難関大学への数学 このページをアンテナに追加 RSSフィード

2008-04-04 分数漸化式の一般的解法について

[]分数漸化式の一般的解法について 分数漸化式の一般的解法についてを含むブックマーク 分数漸化式の一般的解法についてのブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080403180921p:image


解答

f:id:gould2007:20080403180920p:image

f:id:gould2007:20080403180919p:image

解説

出典:2008年度、後期、東北大学(Tohoku University)、理系

分数漸化式の問題です。丁重な誘導がついていますので、難しくはないでしょう。

(1)多少やっかいな計算ですが、落ち着いて処理しましょう。最終的に二次方程式を解くことになりますが、¥alpha>¥betaと指定してくれているので助かります。

(2)(1)から、先ずb_nを求めれば良いのだと分かります。後は簡単ですね。


分数漸化式は色々な解き方がありますが、有名なのは最初から

x=¥frac{4x+1}{2x+3}

をみたすxを求めておいて、a_n-xを計算してしまうというものです。実際にやってみましょう。xを求めると、これはx=1,-¥frac{1}{2}となります。なので、

a_{n+1}-1=¥frac{4a_n+1}{2a_n+3}-1=¥frac{2(a_n-1)}{2a_n+3}

となります。ここで、a_n=1となるnが存在するとすると、全ての自然数nに対してa_n=0となってしまいますが、これはa_1=2に矛盾します。なので、a_n¥ne1より上の式の逆数を取ることができて、

¥frac{1}{a_{n+1}}=¥frac{2a_n+3}{2(a_n-1)}=1+¥frac{5}{2(a_n-1)}

となります。b_n=¥frac{1}{a_n-1}とおけば、

b_{n+1}=1+¥frac{5}{2}b_n

となり、これは簡単に解くことができます(以下略)。


分数漸化式の問題が出題される場合は、大抵上の東北大学の問題のように誘導がつけられるのですが、ノーヒントで出題されることもありますので、上の手法を覚えておかれると良いでしょう。

関連記事

分数漸化式の問題について、詳細に説明してありますので、ご覧下さい。

分数漸化式 - 難関大学への数学


関連商品

代数に惹かれた数学者たち

代数に惹かれた数学者たち

Connection: close