≦x≦1}F(x)=1/2
⇔max_{0<x≦1}F(x)=1/2
⇔c=min_{0<x≦1}x+(2x)^(-1)=√(2).

gould2007gould2007 2008/03/16 23:51 >>やよい様

これは素晴らしい!f(x)が多項式という条件を一切使わずに解けるとは考えてもいませんでした!

この解法で解き始めた方は、(1)が邪魔で仕様がなかったことでしょうね。これは良い解法ですので、「別解」として記事にさせて頂いても宜しいでしょうか?

いつも良いご指摘をありがとうございます。

やよいやよい 2008/03/17 18:47 >「別解」として記事に
余計なお手間をお掛けしますが,宜しくお願いします.

2008-03-13 整数係数多項式(整数係数モニック多項式)

[]整数係数多項式(整数係数モニック多項式) 15:13 整数係数多項式(整数係数モニック多項式)を含むブックマーク 整数係数多項式(整数係数モニック多項式)のブックマークコメント

問題

難易度:¥omega、解答時間:40分

f:id:gould2007:20080314144657p:image

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やよいやよい 2008/03/15 12:55 (2)を因数定理で考えました.
αがf(x)=0の解ならばf(x)=(x-α)g(x)とおけるが,f(x)の各係数,αが整数ならばg(x)は整数係数の多項式で,2以上の任意の整数 k に対して隣接するk個の整数1-α,…,k-αの中にはkの倍数があるからf(1),…,f(k)の中にkの倍数がある.

gould2007gould2007 2008/03/16 23:45 >>やよい様

これはシンプルで分かりやすい良い解答ですね。非常に上手いと思いました。

良いご指摘をありがとうございます。

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2008-03-12 相加平均、相乗平均の関係式

[]相加平均、相乗平均の関係式 01:36 相加平均、相乗平均の関係式を含むブックマーク 相加平均、相乗平均の関係式のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080306012003p:image

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俄僅俄僅 2008/03/09 04:24 f(x)=(1+x/n)^(1/5) とおくと f’(x)={1/(5n)}{(1+x/n)^(-4/5)} , f’’(x)={-4/(25n^2)}{(1+x/n)^(-9/5)} である。a=f(1)-f(0) , b=f(0)-f(-1) , c=f’(0) であり、a は0〜1間の平均変化率、b は-1〜0間の平均変化率である。
n=1 のとき a<c<b である。n>1 のとき -1≦x≦1 で f’’(x)<0 であるから f(x) は上に凸。図(省略)より明らかに a<c<b である。

このくらいでもいいかなーという気もします(^^; 証明問題で「図より明らかに」は、図が間違っている場合が非常に怖いのですけど。数式でやるなら、

-1≦x≦1 で f’’(x)≦0 なので f’(x)≧f’(0)(-1≦x≦0)から、この区間の定積分より f(0)-f(-1)≧f’(0) である。等号が成立するのは f’(x) がこの区間で定数関数になる場合に限るので、等号は成立しない。ゆえに b>c 。
f’(x)≦f’(0)(0≦x≦1)からも同様に、f(1)-f(0)≦f’(0) である。等号は成立しないので a<c 。以上より a<c<b 。

ですかね。名古屋大学の大小問題は関数を設定して微積分に持ち込む場合が多いように思います。(試験場で解けるとは思えないのですが……)

gould2007gould2007 2008/03/14 12:39 >>俄僅様

確かに名古屋大学では関数を設定させる問題が多いですね。簡単ですが、この問題もそうでした。

http://d.hatena.ne.jp/gould2007/20071106

上の解法ですが、とても巧みですね!素直に展開して示そうとすると、結構厳しい問題ですが、とても良い方法だと思います。

それにしても、毎回コメント欄で俄僅様に頂く解法の筋の見事さには驚かされるばかりです。ありがとうございました!

