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2008-04-05 群数列と数列の和、公式の確認

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問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080405194808p:image


解答

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f:id:gould2007:20080405194806p:image

解説

出典:2008年度、後期、神戸大学(国立大学法人 神戸大学 (Kobe University))、文系

問題文が長いので身構えてしまいますが、内容は大したことはありません。

(1)では基本的な公式

1+3+5+¥cdots+(2k-1)=k^2

を用いて、第101項が第11群の初項であることを示しています。この公式ですが、数学的帰納法で示しても良いですし、一辺がkの四角形を丸だけで描いてみてもすぐに分かります(四角数)(平方数 - Wikipedia)。

(2)与えられた数列の定義はややこしいのですが、正体が正確に分からなくても、その和を求めることはできます。第k群のi番目の項は式で与えられていますので、これを直接用いればいいのです。

その際、¥frac{1}{i(i+1)}=¥frac{1}{i}-¥frac{1}{i+1}という変形や、

¥sum_{i=k+1}^{2k-1}{(2k-i)(2k-i+1)}

において、2k-i=jと置き換えることで、

=(k-1)k+(k-2)(k-1)+(k-3)(k-2)+¥cdots+1(1+1)=¥sum_{j=1}^{k-1}{j(j+1)}

とするなど、いくつか計算を行うための工夫をしています。

最後に、S_1+S_2+¥cdots+S_{10}を計算する場面で、

¥sum_{k=1}^{n}{k^2}=¥frac{n(n+1)(2n+1)}{6}¥sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}=¥frac{n(n+1)(n+2)}{3}

という有名公式を使っています。


これらの公式は、使いたいときにパッと使えるようにしておく必要があると思われます。

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縦椅子さん縦椅子さん 2008/04/08 11:02 はじめまして、縦椅子です。毎日、このブログで数学の問題を解いています。役に立ちますwww
ですが、この問題の解答だけ見れないのですが、再度、upしていただけませんか?
お願いします。。。

gould2007gould2007 2008/04/08 21:46 >>縦椅子さん様

フォトライフの不具合だったのでしょうか?今は見れるようです。
時々表示されないことがありますねはてなは。

縦椅子さん縦椅子さん 2008/04/09 09:27 見ることができました。失礼しました。。。
今度ともよろしくお願いします!

gakugaku 2008/09/09 09:14 はじめまして。

 大学受験生向けの数学のサイト『恋する数学』http://love-su-gaku.com/を運営しているgakuと申します。ご連絡先がわからなかったためコメントにて失礼致します。

私も数学関係に携わるものとして貴殿のサイトを拝見し、大変勉強させてもらっております。 さて、突然の申し出で恐縮ですが、相互リンクをさせていただきたくメールさせていただきました。

すでに,私のサイトからはリンクを、以下に貼らせていただきました。http://love-su-gaku.com/link/index2.html
ご紹介文等について、ご注文があればお気軽にお申し付けください。

また私のサイトの紹介文等は下記をご参照頂けると幸甚です。
以上、お手数をお掛け致しますが、何卒宜しくご検討くださいますよう御願い申し上げます。

末筆となりましたが,今後とも貴サイトの益々のご発展をお祈り申し上げます.

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               gaku
      HP: http://love-su-gaku.com/index.html
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