2008-03-11 コーシーシュワルツの不等式、式の超難問

[]コーシーシュワルツの不等式、式の超難問 23:52 コーシーシュワルツの不等式、式の超難問を含むブックマーク コーシーシュワルツの不等式、式の超難問のブックマークコメント

問題

難易度:¥omega、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080305234205p:image

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俄僅俄僅 2008/03/09 04:23 直球で攻めるなら、

a^2-b^2-c^2>0 なので、a^2-b^2-c^2=s(s>0)とおく。ここで両辺を s で割った式をあらたに a^2-b^2-c^2=1 とおいても、条件式に影響しない。したがって a^2-b^2-c^2=1 とする。a,b,c はパラメータ t,θ(t≧0)を用いて a=±( e^t + e^(-t) )/2, b=±( e^t - e^(-t) )(cosθ)/2, c=±( e^t - e^(-t) )(sinθ)/2 と書ける。(複号は任意の組み合わせをとる。以下も同じ)

(i) x^2-y^2-z^2=0 となる x,y,z を求める。
このとき y,z は x とパラメータ φ を用いて y=±x(cosφ), z=±x(sinφ) と書ける。
ax+by+cz=p に代入して ±(e^t + e^(-t))x/2±(e^t - e^(-t))(cosθ)(cosφ)x/2±(e^t - e^(-t))(sinθ)(sinφ)x/2 = p
整理して、±(e^t + e^(-t))±(e^t - e^(-t))cos(θ±φ) = 2p/x

a>0 のとき、すなわち ±(e^t + e^(-t)) の複号が + のとき、ap<0 から p<0 なので (e^t + e^(-t))±(e^t - e^(-t))cos(θ±φ) < 0 であるが、(e^t + e^(-t)) > |e^t - e^(-t)| ≧ |e^t - e^(-t)|cos(θ±φ) なので、これをみたす a,b,c,x,y,z の組は無い。

a<0 のとき、すなわち ±(e^t + e^(-t)) の複号が − のとき、同様に -(e^t + e^(-t))±(e^t - e^(-t))cos(θ±φ) > 0 であるが、これは (e^t + e^(-t))±(e^t - e^(-t))cos(θ±φ) < 0 と同値なので、これをみたす a,b,c,x,y,z の組は無い。

したがって x^2-y^2-z^2=0 となる x,y,z は無い。

(ii) x^2-y^2-z^2>0 となる x,y,z を求める。
x^2-y^2-z^2>0 なので、x^2-y^2-z^2=s(s>0)とおく。ここで両辺を s で割った式をあらたに x^2-y^2-z^2=1 とおいても、条件式に影響しない。したがって x^2-y^2-z^2=1 とする。x,y,z はパラメータ u,φ(u≧0)を用いて x=( e^u + e^(-u) )/2, y=±( e^u - e^(-u) )(cosφ)/2, z=±( e^u - e^(-u) )(sinφ)/2 とおける。

ax+by+cz=p に代入して整理すると ±(e^t + e^(-t))( e^u + e^(-u))±(e^t - e^(-t))( e^u - e^(-u))cos(θ±φ) = 4p であるが、(i) と同様にこれをみたす a,b,c,x,y,z の組は無い。

(iii) x^2-y^2-z^2<0 となる x,y,z を求める。

(i),(ii) より、条件式をみたす x,y,z の組があるとしたら x^2-y^2-z^2<0 でしかありえない。(a,b,c,x,y,z)=(√2, 1, 0, 1, -2, 0) は一つの解となる。

以上より x^2-y^2-z^2<0 である。

この種のパラメータ表現は知ってましたし、詰まることなく書けたのですが、それでも一時間強かかりました。この問題はムリだ……!

やよいやよい 2008/03/09 12:45 ap<0 より a≠0 ですが,a<0 なら -a,-b,-c,-p を改めて a,b,c,p とすればよいので a>0 とし,幾何的に考えました.a,x≠0 より
ベクトル(a,b,c)と(1,0,0)とのなす角度をs,
ベクトル(x,y,z)と(a,b,c)とのなす角度をt,
ベクトル(1,0,0)と(x,y,z)とのなす角度をuとおくと
a>0,a^2>b^2+c^2 より a/√(a^2+b^2+c^2)>1/√(2) つまり s<π/4,
p<0 より π/2<t.
よって u≧t-s>π/2-π/4=π/4 だから,x>0 に注意して
0<x/√(x^2+y^2+z^2)<1/√(2) となり x^2<y^2+z^2.

gould2007gould2007 2008/03/14 12:54 >>俄僅様

このパラメータの置き方は知りませんでした......!巧みな置き方ですが、これが置けても問題を解くのはやはり難しいですね。

>>やよい様

図形的な解法は無理なものだと諦めておりました。何となく辺の長さばかりに思いがいってしまい、角度に着目することは思いつきませんでした。

改めて、ありがとうございます!

また、お二人の解法ともにとても良い解法だと思いますので、許可が頂ければ、掲載させて頂きたいのですが、よろしいでしょうか?

はるかはるか 2008/03/14 23:53 ご掲載頂けるとは光栄です.宜しくお願い致します.

俄僅俄僅 2008/03/15 05:57 やや省略した感がありますが、それでよろしければどうぞ〜

やよいやよい 2008/03/15 10:58 ハンドルネームを間違えました.ごめんなさい.

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2008-03-10 三角形の重心と外心

[]三角形の重心と外心 23:27 三角形の重心と外心を含むブックマーク 三角形の重心と外心のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:20分

f:id:gould2007:20080305232057p:image

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IrrrrrIrrrrr 2008/03/11 13:09 図形的な見方をしないで解く方法を考えてみました.

条件式よりcosα+cosβ=-cosγ,両辺を2乗してcos^2α+cos^2β+2cosαcosβ=cos^2γ・・・(1)
同様に,sinα+sinβ=-sinγ,両辺を2乗してsin^2α+sin^2β+2sinαsinβ=sin^2γ・・・(2)
(1)+(2)式よりγを消去し,2+2cos(β-α)=1. ∴cos(β-α)=-1/2.
よって,0<β-α<2πなので,β-α=2π/3または4π/3・・・(3)である.

同様の手法でα,βを消去した場合を考えると,
γ-β=2π/3または4π/3・・・(4),γ-α=2π/3または4π/3・・・(5)である.
ここで,(3)+(4)式を考えると,γ-α=4π/3または2πまたは8π/3または10π/3となるが,(5)よりγ-α=4π/3のみが適する.
∴このとき,β-α=γ-β=2π/3である.

gould2007gould2007 2008/03/14 12:42 >>Irrrrr様

sinとcosの関係から、一文字消去して、式で示された訳ですね。評価も結構難しいのですが、お見事です!

色々な見方を教えてくださって、ありがとうございました!

2008-03-09 3次方程式の解と係数の関係

[]3次方程式の解と係数の関係 22:54 3次方程式の解と係数の関係を含むブックマーク 3次方程式の解と係数の関係のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:25分

f:id:gould2007:20080305224916p:image

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2008-03-08 チェビシェフの多項式(東京慈恵会医科大学)

[]チェビシェフの多項式(東京慈恵会医科大学) 22:45 チェビシェフの多項式(東京慈恵会医科大学)を含むブックマーク チェビシェフの多項式(東京慈恵会医科大学)のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080305222742p:image

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2008-03-07 4次方程式の解の公式、Eulerの方法

[]4次方程式の解の公式、Eulerの方法 22:23 4次方程式の解の公式、Eulerの方法を含むブックマーク 4次方程式の解の公式、Eulerの方法のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080305221359p:image

f:id:gould2007:20080305221355p:image

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2008-03-06 積分と不等式、自分で関数を設定する難しさ

[]積分と不等式、自分で関数を設定する難しさ 22:04 積分と不等式、自分で関数を設定する難しさを含むブックマーク 積分と不等式、自分で関数を設定する難しさのブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:40分

f:id:gould2007:20080305215209p:image

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2008-03-05 不等式と誘導の利用

[]不等式と誘導の利用 21:45 不等式と誘導の利用を含むブックマーク 不等式と誘導の利用のブックマークコメント

問題

難易度:¥alpha、解答時間:15分

f:id:gould2007:20080305213813p:image

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2008-03-04 多項式といくつかの条件

[]多項式といくつかの条件 23:37 多項式といくつかの条件を含むブックマーク 多項式といくつかの条件のブックマークコメント

問題

難易度:¥alpha、解答時間:20分

f:id:gould2007:20080304233305p:image

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やよいやよい 2008/03/09 11:42 結果のf(x)が(x^2-x+1)^2であることから次のように解いてみました.

p(x)=x^2-x+1=0の2解をa,bとおくと,1/a=b,1-a=b,(i),(ii)より
a^4 f(b)=f(a)=f(b)
となるが,a^4≠1よりf(a)=f(b)=0,つまりf(x)はp(x)で割り切れ,その商をg(x)とおくと,(i),(ii)は
x^2 p(x)g(1/x)=p(x)g(x),p(x)g(x)=p(x)g(1-x) つまり x^2 g(1/x)=g(x)=g(1-x)
となるから,a^2≠1より同様にg(x)もp(x)で割り切れ,その商をh(x)とおくと,(i)は
p(x)^2 h(1/x)=p(x)^2 h(x) つまり h(1/x)=h(x) つまり h(x)は定数
となるから,f(x)=c×p(x)^2と表せ,(iii)よりc=1.
このf(x)=p(x)^2が(i),(ii),(iii)を満たすことは見易い.

gould2007gould2007 2008/03/14 12:48 >>やよい様

これは問題の背景まで見通したお見事な解答です!私も最初比較的奇麗な条件式なので、何かあるのではと色々やってみたのですが、

>>結果のf(x)が(x^2-x+1)^2であることから次のように解いてみました

には気がつきませんでした。良い解法をありがとうございます!

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2008-03-03 コーシーシュワルツの不等式

[]コーシーシュワルツの不等式 17:20 コーシーシュワルツの不等式を含むブックマーク コーシーシュワルツの不等式のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:20分

f:id:gould2007:20080303165506p:image

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ジンジン 2009/01/25 10:26 適当な数a[1],a[2],・・・a[6]を用いて、nの目の出る確率は1/6+a[n]と表せる。
この時、-1/6<a[n]<5/6である。
また、Σn[1]_[6](1/6+a[k])=1であるので、整理して
a[1]+a[2]+・・・a[6]=0・・・(*)を得る。
(1)
P=Σn[1]_[6](1/6+a[k])^2
⇔P=1/6+1/3(a[1]+a[2]+・・・a[6])+a[1]^2+・・・+a[6]^2
⇔P=1/6+a[1]^2+・・・+a[6]^2((*)を用いた)
よって確かにP≧1/6は成立する。この時、等号が成立する必要十分条件は
a[1]^2+・・・+a[6]^2=0⇔a[1]=a[2]=・・・=a[6]=0
すなわち『どの目も等しい確率で出る』である。
(2)(i)左の不等式の証明
Q=(1/6+a[1])(1/6+a[2]+1/6+a[4]+1/6+a[6])+・・・
⇔Q=(1/2+a[1]+a[3]+a[5])(1/2+a[2]+a[4]+a[6])
⇔Q=1/4−(a[2]+a[4]+a[6])^2 ((*)を用いた)
∴Q≦1/4
(ii)右側の不等式の証明
(左)−(右)=3/2(a[1]^2+・・・+a[6]^2)−(a[2]+a[4]+a[6])^2((*)を用いた)
奇数番号項に着目すると、a[1]=a[3]=a[5]=0の時最小値を取るので、
≧3/2(a[2]^2+a[4]^2+a[6]^2)−(a[2]+a[4]+a[6])^2(等号成立は奇数番号項が各々0)
従って等号が成立する下では、(*)より
=3/2(a[2]^2+a[4]^2+a[6]^2)≧0
等号成立は奇数番号項が各々0かつ偶数番号項が各々0のとき、即ち
『すべての目が等しい確率で出るとき』である。
よって題意の不等式が示せた(証明終)

上答案で問題は無いでしょうか??

ジンジン 2009/01/25 10:30 すいません、(2)(i)の等号成立条件を書き忘れていました。
等号成立条件は『偶数の目が出る確率と、奇数の目が出る確率が等しい』である。

2008-03-02 式と証明

[]式と証明 01:09 式と証明を含むブックマーク 式と証明のブックマークコメント

問題

難易度:¥alpha、解答時間:4分

f:id:gould2007:20080303010637p:image

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2008-03-01 対称性を崩す

[]対称性を崩す 18:18 対称性を崩すを含むブックマーク 対称性を崩すのブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:20分

f:id:gould2007:20080301180110p:image

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やよいやよい 2008/03/04 13:29 初めまして.きれいな問題なので,私も少し考えてみました.
(3)x+y+z=a+b+c ならば xyz≧abc
の成立を示します.

f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)-(t-a)(t-b)(t-c) (-∞<t<+∞) とおくと
a≦x,y,z より f(a)≦0,
b≧x,y,z より f(b)≧0,
x+y+z=a+b+c より f は高々1次,
そして a<b だから f は広義増加.
よって xy+yz+zx-(ab+bc+ca)=(1次の項の係数)≧0.
また 0<a より -xyz+abc=f(0)≦f(a)≦0.

副産物として xy+yz+zx≧ab+bc+ca も得られました.

gould2007gould2007 2008/03/04 23:44 >>やよい様

これはお見事です!上のf(t)はとても思いつきにくいと思いますが、実に奇麗な方法だと思います。

(余談ですが、私は最初、相加平均と相乗平均の関係が使えないかなぁ、と色々やってみたのですが、余り上手くいかず、解答の方法に落ち着きました)。

良い方法をありがとうございました!

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